[摘要]数学教育与教学包括有两大部份内容：一是研究数学科学本身的“抽象”理论知识；二是研究数学的发展规律、数学的思想方法以及数学中发现、发明与创新等法则。本文根据化归原则与关系映射反演方法（RMI方法）的思维方法，结合于代数、几何教材内容，强调数学教学必须重视这些“数学方法”的教学。
[关键词]思维方法 化归原则 关系映射 反演方法
一、前言
有人问：你在大学里最大的收获是什么？一位年青的航天科学家回答说：“我在大学里的最大收获是学会如何学习和如何进行研究问题的方法。”无庸置疑，大学是年青人学习科学知识的摇篮，在这摇篮中，有人学到一定的科学知识，有些人不仅学到科学知识，而且学会如何去学习科学知识的方法。从教学角度看，后者应为我们所提倡，因为前者只能把先人已经总结出来的知识传授于学生，随着科学技术的发展，大量未知的知识需要我们的对象去研究、去发展、去发现，从而教会他们学习科学知识的方法就显得尤其重要，这应该是教育的真谛。纵观科学技术发展的历史，在数学、物理、化学等领域中有重大的成就的数学家、科学家们，一方面除了他们的“天才”之外，另一方面都是他们具有独到之处的学习和研究问题的方法。因此，从某方面说，一切科学的成就可归咎为科学家们的方法上的成功。
数学科学是整个科学技术的基础，它作为一种文化，标志着人类文明的进步，是社会科学技术的路标，发展数学教育与教学无疑是对社会科学技术发展与人类文明的贡献。数学教育与教学包括有两大部份内容：一是研究数学科学本身的“抽象”理论知识；二是研究数学的发展规律、数学的思想方法以及数学中发现、发明与创新等法则。后者是一门实践性的科学，它对实际性的数学研究和数学教学，能产生积极的影响，应该提出，这直接关系到数学教育的目标。更贴切地说，帮助学生学会数学思维是数学教育的主要目标之一。
二、发挥“数学方法”在教学中的效应作用
正如“数学方法论”一书中所阐述的那样，数学方法是研究数学的发展规律、数学的思想主法以及数学中发现、发明与创新等法则，它日益在影响着我国数学界，特别是在数学教育界获得了广泛的重视和迅速发展，它为我们提高数学教学质量提供了一个有效的工具。众所周知，数学教学是通过对思想方法的分析来带动具体的数学知识内容的教学，从而把数学课“讲活”、“讲懂”和“讲深”。其中，所谓“讲深”是指教师在数学教学中不仅应当使学生掌握具体的数学知识，而且应帮助学生领会学习研究数学知识内在的思想方法。从这样的角度去认识，我们必须重视数学方法在教学中的体现，使数学知识通过思维方法予以反映。虽然，我们尚未建立起数学方法论的科学体系，但是在这一方面的不少成果对于我们数学教学工作是具有重大指导意义的。下面就主要的数学方法——化归原则与关系映射反演方法（RMI方法）谈谈其在教学中体验。
关系（Relation）映射（Mapping）反演（Inversion）方法，简称RMI方法，是由我国学者徐利治教授于1983年首先提出的，这一思想方法在数学的思维中表示为更一般的便是化归原则。若把“化归理解为由未知到已知，由难到易，由复杂到简单的转化，那么就是说这一数学思维的重要特点之一是使用“化归”的方法去解决问题。对于这个问题，匈牙利著名数学家罗莎•波得（Rosza Peter）曾用一个有趣的例子来说明该数学思想方法不同于一般科学家（例如物理学家）的思想方法，事例是这样的：
