摘 要：分形理论是近几十年才开始兴起和发展的一门学科，它在许多领域都有很广泛的应用，本文主要探究分形理论在图形设计与处理上的应用，提出了两种算法，为时装设计、家具设计、广告设计等领域的图形设计提供参考。
关键词：分形理论；牛顿迭代；分形艺术图；图形设计与处理
一 、分形图形学的产生及应用
分形理论创造于20世纪70年代初期，其研究对象为自然界和现实生活中广泛存在的非规则而具有自相似特征的几何形态。分形理论是一门新兴的非线性学科，它是研究自然界不规则和复杂现象的科学理论和方法。对于千变万化的不规则形态，人们习惯于用传统的欧几里得几何理论来描述，主要是用直线段、圆弧、平面及曲面等手段来对它们进行分析。而这种用规则的几何理论去描述非规则的几何形态所得到的结果是存在巨大差异的，有时甚至是不可能的。虽然自然界中到处存在着非规则几何形体，但是却很难确切地描述它们，这给人们带来了极大的困惑，而分形几何学的创立，为准确地描述非规则的几何形态提供了强有力的证据。
自诞生以后，分形理论便对物理、生物、地理乃至哲学、历史、艺术领域产生了重大影响，使枯燥的数学问题或死板的图形设计变得生动形象，并具有灵动性，从而带动更多的人们感受到美的所在和提高了欣赏美、欣赏艺术的眼光，同时也开阔了人们的眼界。分形不但可以描述已知的自然景观，还可以创造未知世界。分形使人们觉悟到科学与艺术的融合、数学和艺术审美上的统一。分形理论的很多内容在实际工作中都有非常广阔的应用，特别是在借助计算机手段通过大规模的数值计算完成分形理论相关问题的研究时，分形理论更是如鱼得水。通过检索大量的文献信息，发现在物理学、化学、数学、地质学、生物学、经济学、美学等多个领域内，各种应用成果琳琅满目，美不胜收，展现了令人瞩目的应用前景，解决了许多传统理论和方法无法解决的问题，为现代科学研究提供了新的手段。分形几何的研究受到如此广泛的重视，原因之一是因为它具有广泛而巨大的应用价值，另一原因是它有着重大的理论价值，为人们认识世界提供了一种新的方法论。随着分形理论的不断发展和应用，将分形几何理论用于描述不规整形体的图形，已成为目前研究世界物质模型的一个扩展。
二 、分形图形设计的算法
迭代函数系统（IFS）是分形理论的重要分支之一，是将待生成的图像看成是由许多与整体相似的或经过一定变换与整体相似的小块拼贴而成。而相似与仿射变换在数学上可以由非常简单的数学公式表达出来，所以根据分形图的自相似性，找出对应分形图的IFS变换码，通过计算机编码可以很容易地绘制出各种复杂的分形图。1980年，Mandelbrot用计算机绘出用他名字命名的Mandelbrot集的第一张图，其简单的数学表示为Zn+1=Zn2+C（其中Z和C为复平面上的点，n为自然数）。令Z0的值为某一复数并始终保持不变，把任意不同值的复值C代入上式进行迭代，并产生Z1，Z2，Z3，……序列，每一不同的C值对应于不同序列Zn值，研究这些序列的分步情形从而了解复平面里复数C所构成的点集图，即曼德尔布罗特集。
对于分形图形，一种我们可以利用线段拟和，只需确定两点坐标位置，连线画出即可，另一种则需要根据图形特征，逐步分析提取IFS码，并利用概率分布，得到IFSP码，用点模拟。据此，笔者设计了以下两种算法，通过对一些参数的修改，从而改变分形图的形状、位置、颜色等属性。在此基础上实现了分形图形的中文处理界面，可以对生成的分形图形作合成、特效、旋转等一系列处理，使其更好地应用到实际当中去，最后将生成的分形图形以BMP或JPEG图片格式保存到电脑硬盘中。将分形理论应用于计算机图形设计，生成了许多绚丽多彩的分形图形，计算机与艺术很好地结合在一起，在时装设计、家具设计、广告设计等领域都有广阔的应用。具体方法如下。
