【摘要】《普通高中数学课程标准》明确了高中阶段数系的扩充与复数的引入部分的要求是：在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在熟悉扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；了解复数的代数表示法及其几何意义；能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.那么，在高中阶段，如何把握好其数学分析与教育价值呢？本人有几点意见供大家参考.
【关键词】高中课程；数系扩充；复数引入；数学分析；教育价值
一、数学分析
（一）数系的扩充是由数学实际需求和内部矛盾发展所产生的
数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了自然数；随着生产和科学的发展，数的概念也得到了发展：为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了满足计数需要和表示具有相反意义的量，人们引进了负数；为了解决开方开不尽的矛盾，人们引进了无理数；在解方程时，为了使负数开平方有意义，人们就引进了虚数，使实数域扩大到复数域.自然数集中，“+”满足其封闭性，为了让“-”满足其封闭性，将自然数扩充为整数；为了让“÷”满足封闭性，将整数扩充为有理数.为了将极限运算满足封闭性，将有理数扩充为实数.在历史上，解代数方程时遇到了负数，由于负数在实数范围内不能开平方，因此产生了疑惑，为了满足开方运算封闭性，将实数扩充为了复数.直到后来把复数用于二维坐标平面上的向量表示，定义了向量的乘法，才使复数有了明确的定义和意义.可以说负数是起源于代数，成熟于几何，是代数与几何的结合体.数的产生是伴随数学的内部发展而产生的.复数在数学中起着重要的作用，除了上述的代数基本定理外，还有“实系数的一元n次方程虚根成对出现”定理等，特别是以复数为变量的“复变函数论”，是数学中一个重要分支.
（二）复数的三种表达形式
复数的代数定义为两个实数x，y的代数式x+yi，或有序实数对（x，y），复数的加法和乘法由纯粹的代数式定义.复数定义的第一种形式，由于i的意义无法事先说明，因而不够严密.复数定义的第二种形式由于没有加号而显得有些抽象，实数可以用数轴上的点表示，这种几何表示对于理解实数的概念起到了非常重要的作用.设i=（0，1），利用复数加法和乘法的定义，可以把复数z=（x，y）表示成常用的代数形式
有了复数的几何概念，复数概念就可以讲得清楚了，随之也就有了虚数的说法.我们在学习实数的时候，用直角坐标系中x轴上的点表示，这样x轴上点的坐标（x，0）就表示实数x，类似地可以把平面上的每一个点（x，y）称为一个复数，x轴上的点表示实数.复数还可以用向量表示，因为平面上的点还可表示从原点指向它的向量.复数的加减法按向量的加减法定义，复数的乘除法对向量来说是一种新的运算，是复数和向量的主要区别.实数a和复数相乘按向量和数的乘法定义是合理的，即a×（x，y）=（ax，ay）.
为了引入复数的乘法，把复数z用三角形式来表示z=r（cosθ+isinθ），可以把复数的三角形式确定点的方法引入极坐标系，常用（r，θ）表示，r称为复数z的模，θ称为复数z的辐角，记为argz=θ.两个正数相乘，两个负数相乘，一个正数和一个负数相乘，一个正数和一个复数相乘，一个负数和一个复数相乘，可以发现它们都满足模相乘，辐角相加的规律，因此，定义两个复数相乘的规则为模相乘，辐角相加；定义两个复数相除为模相除，辐角相减，即设z1=（r1，θ1），z2=（r2，θ2）是两个复数，则定义z1z通过它们的相互转化，我们发现数学内部是如此的和谐统一，能够充分感受到数学的美.需要向老师说明的是，高中阶段复数的学习只需代数形式，其他表达方式不作要求.
（三）复数在生产实践和科学实验中都有着广泛的用途
随着人们对复数研究的不断深入，关于复数的学科已成为数学的重要分支之一，随着它的领域的不断扩大而发展成庞大的一门学科，在自然科学其他（如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等）及数学的其他分支（如微分方程、积分方程、概率论、数论等）中，复数都有着非常重要的应用.
二、教育价值
“数系的扩充及其复数的引入”的教育价值体现在：
（1）数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，同时也体现了数学发生、发展的客观需要，复数引入实现了中学阶段数系的又一次扩充，其实我们在必修1学习指数函数的时候就已经经历了一次指数的扩充，指数可以扩充为任意的整数、分数、有理数和无理数.现又通过这部分内容的学习，有助于学生体会数学理论产生与发展的过程，认识到数学发展既有来自数学外部的实际需求，也有来自数学内部的逻辑规律，从而形成正确的数学观.
（2）复数的学习是非常有用的，它代表数学发展的方向，给运用数学知识解决一些问题增添了一些工具.在数学内部的应用，比如能为学生进一步学习高等数学、复变函数、数学分析等打基础；在其他学科中也有广泛的应用，如物理中的交流电、光学、力学中的一些问题等都有广泛的用途，在实际生活中也有广泛的用途.