摘 要： 数学通识课是大学工科的公共基础课，是培养学生思维、掌握数学基本理论和方法的重要课程。而传统的数学教学存在的一个最主要的问题就是理论与实践联系不够密切。为改变这种状况，本文采用“案例与实验”相结合的方法，通过利用数学计算机软件，做到实践与理论有机结合，从而培养工科大学学生的实践能力与创新能力。
关键词： 数学通识课 案例 数学实验
一、 引言
工科类数学教育是培养面向生产、管理、服务等第一线工作的高级技术应用型人才，工科类数学教育与专业数学教育有着根本的区别，工科类教育强调在所有的教学过程中必须注重学生能力的培养［１］。数学通识课作为高等学校重要的基础课程，对学生后继课程的学习和思维素质的培养起着重要的作用。这就要求数学教师在传授数学知识的同时，更要注重培养学生分析问题、解决问题的能力，适当扩大知识面，使他们在思维、认识和学习方法上有根本的转变。从目前大多教材与教法看，教学内容仍然未脱离数学专业的模式，注重结论的推断和理论方法的研究。导致许多学生不明白开设数学这门课的真正目的，不知道学数学有什么用，甚至在学完该课程后还不知道如何用学过的知识解决实际问题。所以，我们有必要对工科数学教学内容和教学方法进行改革研讨。本文结合一般本科工科院校的教学实际情况，提出了案例与实验教学法。案例教学和数学实验相结合是一种新颖的教学法，它将数学知识、数学建模与计算机应用三者融为一体。将数学建模的案例恰当地融入到数学通识课教学中，使学生了解数学模型，并且通过数学实验使学生熟悉常用的数学软件，培养学生运用所学知识建立数学模型，应用计算机解决数学问题的能力。
二、案例实验教学的优势
案例实验教学法［２］是以实际工作中遇到的问题为背景，引导学生进行思考、总结、分析与互相讨论，通过数学的理论和方法转化为数学模型，然后运用数学软件和计算机的手段解决问题。即从一个实际问题出发，来讨论分析如何解决这个问题。每个问题的解决基本上是通过“问题的提出→建立数学模型→分析研讨→计算机处理→小结与进一步思考”等几个过程。
与传统的教学法相比，案例实验教学法有以下几方面的优势。
（1）案例可以把抽象的原理、概念等具体化，把它们置于一定的实际情境中，学生可以清楚地认识到这些原理、概念在实际生活中的用处和表现；
（2）案例实验教学注重的是学生的创造能力与解决实际问题能力的培养，充分体现了学生的个体的自主性，加深了学生对数学知识的理解与掌握；
（3）案例实验教学大大缩短了教学情境与实际生活情境的差距，还可以改变学生认为数学是纸上谈兵的错误认识。
三、案例实验教学在数学通识课教学中的实践
大学数学通识课由多门数学课程组成，它的涉及面很广，教学内容随着学生的专业与方向不同而不同，案例选取时应舍去部分数学教材中纯数学的例题，以激起学生的兴趣和求知欲，强化他们的数学思维及数学应用意识，提高他们的专业能力。如：对机械学院的学生可引用图解法和解析法设计盘形凸轮轮廓的例子。在讲授函数的最值时，经济学专业可选取最小投入、最大收益、利润等典型例题，有条件的话，还可以让学生课外调查物品进价、售价与销售量的关系，寻找模拟函数，找出物品的最佳售价，等等。
我们在日常的教学中，将案例实验教学法运用到《高等数学》、《线性代数》、《概率论与数理统计》三门公共基础课中，具体实施如下。
1?郾案例实验教学法在高等数学中的应用。
高等数学是最基础并且是课时最多的一门课，这门课的内容较多，课程时间也较长，所以在合理安排好课时的基础上，融入精心选好的案例，可以提高学生的学习兴趣，以及应用数学知识解决实际问题的能力。比如在讲解微分方程时，可以引入微分方程案例。
（1）问题。
传染病高潮的来到是医疗卫生部门所关注的，可以通过改善保健设施、提高卫生水平推迟传染病高潮的来到。因此，预测传染病高潮的来到时刻十分必要，而预测此时刻的惟一方法就是根据实际问题建立方程，求解。
（2）问题分析与建立模型。
设时刻t的病人人数x（t）是连续的可微函数，并且每天每个病人有效接触（足以使人致病的接触）的人数为常数λ，考察t到t+Δt病人人数的增加，就有：
x（t+Δt）-x（t）=λx（t）Δ（t），再设t=0时有x个病人，即得微分方程=λx，x（0）=x。
（3）学生利用计算机计算，得出结论。
