摘要：计算思维是目前学术界关注的热点问题，科学思维能力的提高是促进学习能力和创新能力最重要的因素之一。针对计算机专业“组合数学”课程的特点，总结实际教学中的工作经验以及面临的主要问题，将计算思维思想融入课堂教学中，把知识运用的综合性、灵活性和探索性发挥到极致，让学生充分体验数学之美，为其它课程建设提供了有益的探索。
关键词：计算思维;组合数学;教学改革
中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2014）33-0077-02
随着计算速度的持续增加，计算机可以解决许多大型的问题，然而计算机不能独立运行，它需要通过编程来控制。这些程序的核心往往是求解实际问题的组合学算法。而且，对于这些算法，运行时间效率和存储需求分析需要更多的组合学思想。组合学问题在生活中随处可见，组合数学的思想和技巧不仅用于传统的自然科学领域，而且也用于社会科学、生物科学、信息科学等领域。同时，大量的研究试图理解初学者的认知过程，特别是如何将数学巧妙地融合到课堂教学中，提升其他课程的教学质量。在Piaget认知模型中，抽象思维和逻辑推理的关键理论是数学，而计算思维是一种新颖的思维方式，有助于培养抽象思维和逻辑思维以及锻炼解决实际问题的能力。计算思维概念首先由Jeannette Wing提出，Jeannette Wing认为计算思维贯穿于所有学科并被广泛的应用。[1]Denning认为计算思维不是新事物，它持续蕴含在多个学科中。但是，我们可以从崭新的角度理解计算思维的概念。[2]计算思维修正了计算机科学等同于计算机编程的错误观点。许多研究者特别关注计算思维驱动下能否深层次地解决问题，特别在数学理论得到充分运用的领域[3]。
一、计算思维能力的培养
近年来，计算思维能力的培养一直是学术界讨论的焦点问题。从表面上看，计算思维涉及的是人们的一种固有思维方式。但是如果深入分析，它真正涉及的是人们如何充分利用计算思维提供的理念，改变了人们分析和解决问题的能力[4]。我们犯的最大错误可能就是试图全面强调实践，而忽略了理论知识的积累，或者试图全面强调理论，而忽略了工程实践的运用。我们的首要问题是重新思考教学模式的改革，从而激发了以下问题的探索：如何体现计算机教育的核心价值？如何在“现实世界”情景中教数学，利用问题驱动的教学方式来激发和介绍数学思想？如何尽量把学生的注意力集中在解决问题的数学思想上？如何将科学的思维方式运用到教学理论和工程实践中，增强分析和解决实际问题能力？
虽然研究者们对于计算思维的概念在细节方面还存在着一些不同的见解，但是，对于计算思维的关键理念的认识是一致的。第一，计算思维是利用计算科学的根本理论来解决问题和设计系统的一种方法。第二，计算思维意味着在不同层次建立待解决问题的抽象，以便更有效的理解问题、分析问题和解决问题;第三，计算思维意味着将数学理论充分运用到工程实践问题中，试图将待解决问题抽象为数学模型，以有效的、合理的和安全的方式来解决问题;第四，计算思维意味着从社会、经济、文化等各方面考虑问题，真正地融入人类的活动，更重要的是用以求解问题、管理日常生活的计算概念，以致不再表现为一种抽象的哲学概念;第五，计算思维是人类思维在计算科学中的体现，决非要使人类像计算机那样地思考，而是人们借助计算机开发出更复杂的工具来解决人们面临的更复杂的问题。
二、组合数学课程中的计算思维
科学、工程和技术被广泛地认为是改革和经济增长的主要推动力。数学是现代教育的关键理论，是我们描述、解决问题的主要工具，用于对问题形式化描述。组合数学不同于其它数学分支之处在于：来源于实践，又应用于实践。组合数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。计算机所处理的对象是离散的数据，所以离散对象的处理就成了计算机科学的核心，而研究离散对象的科学恰恰就是组合数学。组合数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。本文倡导将计算思维融入组合数学教学之中，通过科学思维方式的指导，提高学生的实践能力和创新能力。
在数学模型中，使用最多的是各种组合数学模型。由于组合数学问题的难度较大，建立组合数学模型需要有很好的数学功底，这个过程最能体现思维的推理性和严密性，建模过程中充分体现了分类、分治和递归等思维方法。首先，各种计数问题都可考虑建立组合数学模型，递推关系是组合数学中最常用模型。虽然不讨论数学规律而直接利用递推关系也可以在理论上解决回溯法计数问题，但先求解组合数学的递推模型再计数可以大大地减低计算的时间复杂度。其次，平面分割问题是现实生活中经常涉及的一类问题，由于其灵活多变，常常让人们感到棘手。但是，我们只要能够挖掘出数据之间的关系和数据变化的规律，能够在繁杂的数据中找到有价值的序，往往可使问题得以简化，方便了问题的求解。以下3个例子是组合数学中的典型问题，解决这种类型问题通常蕴藏了计算思维思想。
