【摘要】 本文介绍了模糊数学的产生､理论及在现实中的应用,详细介绍了现实应用中最常用的模糊方法——模糊综合评价法,并举例说明了其方法的用处.可见模糊数学在现实中具有较大的应用领域和应用价值.
【关键词】模糊数学;模糊综合评价;应用
一､模糊数学的产生
随着社会的发展,人们对数学的研究日益复杂,而复杂的事物更难精确化,于是要求建立精确的数学模型,这就给数学的发展带来了挑战,如何分析和处理复杂系统也就成为了数学发展中遇到的难题.同时,随着科学的发展,数学的应用领域也逐渐扩大,越来越多的学科都与数学结下了“姻缘”,如:农业学､医学､人文学科等.这些学科的大多数概念都具有模糊性,而经典数学是无法描述和处理具有模糊性的概念的,要让这些不相关的学科在一定的尺度下相互转换,就要求建立一定的具有模糊性概念的数学来为这些学科提供新的数学描述语言和工具,也就是在这种情况下诞生了模糊数学这门新兴学科.模糊数学是由美国控制论专家L.A.扎德(L.A.Zadeh,1921-)教授所创立,他于1965年发表了题为《模糊集合论》(《Fuzzy Sets》)的论文,第一次提出模糊数学的概念.文章的核心理论是用精确的数学方法去描述和研究模糊性现象,从而很好的将数学的研究和应用领域扩大到模糊现象,使数学的发展又上升到一个新的阶段.如今模糊数学在气象､结构力学､控制､心理学等方面已有了具体的研究成果,倍受社会各个方面的高度重视[1].
二､模糊数学理论
2.1模糊数学的理论基础
扎德提出用“模糊集合”作为表现模糊事物的数学模型,用介于0和1之间的实数来表示集合中元素的隶属程度,如:“高个子”是个模糊概念, 1米8是高个子,它的隶属程度是 1;1米75是较高个子,它的隶属程度是 0.8;1米5的隶属度就是0.在此基础上建立四则混合运算､变换等规律,构造出大量模糊的数学运算,通过对复杂的模糊系统进行定量的描述和处理等方法,实现数学对现实世界的研究.
2.2模糊数学的应用
模糊数学是以模糊性的事物为其研究对象的.模糊集合把复杂事物的模糊性对象加以确切化,从而弥补了精确数学､随机数学的不足.模糊数学经过近40年的发展,已有模糊拓扑学､模糊群论､模糊图论､模糊概率､模糊语言学､模糊逻辑学等分支,其应用几乎涉及了自然科学､社会科学和工程技术的各个领域,如农业､林业､气象､环境､勘探､军事,等等,并取得了可观的研究成果.具有代表性的有:首先它将二值逻辑进行了模糊推广,建立了模糊逻辑,使计算机的逻辑计算逐步接近人的形象思维方式,从而大大提高了计算机对模糊问题的处理能力,使机器智能化取得了突破性的进展.其次它的糊聚类分析理论､模糊神经网络理论和各种新的模糊定理及算法不断取得进展.再则其他学科也开始应用模糊数学的原理和方法,如教学质量评估､语言词义查找､翻译辨识等均有一些应用模糊数学的实践,并取得了很好的效果.各种模糊技术成果和产品也逐步从实验室走向社会,并取得了显著的社会效应.模糊数学已逐步渗透到人们日常生活的各个方面,相信模糊理论和模糊技术对人类社会的进步必将发挥更大的作用.
三､模糊综合评价法
模糊综合评价法是模糊数学中常用的一种方法,其应用是多方面的,可简要地概括如下:
(1) 评价对象关联因素集U = {u1,u2,…,un},
等级抉择评价集V = { v1, v2, …,vm}.
因素的权重A = (a1, a2, … ,ak) ak = 1.
(2) 单因素评价,设其结果为:
ui → (ui1,ri2,rim),0 < rij < 1.
得单因素评价矩阵R = r11r12 …r1mr21r22…r2m┆ ┆ …┆rn1rn2…rnm
(3) 将A与R进行数学模糊运算 O,结果归一化得到综合评价结果B=AOR = (b1,b2,…,bm).
其中数学模糊运算O通常有三种:主因素突出型 M(●,∨),M(∧,?茌);主因素决定型M(∧,∨);加权平均型 M(●,?茌),M(●,+).
3.1综合评价设置原则[2]
1. 系统性原则.评价指标体系必须能够全面地反映资源型企业目前的状态,包括单位发展前景的各方面指标.
2. 科学性原则.评价指标体系的大小必须适宜,如果指标体系过大,层次过多,可能将评价者的注意力吸引到细小的问题上,而指标层次过小,层次过少,也不利于充分反映资源型单位可持续发展的能力.
3. 可操作性原则.评价指标体系应在实际工作中可以获得数据,具有可操作性.
4. 可比性原则.所选的指标应规范,符合统计原则.
3.2 权重确定的方法
1. 专家咨询法:针对研究对象以调查形式为主向专家咨询各评价指标的权重,通常表现为问卷方式.这种方法包含的主观因素较多,不能客观地对评价对象进行评估,所以通常把此方法的结果与其他方法一起使用.
2. 层次分析法:分析系统中各因素之间的关系, 建立由系统目标层､准则层､指标层构成的递阶结构,并逐层确定各层因素对上一层隶属因素的相对权重, 形成数值判断矩阵结构模型A = (Lij)n × m.矩阵中每层各个因素的相对重要性采用1~9级标度法, 进行两两比较[3-4].
3. 灰色关联法:以被评价方案的各项指标作为比较数列,以各项指标对应的最佳值作为参考数列,求关联度,关联度越大,说明该方案越优.
四､应用例子
本文以评估某地城市规划完成程度为例来说明模糊数学在现实中的应用,其中用到了模糊综合评价法,具体如下:
1. 评价对象关联因素集U = {u1,u2,u3,u4},
其中u1:经济,u2:社会,u3:环境,u4:人民生活.
因素的权重A = {0.34,0.22,0.25,0.19},
其中A的确定方法是由专家评价法和层次分析法综合得到的.
等级抉择评价集V = { v1, v2, v3 ,v4, v5},
其中v1:远未完成,v2:尚未完成,v3:基本完成,
v4:较好完成,v5:超额完成.
2. 对本地进行综合评价,具体如表1:
采用主因素决定型运算,即M(∧,∨ ),由公式(*)得B = AoR = (b1,b2,b3,b4,b5) = (0.34,0.22,0.25,0.19)o0 0.150.150.350.350 0.220.220.30.260 0.250.30.30.150.10.30.30.20.1= (0.1, 0.25, 0.25, 0.34, 0.34)≈(0.0782, 0.1957, 0.1957, 0.2652, 0.2652).
由计算结果可知较好完成与超额完成所占比重最大均为26.52%,所以该城市规划完成程度介于较好完成与超额完成之间.
【参考文献】
[1] 李鸿吉.模糊数学基础及实用算法[M].北京:北京科学出版社, 2005.
[2] 蒋泽军.模糊数学教程[M].北京:国防工业出版社,2003.
[3] 吴殿廷,李东方.层次分析法的不足及其改进的途径[J].北京师范大学学报,2004,40(2).
[4] 魏毅强, 刘进生, 王绪柱. 不确定性AHP 中判断矩阵的一致性概念及权重[J]. 系统工程理论与实践,1994,14(7).
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”