摘 要：计算方法是一门与计算机密切相关的课程，能够为各种数学问题的数值求解提供最有效的算法，已经成为许多理工科专业学生的一门专业必修课。该文针对目前应用型人才培养的目标，结合计算方法课程的教学实践，首先对计算方法课程教学中常见的问题进行了简单的分析，然后应用多元化的教学方法，开展了一系列有关计算方法课程教学方法和手段的改革与实践，摆脱了传统教学模式下枯燥乏味的状态，确保了教学质量的提高和人才培养目标的实现。
关键词：计算方法 教学质量 教学改革 多元化
中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2015）08（b）-0189-03
Abstract： The numerical methods course is closely related with computer science， provides the most efficient algorithm for the numerical study of the various mathematical problems and has become a required course for many science and engineering majors. In this paper， aiming at the current application personnel training objectives， combining with teaching practice of numerical methods courses， the common problems in numerical methods course teaching are firstly briefly analyzed， and then a series of reform and practice on numerical methods course teaching is carried out by using the diversification of teaching methods， which can get rid of the boring state of traditional teaching mode and ensure the enhancement of the teaching quality and the realization of the goal of talents cultivation.
Key words： Numerical methods； Teaching quality； Teaching reform； Diversification
随着计算机技术的快速发展，科学计算在科学研究与工程实践中的地位越来越重要，已经上升为与传统的实验测定与理论分析方法相媲美的第三种科学研究方法。作为介绍科学计算的基础理论与基本方法的课程，计算方法或数值分析是一门与计算机密切相关的实用性很强的课程，是研究使用计算机求解各种数学问题的方法、理论及其软件实现的一个数学分支。该课程既有纯数学的严密科学性与高度抽象性的特点，又有实际实验的高度技术性与应用广泛性的特点，已经成为许多理工科专业学生的一门必修课[1]。由于计算方法课程在人才培养中的地位和作用，特别是应用型人才培养中的作用，就需要教师“教好”和学生“学好”这门课程。但是由于计算方法课程自身的特点，要把“教好”和“学好”这二者有机地统一起来并不是一件容易的事。传统的教学模式往往容易出现顾此失彼的情况，不能把二者有机地统一起来。为了解决教师“教好”和学生“学好”这两个方面的问题，就需要结合人才培养的目标，开展计算方法课程教学改革方面的研究与实践，通过多元化的教学模式，全面提高课程的教学质量和人才培养的质量[2，3]。
1 计算方法课程教学方面的问题分析
由于计算方法课程自身的特点，在“教好”与“学好”两个方面容易出现一些问题，限制了课程教学的良性发展和教学质量的提高，现总结如下。
（1）知识的衔接问题。
计算方法课程涉及了微积分、线性代数、常微分方程和高级语言程序设计等多方面的知识，用到的许多知识点有相当一部分学生已经淡忘了，所以教师在授课时会比较费力，而学生也往往比较茫然。因此在计算方法课程的教学中，就需要做好遗忘知识的温习和巩固工作，处理好新旧知识的衔接问题，让课程的教学工作得以顺利开展。
（2）计算公式冗长且难以熟记问题。
有许多数值计算公式都比较冗长繁琐，推导起来费时费力，而学生也很难长久记忆，这容易导致课堂教学缺乏生机和活力，而学生也容易产生烦躁和厌学的情绪，不利于教学工作的顺利开展。为此就需要分析产生这种问题的原因是什么，思考怎样才能有效地解决计算公式冗长且难以熟记问题，怎样才能有效地避免学生烦躁和厌学情绪的产生，怎样才能让课堂教学富有生机和活力。
（3）数值方法的应用问题。
有一些学生在经过一段时间的学习之后，仍然会提出“这些方法有什么用？”和“为什么要学习这些方法？”诸如此类的问题，也就是说有些学生一直不理解为什么要学习这些“特殊”的方法，对这些数值方法的应用没有一个清晰的概念，没有认识到所学习的数值方法在实际应用中的重要意义，在整个学习过程中都处于思路不清晰和浑浑噩噩的状态。
