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【摘要】数形结合是数学学科中一种重要的数学思想方法.数形结合就是数学语言和图形之间进行相互转换，化烦琐为简便，化抽象为直观.本文将通过几种不同类型的数学问题来体现数形结合思想在数学分析中的应用.
【关键词】数形结合;数学思想;极限;定积分
一、数形结合的历史发展
在数学这一学科中，数与形是其两个最根本的概念，数学主要是因为数和形的概念得以形成和延续.在出现了数这一概念的时候，用来表达数的却是各种的形.古时候用来计数的措施也是将抽象的数转换成易于理解的图形.比如，古埃及的象形数字和中国的算盘等都是应用数形结合的经典例子.从笛卡尔之后，数与形之间的紧密联系又有了更深层次的发展.例如，数学分析中的极限、拉格朗日定理、定积分等都应用了数形结合.由此可知，现在以及以后数学的发展离不开数形结合的思想并且会一直存在于整个数学发展的全过程.
二、数形结合的研究方法
数形结合方法在数学中的运用分为两个方式：
1.以形助数：根据代数问题画出所需要的图形，让图形可以正确地表达出问题的数量关系，数和形联系在一起解决问题.
2.以数辅形：通过题目给出的图形进行探究，发现数量关系隐藏在图形中，然后利用我们学过的知识处理问题.
三、数形结合在数学分析中的实际应用
（一）数形结合在数学分析概念中的应用
案例1 数形结合在极限概念中的应用[1]
数列极限[2]的定义： limn→∞xn=a的ε-N语言为：
ε>0，N∈N+，当n>N时，有"xn-a|<ε.
假如我们直接从数学语言去理解极限的概念，将很难领悟到其本质，但通过将抽象的定义转换成图形则简单许多，如图1所示.
即任给a的ε邻域（a-ε，a+ε），当n>N时，点xn的位置在区间（a-ε，a+ε）里.
案例2 曲边梯形的面积——定积分的几何意义
曲边梯形是利用曲线y=f（x）（f（x）≥0）以及曲线x=a，x=b和y=0（即x轴）所围成的平面图形.
曲边梯形的面积的计算采用极限的思维方式：
（1）分割：将区间进行分割，也就是把大的曲边梯形割成若干个很小的曲边梯形.
（2）替代：把小曲边梯形的面积用小矩形的面积替代.
（3）求和：求出小矩形的面积，并把它们相加.
（4）取极限：将积分区间分割，无限地分割，并使每个小的区间的长度趋于零.
如图2所示，小矩形面积的总和就近似地作为曲边梯形的面积.同理，若极限值存在的话，这个值就是曲边梯形的面积.
计算曲边梯形面积的以直代曲的思想方法被图形表示出来曲边梯形的面积的计算就是定积分的几何意义.
（二）数形结合在数学分析定理中的应用
案例3 罗尔定理的几何意义
罗尔定理：若函数f（x）满足如下条件：
（ⅰ）f（x）在闭区间[a，b]上连续;
（ⅱ）f（x）在开区间（a，b）上可导;
（ⅲ）f（a）=f（b）.
则在（a，b）上至少存在一点φ，使f′（φ）=0.
如图3所示，罗尔定理的几何意义[1]就是：在每一点都连续可导的连续的一条曲线上，如果曲线的两个端点的高度相等，那么至少存在一条水平的切线.
本文主要探讨了数形结合思想在数学分析中的各种情况下的具体运用.其中，主要讲述了数形结合在数学分析中一些概念和定理中的应用.主要是转换成几何意义去理解，通过数形结合的方式，使概念和定理易于理解.在某些具体的题目中，通过用图像进行观察分析，感受用数形结合解决问题的方式，造就我们对于数学问题的剖析以及处理的能力.
【参考文献】
[1]华东师范大学数学系.数学分析（上册）：第4版[M].北京：高等教育出版社，2010.
[2]孙雪梅.数形结合在数学解题中的应用[J].中国证券期货，2011（2）：142-143.
[3]黄佳琴.浅谈数形结合思想及其应用[J].高校讲坛，2010（15）：560-561.
[4]鲍培文.例析数形结合思想在高等数学教学中的应用[J].当代教育理論与实践，2012（10）：74-77.
[5]彭艳芳.《数学分析》中“数形结合”思想的培养[J].赤峰学院学报，2013（7）：11-12.