【摘 要】本文根据定积分的性质和一些常用不等式对被积函数中含|sinnx/sinx|k的这类定积分进行了研究，并对以其为通项的级数的敛散性进行了讨论，从而得到了级数敛散性和k的关系，为解决这类积分的问题提供了切实可行的解题方法。
【关键词】|sinnx/sinx|k;定积分;级数
中图分类号： O172.2 文献标识码： A 文章编号： 2095-2457（2019）21-0109-002
DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.21.049
The Discussion of the Definite Integral |Sinnx/Sinx|k
DENG Qiu-fang YANG Xue-feng XU Dun-ru LI Ying-ying ZHAO Yan-hui
（College of Science，Hunan University of Science and Engineering，Yongzhou Hunan 425199，China）
【Abstract】The definite integral containing |sinnx/sinx|k is discussed in this paper，and the convergence and divergence of the series as the general term according to the properties of the definite integral and some common inequalities. The relations are obtained between the series convergence and k，practical research methods are provided to solve this kind of integral problems.
【Key words】|sinnx/sinx|k;Definite integral;Series
0 绪论
关于定积分的计算技巧和方法，在很多文献中已经进行了研究和讨论。在文献[1]只是对比值sinnx/sinx进行推广和改进，与定积分无关系，文献[2]对含有绝对值的定积分问题进行了讨论，且大量文献都是总结了一些定积分的计算方法，并没有针对被积函数中含|sinnx/sinx|k这类定积分的讨论。本文将根据定积分的性质和一些常用不等式对被积函数中含有|sinnx/sinx|k的这类定积分进行研究，讨论这类积分的变形技巧或方法，并对以被积函数中含有|sinnx/sinx|k的这类积分为通项的级数的敛散性进行讨论，从而得到级数收敛与k的关系，为解决这类定积分问题提供切实可行的解决方法。首先介绍一个引理。
引理1 已知x∈0， ，求证sinnx≤nsinx，n=1，2，…。
证明 当x∈0， ，nx∈[0，π]，所以sinnx≥0，sinx≥0下面用数学归纳法证明。
当n=1时，有sinx=sinx，等号成立。
假设n=k时，结论成立，即sinkx≤ksinx;
则n=k+1时，由归纳假设有
sin（k+1）x=sinkx·cosx+coskx·sinx
≤ksinx·cosx+coskx·sinx
≤ksinx+sinx=（k+1）sinx
所以n=k+1时，结论成立。
从而对任意自然数n，当x∈0， 时，有sinnx≤nsinx。
1 对含有|sinnx/sinx|k的定积分问题的探讨
對定积分 x dx问题，因为被积函数中含有绝对值，所以要去掉绝对值，而当x∈0， 时，sinnx的符号不确定，所以要对区间进行分割。又由于x∈0， 时，有 ≤sinx≤x，又由引理1知sinnx≤nsinx，x∈0， ，所以将区间0， 分成0， 和 ， 。将分母sinx消掉从而求出定积分。
例1 设an= x dx，则an≤ 。
证明an= x dx= x dx+ x dx=I1+I2
对于I1，因为sinnx≤nsinx，所以
I1= x dx≤ nxdx=n· =
对于I2，有
I2= x dx≤ x·（ ）dx= -
所以
an≤I1+I2= - + = - ≤
例1 中如果将区间0， 分成0， 和 ， ，则可直接得到an≤ 。而将区间0， 分成0， 和 ， ，得到an≤ - ，且当n=1时。
a1= x dx= xdx=
此时an≤ - 中等号成立，所以k=1时，an≤ - 是最好的结果。用同样的方法可证得当k=2时，an≤ + lnn。
通过对k=1，2时an的不等式表达式中n的分析，可得出以下结论。
例2 设an= x 3dx，则 发散。
证明：因为0≤x≤ 时，有 ≤sinx≤x，且sinnx≤nsinx，x∈0， ，所以
对于I1，因为sinnx≤nsinx，所以
对于I2，因为
所以
所以 ≥ > · ，且 发散，k>0，k为常数，故 发散。
用例2的方法进一步可证明当k≥4时有an≤cnk-2，c为常数。特别地有以下结论：
例3 设an= x 4dx，证明an≤ ，并讨论 的敛散性。
证明 类似例2 的方法，将区间0， 分成0， 和 ， 两个小区间，有
此时， ≥ ，尽管 收敛 ，但由比较判别法知 不一定收敛，所以n≥4时 的敛散性不能确定。
2 结论
通过以上讨论，对an= x dx，k≥3时，有an≤ ，从而 ≥ ，所以k=3时， 发散，而k≥4时，级数 的敛散性不明确。在不等式的放缩过程中，即使你的放缩过程是正确的，也不一定能得到想要证明的结论。所以不等式的放缩非常灵活，需要针对于不同问题中的条件和结论选择合适的方法。
【参考文献】
[1]邵剑波.对比值sinnx/sinx估计的改进与推广[J].中学数学教学参考，1999（11）：61.
[2]刘丽娜.带绝对值符号的函数的积分法[J].高等数学研究，1999（04）：26-28.
[3]刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义（上册）[M].第五版.北京：高等教育出版社，1996：325-331.
[4]华东师范大学数学系.数学分析[M].第四版，北京：高等出版社，2010.6.