（4）课堂教学的设计问题。
对于计算方法课程的课堂教学，需要处理好理论分析与例题讲解之间的关系，需要处理好算法设计与程序实现之间的关系，需要处理好当前学习与日后深造之间的关系。例如在讲解例题时，很多例题都需要应用所讲的数值方法借助计算机才能给出求解结果，那么在课堂上对学生进行例题讲解时，怎样才能让学生更好地理解解题的方法和过程，怎样才能提高学生应用所学的数值方法解决实际问题的能力，这些都需要在教学中不断地进行探索与实践。
（5）数值实验的实践问题。
在计算方法课程的整个教学过程中，数值实验教学是非常重要的一个环节，不仅可以加强学生对所学数值方法的理解与认识，而且还可以提高学生的编程能力和解决实际问题的能力。如何安排数值实验实践活动，如何把课堂教学与课外实践有机的结合起来，如何把数学建模活动和数值实验教学融合在一起，是值得深入思考的问题。
2 计算方法课程教学改革的研究与实践
在计算方法课程教学中一方面需要提供面向计算机的各种数值计算方法，并需要对每种方法进行相关的理论分析；另一方面需要完成从理论到实践的全过程，培养分析问题和解决问题的能力，这就对计算方法课程的教学方法和教学手段提出了更高的要求。针对前述计算方法课程教学中容易出现的问题，开展了计算方法课程教学方面的一系列改革与实践，具体如下：
2.1 课堂授课方式的改革与实践
为了调动学生学习的主动性和参与课堂教学活动的积极性，就需要改变传统的教学方式，增强课堂教学的互动性，让课堂教学充满生机和活力。为此采取教师主讲、学生主讲和课堂讨论相结合的方式组织课堂教学活动，这样就改变了由教师完成全部授课任务的单一教学模式，可以化被动学习为主动学习，极大地调动学生参与课堂教学活动的积极性。由于计算方法课程知识点比较琐碎且各知识点之间相对比较独立，所以便于开展师生互动的授课形式。开展这样的授课形式，任课教师要提前安排好，每一章开始之前就要安排好哪些内容教师主讲哪些内容学生主讲，一般要提前一周把学生要讲的内容布置下去，让学生有充分的准备时间。这里教师要起到引导的作用，要让学生明白讲什么、怎么讲和怎么组织课堂教学活动，借助教师授课的示范作用，让学生逐步适应这种多元化的授课方式。另外，在授课过程中教师要给予及时的启发和指导，引导其他学生对授课学生所讲的内容进行督导，有问题或疑问时引导学生积极讨论，在学生授课结束时任课教师还要进行点评和总结，特别是一些学生难于理解或认识不到的内容进行讲评。通过这样的授课方式，改变了学生被动学习的状态，激发了学生的积极性，使课堂教学更加灵活更加富有活力。
2.2 课堂教学活动的改革与实践
课堂教学是整个课程教学中最重要的一环，关系着学生的学习效果和课程的教学质量，因此要特别重视课堂教学活动，需要对整个课堂教学活动进行精心的设计和准备。针对计算方法课程，主要从以下三个方面开展研究与实践。一是内容的引入方面。每一章开始时通过思考题或分析让学生了解本章内容的应用背景，理解为什么要进行本章内容的学习。例如，在讲解插值法和最小二乘拟合法时通过下面的一个思考题进行内容的引入。（见表1）
根据表1中数据，请合理地估计出其它深度（如500 m，600 m，1000 m…）处的水温？二是内容的要求方面。在每一章开始时，要介绍清楚本章的知识结构，要让学生明白哪些知识点是重点内容，哪些知识点是难点内容，要让学生明白哪些内容需要掌握哪些内容需要了解。这样学生在学习过程中目标就比较明确，不至于盲目而抓不住重点。三是内容的总结方面。总结很重要，可以从不同角度或更高层面上重新分析或探讨所讲的内容。对每一个内容在讲解完了之后都要及时进行总结，不仅可以加深学生对内容的理解和掌握，而且还可以启发学生进行深入的思考和探讨。例如，在介绍完Gauss消去法之后，可以进行如下的总结。Gauss消去法是目前求解中小规模线性方程组常用的方法，一般适用于系数矩阵稠密的线性方程组，但这个算法是不稳定的。经过改进的Gauss列主元消去法具有良好的数值稳定性，是计算机上使用较多的一种有效方法。经过改进的还有Gauss全主元消去法和Gauss-Jordan消去法。
2.3 课外实践活动的改革与实践
课外实践对课堂教学起到重要的补充作用，可以辅助完成整个教学活动。在课外实践活动环节中，一方面可以让学生做好预习，对所涉及的微积分、线性代数和常微分方程等方面的知识提前温习和巩固，这样不仅可以让学生能及时跟上讲课的节奏，准确地把握授课的重难点，而且还可以解决新旧知识的衔接问题；另一方面主要是让学生开展数值实验，完成数值实验报告。开展数值实验是对所学习数值方法的实践和训练，也是对课程教学效果的检验和测评。数值实验是课外实践活动中的重要一环，开展好这项活动，不仅可以激发学生学习的兴趣，而且还可以提高学生分析问题和解决问题的能力。这里为了促进课外实践活动的开展，可以组织计算方法课程的学习兴趣小组，让学生自由分组聚集在一起学习和讨论，共同努力解决遇到的问题，一方面培养了学生之间团结合作的意识；另一方面还提高了学生学习的效果和课程的教学质量。
2.4 课程双语教学的改革与实践