1.三点法
我们知道，一般具有分形特征的自然景物图形，它必然存在一些有特征性的点。由于整体和局部的相似性，整体存在一些有特征性的点，局部也必然相应地存在一些有特征性的点。由于局部是由整体仿射变换而来，则局部上的一些有特征性的点必然也是由整体上的一些有特征性的点经过同样的仿射函数变换而来。同时我们还知道，通过三对点（整体上的三个点和局部上对应的三个点），我们就可求出一个仿射变换。基于这个道理， 我们只要在整体轮廓上选取三个有特征性的点，然后再在各个局部轮廓上按相同的顺序选取对应的三个有特征性的点。这样根据这些点，就可以获得整体到各个局部的仿射变换。
对于规则的自相似图形，典型的有分形树、Koch曲线等，由于它们都具有良好的自相似性，及显然的直线性，因此只要找出它们的递归特性就可以利用递归函数，采用线段拟和，递归出口为线段长度的一个限值；对于不规则的分形图形，比如蕨类植物、Levy曲线等，我们则可以利用之前提到的提取IFS码，找出图形的统计自相似性，再利用迭代函数逐步地用点拟合。
2.具有严格自相似性分形图形的算法
选择具有代表性的分形树为例，观察到二维分形树的树干和树枝具有良好的自相似性，即图形局部放大后可以与整体等同。首先，向函数传递的是树根或树枝末端点坐标以及线段长度、与横坐标所夹角度，通过函数调用得到的是树顶或树枝顶端点坐标，假定A为枝末节点，B为枝顶节点。然后，注意到AB既可看为主枝，又可视为侧枝，这是又自相似性决定的，满足了递归的性质。在AB上取一点A1作为树根或枝末节点，偏转角度选定，线段长度确定，同理亦可得到树顶或枝顶节点B1，连线画出A1B1，接着再在A1B1上取点画线，依此类推，直至线段长度小于某一限值，这时便将分形树描绘出。
三 、分形理论的前景
到目前为止，分形尚无最后的定义。在西方，分形的艺术研究是与科学研究密不可分的，研究人员也多为科学家而非艺术家，在中国则是艺术关注多于科学关注，这也是当前国内外分形艺术研究的不同之处。一方面，艺术创作者的敏锐视角将推进和丰富分形艺术的发展，给理论研究带来丰富的实践经验；另一方面，理论的滞后又会相对阻碍分形艺术的发展，这都会给分形艺术研究带来不同的机遇和挑战。
但在其中一些问题上，需要指出的是目前对于分形应用的研究还存在着较大的局限性，表现在对分形理论的应用主要集中在Hausdorff维数、计盒维数等维数计算的分支上，而分形插值、分形布朗运动、分形测度等理论分支的应用就少得多，更多的诸如多重分形谱的计算和分形动力学等更深入的应用研究还鲜有涉足，而统计分形和随机分形的理论研究和应用研究则是一个非常值得关注的方向。
通过对分形图形的设计与研究，使更多的人了解并掌握分形技术的算法以及分形图形的生成，使分形技术被广泛地应用到各个领域，从而带动相关产业的发展与进步，使绚丽多彩的分形图形代替以前枯燥乏味的平面图形，创造更多的经济效益。
参考文献：
[1]韩向峰.基于分形理论的创新设计及其应用[D].济南：山东师范大学，2005.
[2]姜志强.分形理论应用研究若干问题及现状与前景分析[J].吉林大学学报（信息科学版），2004（01）.
[3]邹明清.分形理论的若干应用[D].武汉：华中科技大学，2007.
[4]王 丽.分形图形的研究与应用[D].昆明：昆明理工大学，2006.
[5]吴运兵，李 勇.牛顿迭代法在分形图形生成上的应用研究[J].西安科技大学学报，2005（03）.
（作者单位：浙江师范大学数理与信息工程学院）