【摘 要】用问题驱动式教学法对数值分析教学中的插值问题进行设计与构建，创设问题，解决问题，提出新问题，改进算法，总结解决过程，进一步提出更深入的问题。
【关键词】数值分析；Lagrange插值法；牛顿插值法；三次样条插值法
Collaborative Problem Teaching Method in the Research of Numerical Analysis
--Interpolation for Example
MEI Fang WANG Qiao-ling ZENG Chun-hua
（College of Science， Jiangxi Agricultural University， Nanchang Jiangxi 330045， China）
【Abstract】This paper is intended collaborative problem teaching method in the application of Numerical analysis ，creating problems，solve the problems，put forward new problems，the improved algorithm，summarizes the solving process，further more in-depth questions.
【Key words】Numerical analysis；Lagrange interpolation；Newton interpolation；Cubic spline interpolation
问题驱动式教学法是基于问题的教学方法，一种建立在构建主义教学理论基础上的教学法，它要求“问题”的目标性和教学情景的创建，学生在老师的帮助下，紧紧围绕共同的任务，在强烈的真实问题动机的驱动下，通过对资源的积极主动应用，进行自主探索和互动协作的学习。
目前国内大学《数值分析》课程的教学改革起步晚，注重纯理论教学。教学过程中存在的不足：数学理论推导严密但是教学枯燥，学生学习缺乏兴趣。国外《数值分析》课程的改革走在前沿，美国工程院院士Cleve Moler在20世纪70年代提出在学习方式上，将教师引导与学生自主探究、合作交流有机结合起来。注意吸收计算数学中算法研究的最新理论研究成果，让学生在真实的问题驱动下，带着问题去学习领会蕴含其中的算法原理，并能运用所学理论分析利用数学软件解决现实生活中的科学问题。但对驱动问题的解决措施的探讨深入不够。
本文以数值分析课程的插值法为例，介绍问题驱动式教学法在整个章节课堂教学中的研究与应用。
1 创设问题情境，提出问题
函数是描述自然界客观规律的重要工具，实际应用中许多函数是通过实验或者观测得到的，其形式是一张函数表，作一条曲线，其类型（代数多项式函数，三角函数，指数函数……）是事先人为给定的，该曲线经过所有点（xi，yi），i=0，1，2，…，n，这就是所谓的插值问题。
据资料记载，某地某年间隔30天的日落时间如下：
根据上述资料，计算这一年中哪一天白天“最长”。
2 引导学生讨论交流，解决问题
让学生查找资料，分组讨论，了解插值法的产生背景，中外数学家在此问题上研究的进程，这种古老的分析问题数学方法应用在那些课题中？分析关于多项式插值的理论依据是什么？提出问题对于函数y=f（x）是否存在这样的多项式函数P（x）能精确的逼近它呢？经过数学的推导得到结论：满足给定区间[a，b]上n+1个点a≤x0 然后得到Lagrange插值法的计算公式： ■（1） 其中 ■（2） 插值余项与误差估计： ■（3） ■（4） 其中■（5） 接下来，按上面的理论知识，求解提出的问题，建立一个简单的数学模型，用二次等距离插值法计算求解： 5月1日设为第0天，则x=0 再设每一天白天的长度（日出与日落的时数）为14小时13分+T分 故天数和它的长度可用（x，T）表示。有记载的三天数据对应于（0，0），（30，68），（60，81） 将它们带入Lagrange插值公式得白天的时长：T=■， 由微积分中的最值原理T"（x）=0，得到x≈52.09， 也就是最长的一天为5月1日以后的第52天，即6月22日，T=83分，这一天日出与日落之间的时数为14小时13分+83分=15小时36分。与每年的夏至节气日期相吻合。 然后拓展数值分析插值法数学实验，计算一年中的24节气所在的具体日期。 3 解决问题的基础上，进一步了解插值法在理论和实践上发展，应用的广泛性，提出新问题和知识延拓 Lagrange 插值公式结构紧凑，思路清晰，程序编制容易，但是增减节点时，计算要全部重新计算，很不方便，增加计算量，我们希望在增加新的节点时，原先计算的结果对后来的计算过程仍然有用，那如何改进？于是我们得到Newton插值多项式 ■（6） 余项■（7） 其中ωn+1（x）由（5）式定义。 插值多项式要求插值节点相等，而实际问题中还经常要求节点上的导数值相等，甚至高阶导数值也相等，于是课题条件改变了，我们讨论新的解决问题的方法Hermite插值法。这类型的一般问题显然会具有些令人感兴趣的困难，在称为伯格霍夫插值的专题中奉献了大量的近期研究文献，学生可以查阅。
其它的插值法，早期的板材曲线切割时，常常把富有弹性的细长木条（样条）固定在样点上，比方说航空造船等工程设计的需要，要求样条曲线二阶导数连续，三次样条函数插值是被认为一种有效的数学工具，并且学生将看到，插值法的算法有很多种，针对问题选择方法十分关键，正确选择算法的前提是对方法的理解、分析、评价和鉴赏。
4 归纳解决问题中的知识点，强化系统认知能力，完善问题的结论，总结规律，提出更深一步的问题
插值法是一个古老而实用的方法，作为逼近函数的构造方法，是数值微积分，函数逼近，微分方程数值解的基础。因为高次插值的Runge现象，随着信息量的增加，实验的结果与直观的想象不吻合，它也是数值计算研究中值得高度重视的一类现象，也就是说Lagrange插值多项式的次数不可能无限制的增大，所以它没有实用性，采用分段低次插值，特别是三次样条插值，具有良好的收敛性与稳定性，理论上和应用上意义重要，在计算机图形学中有重要应用。
数值分析是研究用数学方法处理信息的学科，仅仅是实用信息量大，如果使用方法不当，也不能保证所得结果的正确性，在教学过程中提出一种知识建模化的问题驱动式教学方法，把学生在现实生活中感兴趣的相关问题，引入数值分析算法的教学之中，将问题驱动与数值分析的各种算法技术相结合，加深对《数值分析》这门课程的有关算法和结论的理解，激发学生积极思考和避免一些常犯易犯的错误，提出一种实用有效的问题驱动的教学内容结构设计，打破传统的教学模式，让数值分析的学习更高效。
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[责任编辑：汤静]