编者按：天津大学等廿七院校合作编写的《高等数学》 （基础部分），自一九六0年出版以来，各校在试用过程中，对这本教材在基本理论，内容安排，理論与实际的联系等方面提出一些不同看法，这里发表北京矿业学院湯光霖和西北工业大学王焕初所写的两篇文章，供各校在讲授这本教材时参考，并希进一步讨论。
去年在天津大学召开的高等工业学校高等数学教学大纲座談会拟定了一份“高等数学参考性教学大纲”（以下簡称“大纲”）。《高等数学》“基础部分”便是根据这份大纲集体编写的。我们学校在一九六O年度入学的五年制一年级使用了这本书，现在根据教学实践的体会，谈谈个人对本书的一些意見。
一
先谈谈本书存在的缺点。
本书在教材内容的取合，编写次序的安排，基本概念的闌述等方面与已往的教科书相比变动比较大。但作为高等数学这門課的教本来说，其作用与性质并设有什么改变。但是由于大纲中基础部分学时规定太少，编写时间仓卒，集件编写配合不够以及对理论的要求不够明确等原因，致使本书存在不少缺点，甚至可以说有些缺点还是比较严重的。
这些缺点大致可分为下列几个方面：
1.在广度方面有些地方处理不恰当。这首先表现在删去了一些不应删减的材料。例如在“函数与图形”一章就比较严重，解析几何内容讲的太少。另外，在“数值计算”一章，作为基础部分来說，内容又显得太繁杂，平列了很多方法，沒有抓住重点写深写透。
2.在深度方面也有要求不够之处，有些重要定理与公式沒有始予严格的分析证明，牛顿一米布尼兹公式便是一例，只给出力学的模拟说明，但如何从数学方面来理解公式的正确性则显不足。
3.数項级数基本上沒有讲，因此级数概念是不够情楚的，这不仅缺乏数项级数知识，而且对整个级数都将受到影响（再版时巳改进）。此外，也有个别概念叙述不够清楚或不完备。
4.微分法与积分法部分显得眉目不清，系統比較乱。有些計算公式沒有正面介绍。只是通过个别例题带出来，这是不恰当的。
5.本书对数学的严密性有注意不足的倾向。例如分析证明比较少，极限存在准则沒有写，个别地方还有理论性错误，定理条件改变的不恰当等。
6.为了节省篇幅，本书写的简单一些，个别章节文字不够流畅，同学們看起来比較吃力。
7.习题中基本训练不够，组织不太好。有一些习题条件不全，意义不清，不能作。
以上只是把本节的缺点概述了一下，以供采用本书的教师同志們参考，因此本文不再详细论述了。
二
在使用过程中，感到本书有它的突出优点，特别是本书在贯彻理论联系实际方面做得比較好。可从下列四点来說明。
（一）本节力求贯彻“实践——理论——实践”这一辩证唯物主义的认识规律。尽可能根据：实例——基本概念——一般规律（性质，公理及公式）——计算方法——应用，这一途径来论述问题， 把問题的来龙去脉。发展过程交代清楚。例如讲线性微分方程一章时，先从建立两个具有代表性的問題——机械振动与电磁振荡——的微分方程开始，导出一般的常系数二阶线性微分方程，这比直接给出定义显然好多了。导出微分方程后立即进入解法研究，齐次方程是采用一般方法处理的。非齐次方程改用工程技术上常用的拉氏变换解法。虽然这二段解法比較复杂。讲解时間也比較长，但是同学們学习这段理論的目的性是明确的，兴趣是浓厚的。学完解法之后，得到的解究竟有什么意义呢，接者就是“常系数线性微分方程解的讨论”，以机械振动为例说明了方程解的物理意义。
又如場论一章，“实践——理論——实践”这一线索也是明确的。由于梯度、散度及旋度这几个基本概念比较抽象难懂，因此，编写时均从具体物理量的变化率开始，然后抽象到数学概念。例如讲梯度时，先分析电场中去示一点的电位沿某个方向的变化率最大的矢量以及在温度场中表示一点的温度沿某个方向的变化率最大的失量，而后给出数量场的梯度定义。讲完概念之后，推导了计算公式，并在此基础上，討論了线面积分与重积分之間的关系式。于是由概念的研究发展到计算性质及定理等的研究，对理论作了必要的论述。最后举例说明了场论中一些概念和公式的应用。
此外，本书在整个微分学与积分学中也是按上述途径论述的。"“实践——理论——实践”这一原则都得到认真的贯彻。由于在编写过程中，根据大纲要求，紧紧抓住“实践——理论——实践”这一原则，因此，数学理论的来龙去脉基本上是清楚的，使读者感觉到数学理论有头有尾，按受不突然。学过有用处。过去我们常常听到同学們说“数学概念很抽象”，或者说“学这个干嗎？”现在则很少听到这些反映。
