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中国农业大学 2014 4- - 2015 5 秋季学期研究生《数值分析》试题
一．
填空题 1 1 ．*3587.6 x 是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差 *re ___________. . 2 2 ． 设 f f ( ( x x )= a a n n x x n n +1 ( a a n n ≠) 0) ，则 f f [ [ x x 0 0 , ,
x x 1 1 , , …, ,
x x n n ]=_________
. . 3 3 ． 设 0 ) ( xf , 则由梯形公式计算的近似值 T T 和定积分 badx x f I ) ( 的值的大小 关系为 ___________. . （大于或者小于）
4 4 ．已 知 1,4 03 2A A 则 _______. 5 5 ． 超松弛迭代法（ SOR 方法）收敛的必要条件是
. . 6 6 ． 求方程 x x
= cos x x
根的牛顿迭代格式是
. .
二． 序列{ { y y n n } } 满足递推关系
y y n n =10 y y n n - -1 1 - -1 1 ，（ n n =1,2, … ），若 41 . 1 20 y （三位有效数字），计算到 y y 10时误差有多大？这个计算过程数 值稳定吗？
三． 已知 f ( x ) ) 的如下函数值以及导数值：
5 ) 2 ( , 2 ) 1 ( , 3 ) 1 ( , 2 ) 0 ( f f f f ，
(1) 建立不超过 3 3 次的埃尔米特 插值多项式 ) (3x H ，并计算 ) 8 . 1 (3H ； （2 2 ）推导 ) (3x H 的插值余项；若 1 ) ( max) 4 (2 0 x fx，求 ) 8 . 1 ( ) 8 . 1 (3H f . .
四 、已知实验数据如下
x
1
2
4
5
y
1.1
0.1
5 . 0
6 . 0
用最小二乘法求形如 bxay 的经验公式. .
五 ． 已知数值积分公式
)53(95) 0 (98)53(95) (11f f f dx x f ， (1) 证明上面的求积公式是高斯型求积公式； (2) 试给出计算积分 badx x g ) (的 的 3 3 点高斯型求积公式. . (3) 应用 (2) 所构造的求积公式计算积分 63dx ex的近似值 （结果保留 4 4 位小数）. .
六 ．
对于方程组 3 2 215 2 23 2 13 2 13 2 1x x xx x xx x x，
(1) 用三角分解法解此方程组； (2) 讨论用雅可比迭代法和高斯- - 塞德尔迭代法求解该线性方程组的敛散性 ； (3) 取初值 0) 0 ( X ，写出雅可比迭代法和高斯- - 塞德尔迭代法的迭代公式，并 迭代 2 2 次. .
七 ． 给定方程 , 0 32 xe x
(1) 构造一种迭代公式 在 ] 4 , 3 [ 上线性收敛 该方程的根（含迭代公式，初值取何值或何区间，迭代收敛的原因）；
(2) 构造一种二次收敛的不动点迭代公式 局部收敛 该方程的根（含迭代公式，初值取何值或何区间，迭代收敛的原因）. .
八 ． 设 有 求 解 初 值 问 题0 0 )( ), , ( ) ( y x y y x f x y 的 龙 格 — 库 塔 公 式
)) , (2,2(1 n n n n n ny x fhyhx hf y y (1) 证明：该公式 至少 是二阶公式； (2) 用该公式计算积分 220xtdt e在 x 1 =0.5, 1 处的值. .
九 ． 证明：
设 A A 是非奇异阵， 线性方程组 0 b Ax ， 且
b b x x A ) (
则
bbA Axx 1. . 十．请你设计三种不同类型的算法求 75 . 0 的近似值，并评价你提出方法的精确程度. . （注：直接按计算器不算作一种算法）