为了满足学生进一步学习的需要，为了拓展学生的知识面和眼界，为了跟上当前教育的发展趋势，计算方法课程也要进行双语教学的改革和实践。与传统的中文教学模式不同，双语教学有其自身的特点，特别是在语言的表述方式和习惯方面。在进行计算方法课程双语教学的实践时，要认真制作和开发一套英文版的教学课件，要确保专有名词的正确表达，要确保课件中英文表述准确地道，只有这样才能保证双语教学的健康发展[4]。这里为了确保计算方法课程双语教学的顺利开展，首先需要向学生推荐一本优秀的英文教材，便于学生自学和参考；其次课堂板书要全部实现纯英文板书，为学生创造一个纯英文的学习环境；最后作业和课程测试也要实现英文化，使学生得到一定程度的训练，逐步提高学生专业英语的水平。下面针对求解线性方程组的迭代方法，给出三张英文版课件设计示例，仅供交流和参考。
示例1：Introduction of Iterative Methods
The iterative methods are used extensively in the solution of linear systems that arise in the numerical solution of boundary value problems and partial differential equations. These systems are often very large and are sparse with their nonzero entries in predictable positions.
示例2：
Theorem 4 The following statements are equivalent.
（i）A is a convergent matrix.
（ii）limn→∞||An||=0，for some natural norm.
（iii）limn→∞||An||=0，for all natural norms.
（iv）ρ（A）< 1.
（v）limn→∞Anx= 0，for every x.
示例3：
To write the Gauss-Seidel method in matrix form， transform Ax = （D L U）x=binto
（D L）x=Ux+b，
then we have the Gauss-Seidel method represented by
x（k+1）=（D L）−1Ux（k）+（D L）−1b，for each k=0，1， ….
Letting Bg = （D L）−1U and fg = （D L）−1b， gives the Gauss-Seidel technique the form
x（k+1）=Bgx（k）+fg.
2.5 数学建模融入的改革与实践
计算方法课程中所介绍的数值计算方法在解决实际问题时具有非常重要的应用价值，许多数值计算方法本身就是一种数学建模的方法，例如插值法和最小二乘拟合法。一旦计算方法课程教学与数学建模活动结合起来，各种数值计算方法就有了用武之地，计算方法课程教学就充满了生机和活力。因此在计算方法课程教学中融入数学建模的思想和方法，把计算方法课程教学与数学建模活动有机地结合起来，从学生角度可以加深对所学内容的理解，可以提高应用所学知识分析问题和解决问题的能力，可以增强计算方法课程学习的兴趣；从教师角度可以深化计算方法课程教学的内涵，可以提高计算方法课程教学的质量，可以促进人才培养目标的实现。把数学建模活动融入计算方法课程教学中，要注意把握好融入的时机，要注意利用好课外的时间，要注意选取合适的实际应用问题。例如，在非线性方程数值解法这一内容授课结束之后，可以让学生结合数学建模分析和讨论“排水渠道的设计问题”；在插值法和最小二乘拟合法这一部分内容授课结束之后，让学生结合数学建模求解“黄河小浪底调水调沙问题”；在常微分方程数值解法这一部分内容授课结束之后，让学生结合数学建模数值求解“食饵与捕食者两个生物种群数目变化问题”[5]。
3 结语
开展计算方法课程教学改革方面的研究，进行一系列的探索与实践，取得了较好的教学效果，摆脱了传统教学模式下枯燥乏味的状态，使得计算方法课程教学呈现多元化，充满了生机和活力。通过上述课程教学方面的一系列改革与实践，有助于提高学生参与课堂教学的积极性和课外学习的主动性，有助于提高学生分析问题和解决问题的能力，有助于提高计算方法课程教学的质量，有力地促进了人才培养目标的实现。
参考文献
[1]令锋，傅守忠，陈树敏，等.数值计算方法[M].北京：国防工业出版社，2012：1-65.
[2]吴巍.计算方法课程教学方法改革的探讨[J].吉林化工学院学报，2013（10）：104-105.
[3]聂德明，李文军.关于计算方法课程教学改革的思考[J].黑龙江教育（高教研究与评估），2013（10）：59-60.
[4]曲良辉，周德文，姜永艳.中外合作办学数学课程教学内容方法手段的改革与实践[J].中国教育技术装备，2014（16）：147-148.
[5]蔡大用.数值分析与实验学习指导[M].北京：清华大学出版社，2001：131-147.