有人提出这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应怎样去做？”对此，某人回答说：“在小壶中灌上水，点燃煤气灶，再把水壶放到煤气灶上。”提问者肯定了这一回答。但是追问道：“如果其他条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水，那么你又应当怎样去做？”这时被提问者往往会很有信心地回答：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”但是这一回答却未能令提问者感到满意，因为在提问者看来，更恰当的回答是：“只有物理学家才会这样做；而数学家则会倒去壶中的水，并声称地已经把后一问题化归成先前的已经得到解决的问题了。”
这一事例揭示了数学的思维方式是十分典型的，他们往往不是对问题实行正面攻击，而是把问题变形，直至把它转化为已经解决或能够解决的问题，用图1示表示如下：
纵观与剖析现行数学学科的教材内容及其知识结构，从其析解问题的思路来看，始终体现着“化归”这一思维方法。
例1：在平面上证明代沙格定理论证这个问题可用纯几何法和代数法（本例只引用几何法证明）由于在空间情况的代沙格定理比较容易得证，因而只要把代沙格定理的平面情况化归为空间情况的代沙格定理，问题就得予解决，整个证明思维可用图2表示：
在化归原则的具体应用中，有时遇到复杂问题，其关键在于实现由要解决问题向已解决或能够解决问题的转化，这时可采取分割方法来实现，其过程可归结为（图3）：
例2：变换群与几何学的研究问题
这个问题首先是由德国数学家克莱因于1872年在埃尔朗根（Erlangen）纲领中提出，他把变换群与几何学联系起来，对几何学加以研究，我们称之为几何学的群论观点，这种观点是把研究的问题分割为若个小问题逐个研究，最后得出完整的解答（成果），这一研究思维用图4表示如下：
有些问题在转化中要借助映射来实现，在数学中，明确的对应关系被称为映射，在借助映射解决问题的过程中涉及的有关映射在相反方向上两次应用到。即一方面被用于由原问题去引出问题，另一方面又被用于由相应的解答去引出寻求的解答，后者称为前者的反演。这一方法我们明确地称之为关系映射反演方法，利用该方法解决问题的过程可归结如下（图5）：
关系映射反演方法是化归原则的发展，也可以说是方法论上的一次重要进步。该方法中涉及的问题是泛指各种数学对象，甚至可以是数学中的关系结构，如数、量、向量、变数、函数、方程、泛函、函数族、点、线、面、几何图形、空间、集合、运算、算子、映射、随机变数、概率、分布、测度、级数、导数、积分、模糊集合、群、环、域、范畴、代数系统、基数、序数、邻域、单子、数学模型、滤子等。所涉及的映射与反演是泛指两类数学对象或两个数学集合的元素之间建立的一种“对应关系”。如代数中的线性变换、几何中的仿射变换、射影变换、分析中的变数变换、函数变换、数列变换、积分变换、拓扑学中的拓扑变换等。这样一来，关系映射反演方法就具有适用范围广灵活性好的特点。
例3，利用复数研究几何问题，可以按照如下开展思维（图6）：
RMI方法就其思维结构关系来说，不仅在二次型内容中得以体现，而在高等代数的其他章节如线性变换等内容均能清楚反映。
关系映射反演方法作为一种数学思维方法，一方面广泛地反映于数学的各个领域和不同的分支；另一方面，就应用方法的范围而言，它不仅可用以解决绪如以上求取某个未知量这类具体问题，而且也可用以解决涉及到理论的整体结构这一具有更高“层次”的问题，甚至还能用以解决问题的否定性解答。这样一来，不论是作为一种学习数学方法和研究方法，RMI方法是一极佳的思维方法。在数学教学过程应注意体现这一思想方法，让人们更深地领略数学王国中各部份、各领域的相关关系。我们呐喊：应让“数学方法”永远渗透于我们的数学教学过程。
参考文献：
［1］马忠林，郑毓信等.数学方法论［M］.广西教育出版社，1998.
［2］梅向明，刘增贤等.高等几何［M］.高等教育出版社，2000.
［3］张禾瑞，郝鈵新等.高等代数［M］.高等教育出版社，2000.
(作者单位：广东中山市广播电视大学)