例1：假设有1分、2分、4分，…，2t分的硬币，如果将n分的纸币兑换为硬币，问一共有多少种兑换方法？
例2：设在平面上有n条封闭曲线，任何两条曲线恰好相交于两点，而且任何三条曲线不相交于同一点，问这些曲线把平面分割成的区域个数。
例3：一个凸n边形中，通过不相交于n边形内部的对角线，n边形被拆分成若干三角形，拆分数目为Catalan数。
计算思维也称为构造思维，就是构造数学模型和方法来解决问题，图1描述了使用计算思维解题的思路和步骤。同时，以上例题的解决启发学生思考以下问题：
采用什么样的构造方法建立数学模型，模型有什么特点？
如果一个问题对应多个数学模型，按照什么标准进行选择？
建立的模型是否正确，是否能够借助计算机得以实现？
本文所讨论的以计算思维为基础的“组合数学”课程，重点强调计算思维不属于计算机科学家，它应当是每个人的基本技能。要想让每个人都真诚地、发自内心地理解和接受计算思维的重要性需要一些时间，该过程的核心是改变个人的思维习惯。不管计算思维能力的培养需要多少资金和时间，我们都把它看成是一项投资。像任何有意义的投资一样，它会产生成果——解决问题能力和创新能力的提高。计算思维能力的培养能够发挥学生的聪明才智，使其有更多的时间从事创造性的、只有人脑才能做的个性化工作。
三、基于计算思维的组合数学课程建设与实践
许多计算机专业的学生患有“数学焦虑症”，比较困难地理解数学概念。这种困难的部分原因可能是由于心理因素，其中数学通常呈现给学生的是重点放在定理和证明上。表1列出了组合数学课程学习中面临的主要问题和解决办法。
表1 学习障碍和措施分析
最大的障碍 最有效的方法
对数学缺乏兴趣 教师选择合适的教材，认真备课，合理估计学生的基础能力，保证学生在学习过程中能够“听懂课”。只有这样，才能在一定程度上提高学生的课堂参与度
缺乏独立思考，自主学习能力差 淡化考试形式和改变评价体制，迫使学生注重平时的课堂学习，刺激学生主动参与到学习的过程中
师生之间缺乏课外交流 加强与学生的学术交流、情感交流，帮助学生解答疑难困惑
所学知识与实际脱节 针对问题作引导式指导，选择灵活、多变的工程案例，使学生不受固定模式的限制，做到真正的创新
缺乏理论知识的综合运用 形成一个完整的、统一的体系，使学生更准确、更系统、更完整、更牢固地掌握知识，更灵活地运用知识，便于学生的记忆、回忆、应用以及提高知识应用的准确率，使学生的思维品质得到优化，提高学生的实践、创新能力
我们坚信只要具备两个重要因素，任何学生都可以克服数学理论学习的障碍，这两个因素就是洞察力和勇气。洞察力是深入分析和解决问题的能力，勇气将你的洞察力变为行动，尽管在行动中会不可避免地遇到各种痛苦。
针对高校现有的讲授组合数学课程的教学方法，我们提出了将“计算思维”引入“组合数学”课程的建议，该建议得到了学校和学院的认可。我们采用项目驱动式和问题驱动式方法尽可能地采用联系实际的、具有工程背景的案例，同时努力揭示相关领域的各种问题的本质。除了课堂讲解以外，课下讨论和实践环节也是非常重要的。在科学思维的指导下，学生的独立分析、解决问题的能力和团队合作解决问题的能力都得以提高。表2描述了具体的教学安排。
表2 “组合数学”课程教学安排
教学内容 学时 课堂教学学时 讨论学时 自学内容
排列与组合 8 4 4 逆向思维
递推关系与生成函数 8 4 4 目标转化思想
二分图匹配 8 4 4
组合设计 12 6 6 构造性思维
在课堂教学中，我们逐步引入计算思维的概念，展开经常性的课堂讨论，使学生朴素的、本能的、潜在的思维能力得以充分发挥。在课外，学生通过自学的方式自觉训练和调整思维模式。虽然，有意识地训练计算思维需要一个漫长的过程，但是，经过不断的自我感悟、自我训练，这样坚持下去就会有所收益。实践证明，学生在创新工作中存在不足，其主要原因不是他们欠缺基础知识，深层次的原因是他们没有培养起利于创新的思维方式，缺乏科学的思维方法。
四、结语
针对“组合数学”课程的特点，综合考虑学校的具体教学情况和学生的自身条件，积极开展该课程建设和实践改革。我们将计算思维融入到该课程的目的是使学生具备科学的思维指导思想，提高学生理解、分析和解决实际问题的能力，激发和调动学生的学习兴趣，发掘学生的潜力，促进创新能力的培养，对计算机专业的课堂教学改革进行了有益的探索。
参考文献：
[1]Wing J M. Computational Thinking [J].Communication of the ACM，2006，49（3）：33-35.
[2]Denning P J. The profession of IT：Beyond computational thinking [J].Communications of the ACM，2009，52（6）：28-30.
[3]陈国良，董荣胜.计算思维与大学计算机基础教育[J].中国大学教学，2011，（1）：7-11.
[4]李廉.计算思维-概念与挑战[J].中国大学教学，2012，（1）：7-12.
（责任编辑：刘翠枝）