（二）上面我們看到本节如何系统地在整章或整个部分内容加强理论联系实际，贯彻“实践——理论——实践”的原则。另外，我們也可看到，本节为了說明某些问题，常常采取插入一个例子，加进一段书的办法，重点突出，加以论证。这个办法是一点一滴的经验凝聚而成的，它反映了教学实践的需要。例如讲函教概念时，一般都是从熟知的例题总结出函数定义，说明函数概念是什么意思。无疑，这是必要的。但是，介绍函数概念时，仅仅停留于让同学們知道什么是函数是不够的。因为柱往我們的困难却在于如何"建立函数”，并用来反映或解决我們所考虑的問题。这在数学教程本身如此，在自然科学及工程技术应用中更是如此。因此，在讲函数概念时，不只要求同学們懂得函数概念，而且要了解寻找函数关系的重要性。本书在进过函数定义之后，加了“建立函数”一节，这对理解函数概念是大有裨益的。
讲导数概念由具体的变化率引入，讲清导数概念的物质根源是非常必要的，事实上，一般教科节也是这样写的。本书根据大纲的要求，强调了如何运用导数来解决有关变化中的問題。在讲过初等函数之后，曾选择了一些典型例题加以分析研究。这样，变化率不仅用来引出导数概念，而且进一步明确，在实际問题中正是常常需要运用导数理論来解决有关变化率的問题。这段书紧紧跟在导数概念及其计算之后，不仅使学习目的性明确，而且对导数概念本身的理解也将更为深刻。
一般讲过微分定义之后，都只讲微分在近似计算上的应用，客易造成误会，似乎微分用处不大，不怎么重要。本书讲过定义之后，利用微分描述实际问题中变量间的关系。即列简易微分方程的办法，来說明微分的重要性。这样做，不只是为了要讀者了解微分的重要性。并且还有另外两方面的作用：第一。要求通过这段书进一步熟悉微分是函数增量的线性主部：第二，說明在解决实际問题时，如何取均匀变化的增量，代替非均匀变化的增量，为定积分应用中的激分方程法打下基础。同学們对微分方程法原理感觉困难，往往就是由于这些地方未搞清楚。加上这段书，可把微分与微分方程法連结起来。不过写的不够充分。讲时可作适当补充。
本节在讲富氏级数之前，加了一段“简谱振动及其复合”，说明为什么要用三角多项式来逼近所研究的周期运动，再由此引出富氏级数。这段书引得具体自然，也让人感到有研究的必要性。
有时候，虽然只用一个例，却使開題生色不少。例如讲极坐标时，利用刀具在圆盘上进行切削导出阿基米德螺线，以实例说明了用极坐标比直角坐标处理問题有时更为方便，同时也使同学们对这类陌生的曲线接受起来比较自然。又如讲广义积分时，用引力场中的位能，说明引进无穷区間上积分概念的必要性：研究曲线时，由离心力的方向与大小引到曲线的凸凹性与曲率及曲率圆的研究等等，使問題变得生动，形象化，容易懂。
（三）本书包含有丰富的实际例题，值得注意的是绝大部分例题都是有实际意义的或是生活中熟知的事物，或是与物理。力学等课程有密切关系的問题，不是随便编选出来的。例如“变化率問題举例”一节中的例题。差不多都是属于这一类的問题。在积分学中值定理部分，关于算术平均值举了求平均电动势的例;在定积分应用部分，举了沿曲线运动作功的例;在线性微分方程部分，详細討输了机械振动及电磁振荡的微分方程。象上面列举的这些問题，的确是一些比較好的实际例题。在富氏级数中，如果对被展开的函数不加说明，同学們就要問为什么展开这些奇奇怪怪（指不同的波形而言）的函数呢？本书在例题及习题中都交代了它們的出处，这是好的。
这些例题是为数学理论服务的。另一方面，这些例题对学习有关的理论基础課与技术基础课也是有好处的，好处主要不在于例题的内容本身，而在于更有利于这些課程使用数学工具。
（四）本书对很多定理及公式的客观背景也揭示无遗。例如利用路程与速度关系模拟出牛顿-来布尼兹公式，用电学中的奥高定理模拟出奥氏公式，用全电流定律模拟出司托克司公式，用有阻尼的强迫振动的微分方程的通解说明非齐次线性微分方程通解的结构等。另外，像微分中值定理、积分中值定理，全增量公式等均通过几何直观加以说明。论证数学理论时，采用实际问题揭示出理论的，客观背景是非常有益的。因为，不论分析证明多么严格完整，它很难告诉我们抽象的数學理論在具体問题中是如何体现的。例如非齐次线性学分方程的通解是由两部分构成的，分析证明可以給出严格的论证，但这种结构究竟在实际問题中如何体現出来，却非借助于具体问题加以解說不可。
谈到模拟方法，曾有同志提出一个問题：理论联系实际应该是既加强理论又联系实际，不能把理论与实际分开，模拟方法固然联系了实际，却削弱了理论，例如上述很多重要定理及公式均沒有给出分析的证明。事实上。本书加强理论联系实际的结果，并不例外，同样起是导致了理论的加强。以模拟方法来說吧，模拟方法是以具有代表性的相应的实际存在的规律说明数学理论的正确性，同时，这又使抽象的数学理论让讀者学起来感觉有着落。这是揭露数学理论的物质根源，又使抽象的数学理论更容易接受，能说这不是加强分析证明，这是片面的。
