“教育工作的最终机智在于人脑的思维过程。”(钱学森语)数学教学是数学思维活动的教学。它的实质就是学生在教师指导下,通过数学思维活动,发展数学思维的过程。而分析是一切思维活动的基础,深刻地反映着人的思考力和思考水平。思考总是在分析中不断深入、不断推进的。因此,数学思维能力的培养,关键在分析能力的培养上。重视并加强学生分析能力的培养,应当成为我们广大小学数学教师努力探索和实践的重要课题。
分析,一般是指把思考的材料分解成若干个较简单的组成部分,认识各部分的特点、规律、相互关系及本质属性,增进对知识的理解和把握,进而有效地解决问题。有人把它分为元素分析、关系分析、组织分析和综合分析。
1.元素分析也称因素分析或构成分析,就是抓住被分析概念的主要构成元素来分析,是最基本的分析,是关系分析、组织分析的基础。这种分析的目的是认识数学材料的构成和各部分的性质、特点、作用及其功能。其关键是学生必须从元素分析入手。养成学生抓关键词句、认真审题的习惯,是元素分析的典型做法。例如,教材“认识分数”中这样描述“分数”:“把单位‘1’平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数,叫做分数。”在这段描述中,“单位‘1’”、“平均分”、“若干份”、“一份或几份”是构成分数概念的必备元素,缺一不可。把握了这些关键元素,可以说就掌握了分数概念。
2.关系分析,就是首先要揭示各组成要素之间的主要关系,同时还要提示各部分之间有哪些隐含的联系。另外,在引导学生进行关系分析的过程中,要加强学生对数量之间相依互变的关系的理解,有时还要结合实际情境深化学生对函数关系的感受和认识,进一步提升学生的思维水平。关系是解决问题的依据,解决问题的关键在于能否运用表征把数量关系显示出来。
在求“比多”“比少”之类的应用题中,经常用到的分析思维方法是关系分析法,一般运用线段图来把知识的内在联系直观化,画线段图分析。如,求一个数比另一个数多(少)百分之几,可通过对具体问题的分析,让学生明确它所包含的相差关系和倍数关系。
有时需要沟通纵向和横向上的元素联系,培养学生对知识的迁移、类推能力,在新旧知识联系中分析思维。数学知识具有很强的系统性,前后知识联系紧密,新知识由旧知识引申、扩展而来,旧知识又能为解决新问题服务。将未知转化为已知,将一种运算转化为另一种运算,将一种图形转化为另一种图形,把待解决问题转化为已解决的问题,最终使问题获得解决。
经常训练学生变换题目中的具体情境,如改编题目,以及分析题目的关键句,来理解把握关系分析的方法要点,培养学生的识别能力,思维能力。知识的应用过程就是信息的识别、提取的过程。学生在解决问题的过程中,通常要识别信息属于哪一类,即类化,然后以此为索引,在记忆中提取相应的思维方法。在知识的应用过程中,学生对信息的识别比对知识的提取更难。
3.组织分析,是指对数学材料的组织结构进行的分析,是难度较高的一种分析。例如,在圆周长公式C=2πr和圆面积公式S=πr2这两个公式中,都有π和r两个要素。要重点引导学生对2r和r2的含义进行分析。多数学生对r2的理解存在一定的困难,教师可通过具体实例帮助学生正确理解它。在进行组织分析时,教师要特别引导学生认识计算和推理的关系。
4.综合分析。如果说分析是由整体到局部地思考的话,那么综合分析就是由局部到整体的思考,不但是材料本身的综合,还有材料和其他材料之间等外部环境的综合。综合和分析紧密联系、相依而存。提升综合能力,要培养学生的观察和比较能力。例如,比较(a+b)c=ac+bc两边的异同,解释为什么c在等式左边只有1个而在等式右边却有2个?观察和比较能很好地理解乘法分配律,没有观察或观察水平低,就很难发现数学材料的构成元素及关系特点;不会或不善于比较,就会影响关系特点的把握与组织的察觉。
综合分析还表现在,引导学生联系实际生活,在具体事例中根据规律分析。一方面,数学知识一般比较抽象,而小学生的思维以具体形象思维为主,这就需要加强学生的动手操作能力训练,实践操作中把抽象的知识“物化”,借助形象引发形象思维。为此,在教学中让学生摸一摸、摆一摆、画一画、做一做,往往能化难为易,促进分析能力提高。另一方面,数学知识虽然抽象,但都可以在现实生活中找到影子。为此,就可让学生把数学知识和现实实际联系起来,通过一些实例、模型等直观材料,运用比较、归纳的方法获得某种规律,然后根据此类规律来分析各题的解题思路。
总之,元素分析要细,关系分析要深,组织分析要透,综合分析要全,彼此相互联系、相互作用、相互促进,而不是互相独立、割裂的。数学知识是一门由简到繁、由单一到综合的知识结构系统,每章节的编排都构成了一定的知识系统和思维方法系统。分析能力的培养,完全可以在系统传授知识的同时,揭示各部分例题所蕴涵的思维策略加以训练,使学生在环环相扣的问题解答过程中得到实现。