摘要：大学高等数学中运用极限理论分析与解决问题是较为普遍的，这与极限理论的内涵和特点密切相关，其基础思想是建立未知量与变量之间的关系，利用无限过程求出未知结果。文章论述了教学中采用极限理论的解题方法，以期为相关的实践提供理论参考。
关键词：高等数学；极限教学；内涵；意义；策略
中图分类号：G642.4文献标识码：A文章编号：1671-0568（2014）17-0090-02极限理论从产生到成熟运用经过了一个长时间的发展过程，是在第二次数学危机中兴起的一种计算方式，融合并升华了前人的经验，形成了与微增量较为相似的求解方法，并解决了常规数学方法难以解决的问题，成为数学中最重要的思想理论。
一、高等数学中极限理论教学的内涵和意义
极限理论的产生是由于微积分在使用中体现出的不足而推动的，也可以说是微积分理论可持续发展的产物，并扩大了微分学与积分学的应用范围，提升了数学科学的品质，极限理论体系的健全与完善为微分学与积分学的应用奠定了坚实的理论基础。
高等数学分析课题的研究离不开极限思维和解题方法的运用，甚至在所有的数学分析中，对基础概念的理解都与极限理论密不可分。很多数学著作的编写中，也常将极限理论和函数理论作为最根本的思想方法，并使用极限理论来解决问题，它也成为高等数学分析与初等数学概念最大的分水岭。极限思想可以用于解决常规数学方法根本无法解决的问题，诸如瞬时速度、曲线的弧长、曲面的体积等，运用极限思维模式在变量和常量之间建立联系，在有限与无限之间构成一种对立统一的关系，从无限的角度来理解变量与常量之间的关系，这也是矛盾分析法在数学分析中的运用。极限理论不仅在现代数学中得到了广泛的应用，对物理学的研究也起着举足轻重的作用，这和理论本身思维方式的普遍性有着极大的关系。从哲学角度看，矛盾是推动事物发展的动力，矛盾本身既是“问题”，也是解决问题的“方法”，这也就是人们常说的“问题就是答案”。万法归一，天下的学问往往也是同出一源，所以哲学等学科利用对立统一思想可以打通时间与空间的界限，使得瞬间与永恒可以相互转化，在数学中也是利用有限与无限的转化，继而从有限中认识无限。例如，在求解变速直线运动的瞬时速度时，该速度是一个变量，但可先将变速看作是匀速，求解出平均速度之后，又可将瞬时速度看作是平均速度所处的一种极限状态，这就是用不变来代替变的过程，是极限思维方式的具体表现。有限与无限、变与不变正是万事万物绝对运动和相对静止的两种状态的呈现，虽然它们是不同性质的，但是只要条件充足二者之间就可以进行转化。又比如曲线形和直线形是两种不同的概念，然而在一定的条件下，它们便可以相互转化，利用直线形的面积求解曲线形的面积就是极限理论的应用，采用初等数学的方法根本无法求解。采用内接多边形的近似圆形来求出曲线形圆的面积，主要就是运用诸多小矩形的面积与逼近曲边梯形的面积来获得预期的结果，正是极限理论在发挥着主导的作用，这是在几何学中的应用，当然在单纯研究数学问题时，极限理论的应用就更为普遍和有效。
从极限理论的发展中可以看到，一个学科只有在不断完善其理论基础的过程中，才会在实际应用中不断展现其应用的广度与高度，也将学科的发展引向纵深层次。
二、高等数学中运用极限理论的解题方法
高等数学中采用极限理论解题的方法主要包括以下几种类型：
第一种是迫敛性求解方法，在运用的过程中，先判断求解过程的难易程度，在极限不能被直接求解的情况下，则对求解极限的变量进行相应的调整，根据解题的需要成倍放大或者缩小，放大或者缩小之后的产生的自变量往往有利于极限的求解过程，并且原极限值和自变量的极限值等同，也就是说利用迫敛性方法可以求出极限值。
第二种是洛必达法则，这种求解极限的方法通常用在和类型的不定式求解中。洛必达法则在使用中比较灵活，利用变形后的法则也可以取得较好的求解效果，该法则主要应用在 或者 的类型中。在使用该法则的时候，需要注意的问题是先验证求解的条件是否满足使用的要求，也即先明确极限的类型，符合洛必达法则的应用条件才可以使用，否则不能得到预期的效果。
第三种是利用等价无穷小变量来求解极限值。在高等数学中等价无穷小变量还是比较常见的，应用起来也很便捷，灵活运用的同时也要先判断适用条件是否满足要求，通常只有求解极限式中的相乘因式和相除因式的时候，方可用等价无穷小变量加以替代，并且在求解时不可对相加与相减部分进行替换。
例如，求解■■，■■ 时，由于■■的类型是■，所以当分子与分母同时除以x3时，该分子的极限值为2，但是分母的极限却为0，不能使用四则运算方法，但是根据无穷大量与无穷小量的关系可以推导出，函数倒数的极限为0，原来函数的极限值是∞，所以当x→∞时，sin x的值会呈现出循环变化的状态，也无法运用运算法则。但当x→∞时，■为无穷小量，这时sin x也是一个有界函数，可以依据有界函数与无穷小量乘积是无穷小量的原理，推导出原来的函数的极限值是0。
第四种是采用四则运算的方法，在求解的时候先要判断题目中给出的条件是否满足法则运用的条件，高等数学中的很多题目一开始不会给出所有满足运算的条件，可以先创造条件，这也是数学中的一个重要解题思想——条件不满足就创造条件令其满足运算定理，然后再使用公式定理等解题。运用四则法则求解极限也是如此。
例如：在求解极限■■（n和m都是正整数），分子与分母的极限都为0，可以先将原式约简为：
■■=■■=■
再如：在求■■的极限时，分子和分母的极限值都为0，可以先对分子和分母进行有理化，结果为：
■■=■■=■=0
第五种是采用两个重要极限来进行解题。■■=1的利用可以求解出很多■类型的极限值，尤其是当分式中有sin函数的时候。它的推广式的应用更加普遍，如下：■■=1，并且要根据题目的要求进行适当的变形处理。例如：求■■，将分子分母同时除以x进行变形最后的结果为：■■=■=1。又如：在求解■■的极限时，分式中出现的不是正弦函数，而是余弦函数，所以先要进行转化，将原式转化为：
■■=■■·■=12·■=■。
第六种是采用递推的方式来求解极限值，主要的解题思路是先证明递推序列有极限值的存在，然后利用递推的规律从递推公式中获得极限，也即通过运用存在性求解。通常可以采用两种方法来证明递推序列有极限的存在，第一种是运用单调有界定理来证明，第二种是采用压缩映射的原理来求出极限，根据所给的具体条件，选用最为适宜的方法。单调有界定理并不能求出极限值，无论从数列的哪一项开始运用该定理都不影响极限的证明结果。
综上所述，高等数学的分析与求解离不开极限理论，尤其是在研究微分与积分问题中，极限理论不仅提供了一种思维的方式，也作为一种有效的解题方式被广泛应用，为高等数学的研究奠定了坚实的理论基础，并将数学问题的研究与探索带向更高、更精准的层次。
参考文献：
[1]张静,樊永艳.《高等数学》课程中极限定义的教学研究[J].课程教育研究,2012,(13).
[2]杨孔珠.谈高等数学中极限概念的教学[J].山西广播电视大学学报,2008,(6).
[3]华倩.探究极限概念教学的要点[J].科技资讯,2010,(36).
（编辑：秦俊嫄）