说模拟方法能够加强理论，并不是说它可以代替严格的分析证明。不应该代替，事实上，也代替不了。因此，讲解一些重要的定理及公式时。仅仅满足“模拟”是不够的，应该给予严格的分析证明;因为分析证明有助于更深刻地理解数学理论的内在联系。同时分析证明中的抽象能力，推导能力也是工程技术人员不可缺少的基本训练。看来本书在这方面注意不足。是一个缺点。但是。这个缺点是完全可以避免的，它绝对不是模拟方法的必然结果。恰恰相反，数学理論的客观背景的说明与严格分析的证明妥为配合相互深映，必将导致对理论的理解更深则接受更容易掌握更牢固，并且学起来趣味横生。
根据上面的讨论，可知本书在理論联系实际方面做了很大努力，而且也取得了不小的收获。全书主要内容的讲述基本上都是符合“实践——理险——实践”这一认识规律的。对每一基本概念都讲解了它的物质根源，对每一重要理论都論证或叙述了它的一般规律及其客观背景，选择了很多有实际意义的例子說明了如何应用數学来解决实际问题的方法。在理论联系实际的方法上也是丰富多彩的。除系统地遵循：实例——基本概念——一般规律——计算方法——应用， 这一基术途经外，还采取一些辅助办法;例如采取插入一个例，加进一段节的办法。难点突出地解决某些个别問题;用模拟方法说明定理及公式的客观背景：注意选择好的实际例题等。因此，可以这样说，本节在理论联系实际方面，不仅继承了近些年来出版的一些教科书的好经验，而且有所发展，向前迈进了一大步。
能不能说本书在理論联系实际方面已經很成熟呢？显然不能，因为本书还存在很多缺点，当然不能把这些缺点与理论联系实际孤立起来看：而且即使在这方面也还存在一些間题，距离要求还很远。例如定积分应用讲的就不够充分与透明，什么样問題才可以考虑用定积分解决，在书中并没有討论。又如，列微分方程固然没有統一规律可循， 但在步骤上未始不可讲得更明确更细致一些，甚至在某一类問題上也可考虑指出一定的方法，作为思考問题的凭借。其他如例题的选择也尚须进一步研究，要特别注意到同学們的接受能力問題。
三
本书有优点也有缺点，优点很多缺点也不少。那末，如何衡量这些优缺点呢？如何估价本书呢？可以这样說，优点是突出的，成绩是主要的，因为本书的优点是在反映教材质量的最根本最关键方面——贯彻理論联系实际的原则方面——取得了很好的成绩，向前迈进了一大步。加强理論联系实际的结果，使我們在书中看到数学有物质根源，有发展过程，有使用場合，能加深讀者对数学基本概念基本理論的理解。我们对于获得的成果应该加以珍觀与爱护，它是得来不易的，因为这不仅要克服业务上的困难，而且还要克服思想上的障碍。从坚决贯彻理論联系实际原则并取得很好成绩这一角度来看，本书的出版可以說是对高等数学教材的改建作了很有意义的突试尝。本书是大有希望的一本书。 虽然现在还不是一部成熟的作品，但是，这只是发展过程中的缺点，在它的坚实的理論联系实际的集础上，经过一个时期的实践，经过几次的修改和提高，它是会成熟的。
另-方面，我們也要臥莫地对待这些缺点。缺点的性质前面已经談过，现在分析一下发生这些缺点的原因。编写这本书的时间非常仓卒，参加集体编写的人员之間也配合不够，显然这都是产生缺点的原因。此外，还有两个因索影响較大：一个是大纲中过多的压缩了基础部分的学时，讲課只有119学时（据了解最近拟提高为160学时），拟将压下的时間用来加强应用数学。实践证明，这个做法现在是有困难的。另一个是大網中虽然提出了加强理論，但要求究竟如何，当时是不够明确的。經过近一年来的討論，现在关于如何加强基础理论問題，比一年前明确多了，这对修改课本极为有盆。明确原因的意义是在于更好地纠正缺点。
下面談談如何使用这本书。由于本书与过去教本比起来变动较大，初使用时可能不习惯。因此，在讲授过程中，应很好地体会书中的精种，充分发揮其优点。另一方面也必须认真对待缺点，做一些补正的工作。最好是编写点补充数材，以弥补其不足。在次序上，講法上，深度广度上可以作适当的改进。
总之，本节由于吸取了其他教科书的以及广大教师同志們的先进輕驗，在理論联系实际方面做出了很好的成绩。它的优点是突出的，成绩是主要的，在高等数学教材建设的发展过程中，它是一本很有意义的并且是大有希望的书。但是本书缺点也很多，甚至在某些地方还是比较严重的。因此，应该本着总结经验，巩固成果，纠正缺点的精神加以修改提高，使其逐渐完善起来，逐渐成长起来。至于如何修改問題，当然还须进一步仔细研究。