首先教师引导学生回忆学了哪些数学软件知识，哪种软件适合求解微分方程。这里，教师很自然地利用启发式强调个体自主活动，将学生引入到数学实验中去。学生选择了软件Maple，运用数学软件Maple判断它是变量可分离方程，并且用Maple来求其通解和其满足初始条件的解。具体过程如下：先定义方程，利用语句odel:diff（x（t），t）=λx;回车后Maple输出的结果为odel:=（x（t））=λx，接下来调入Maple解微分方程的软件包，判断所给方程是否为变量可分离方程，其指令为with（DEools）;odeadvisor（odel）;回车后Maple的输出结果为［-Separable］，这表明上方程是变量可分离的，利用下面的指令都可以求方程的通解，dsolve（odel，x（t））;，回车后Maple的输出结果为x（t）=Ce，得到方程的显式通解。将初始条件代入，得到方程的特解x（t）=xe。
（4）小结与进一步思考。
在学生学完利用Maple软件命令进行数值计算之后，教师在知识间的联系上做了细致扎实的引导工作，既便于学生长时间记忆，又能激活将要学习的相关的新知识。
分析结果表明，随着时间t的增加，病人人数x（t）无限增长，这显然是不符合实际的。因为每天每个病人有效接触的人数为常数，传染病传播后期，病人有效接触的人群中，健康人少，而其中只有健康人才可以被传染为病人，所以在新的模型中要区别这两种人。这就进一步吸引学生去求解更为复杂的微分方程。
2?郾案例实验教学法在线性代数中的应用。
线性代数是一门高度抽象的学科，学生普遍反映比较难学，由于这门课的特点，我们认为更有必要选择一些案例应用于教学，比如可用矩阵知识破译密码，预测动物繁殖，计算交通流量，求解投入产出问题，用向量的定义和计算及多步决策理论可以解决怎样安全过河问题，等等，以此来激发学生学习线性代数的热情。
在线性代数课程中运用案例实验教学法主要分为三步：第一步，讲授基本概念、基本理论和基本计算方法，并布置课堂作业。第二步，上机实验，用Matlab数学软件求解本章的习题和课外做的习题，让学生比较两种方式做习题难易程度。一般计算机解题速度很快，而用笔解习题速度很慢。第三步，讲授与教学内容有关的数学建模案例，对每个案例进行：（1）分析问题；（2）建立数学模型；（3）用计算机求解。讲完案例后，再布置1-2大作业题让学生自己模仿去做。例如：在讲完矩阵和线性方程组的内容后，我们讲授“工资问题的设计”，“交通流量问题“具体案例，让学生清楚地意识到我们的身边所发生的事情常常要用到数学知识和数学技能，在解决问题的过程中加强学生基础实验的训练。
3?郾案例实验教学法在概率论与数理统计中的应用。
概率统计是大学课程中的最重要的公共基础课程之一，具有很强的应用背景。我们结合概率论与数理统计应用性较强的特点，在课堂教学中，还注意收集经济生活中的实例，并根据各章节的内容选择适当的案例服务于教学。比如：有趣的婚姻配对问题、生日问题、彩票的发行及购买问题、组合证券投资决策问题、平均值的质量控制图、教育经费问题等应用实例，通过这些实例的阅读和讲解，将理论教学与实际案例有机的结合起来，缩短了数学理论和实际应用的距离，使学生确实感到数学有用。例如在讲解中心极限定理时，可以引入学生最熟悉的生活案例。
打开水问题：某学校有5000名学生，每天傍晚打开水的人较多，开水房经常出现排长队的现象，应增加多少个水龙头才能解决这种现象？
分析：首先让学生统计开水房现有多少水龙头个数，再调查每个学生在傍晚一般有多少时间占用一个水龙头（如2%），最后分析发现每个学生占用水龙头是相互独立的，引导学生联想到中心极限定理，又考虑到每个人有两种情况：占用水龙头和不占用水龙头，占用水龙头的概率为0.02，所以学生是否占用水龙头可以看作是一次独立试验。该问题就可以看作是n=5000的n重伯努利试验，设用水龙头学生数位x，x~B（5000，0.02），可以使用拉普拉斯中心极限定理及Matlab数学软件解决此问题。
四、结语
总之，数学案例实验教学法的实施无论从教学内容，还是从教学形式、教学方法和手段上讲，都是对传统数学教学模式的一种发展和补充，使数学教学更加开放和更具有活力，增强了数学教学的时代感。它也必将对数学教育改革起着积极的促进作用。
参考文献：
［1］王亚宁.高等数学教学方法和教学手段的改革［J］.河北经贸大学学报（综合版），2009，9（3）:123-126.
［2］富成华，崔殿军.高职高等数学“案例与实验”教学法初探［J］.辽宁高职学报，2007，9（6）:74-76.
［3］韩中庚.数学建模方法及其应用［M］.北京:高等教育出版社，2005.
［4］李继玲，沈跃云.数学实验基础［M］.北京:清华大学出版社，2004.
［5］徐全智，杨晋浩.数学建模［M］.北京:高等教育出版社，2005.
基金项目：淮阴工学院教育教学研究项目［2009］76号（JYC200929）。
注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”