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计划重点项目（编号：SBE2017310472）。
作者简介：陈庭木（1977—），男，安徽芜湖人，副研究员，主要从事水稻品质遗传育种与生物统计研究。E-mail：chentingmu@139.com。
通信作者：徐大勇，博士，研究员，主要从事水稻遗传育种研究。E-mail：xudayong3030@sina.com。
一般线性回归关系有成熟算法，能应用最小二乘法准确无偏估计回归参数及其标准差，在农业科学研究领域，变量间更多呈现非线性关系，非线性关系只有经线性代换化为线性方程后才能应用成熟的线性算法，且参数估计只是在线性化条件下最优，以原非线性方程考量不是最优[1-2]。对于不能化为线性方程的非线性方程，称为纯非线性方程。纯非线性方程在生物学研究中更为普遍，如生物生长衰老方程、病害发展动态模型[3-7]、混合正态分布方程、复杂房室模型[8-11]、植物光合光响应方程[12-14]、奶牛泌乳曲线机理方程[15]、土壤水分模型[16-18]、农药残留降解模型[19-21]等。对于纯非线性方程最优拟合难度极大，传统方法有最速下降法、牛顿法、共轭梯度法，近代的有麦夸法、模拟退火法、遗传算法、缩张算法、人工神经网络、蚁群算法等。传统最优拟合方法存在对初值依赖性强、易陷于局优陷阱[1-2]的缺点，麦夸法对简单非线性模型初值要求较低[22]，但对于复杂非线性方程（如Richard方程）极难拟合，对于房室模型中一室模型相对容易，对二室模型则会得出不恰当的解[23]。其他算法多是模拟生物自然演化过程的进化类算法。进化算法属于计算智能，现有进化算法以遺传算法为代表，但遗传算法存在早熟收敛的问题，至今未能很好克服[24]。缩张算法是一种优秀的最优拟合算法，不依赖导数支持，在已报道实例中均能达到全局最优，但对于参数过多，如参数20个以上，则按最少试算点计算，每次试算量达320个试算点，计算难以实现。故应当进一步研究开发新的算法，以克服遗传算法与缩张算法的固有缺陷。
1 材料与方法
1.1 数据来源
1.1.1 Richard方程拟合
美国国家标准网站（NIST）提供了Richard方程的最优拟合计算案例，残差平方和（http：//www.itl.nist.gov/div898/strd/nls/data/ratkowsky3.shtml）由15对数据组成，最小离回归平方和Qe=8 786.404 908 0。
yi=A（1+Be-kti）1/N。（1）
式中：yi为第i个观察值;A为生长极限值;B为初始生长量参数;k为生长速度参数;ti为第i个时刻;N为曲线形状参数。
Qe=∑n-1i=0（yi-yei）2。（2）
式中：Qe为残差平方和;yi为第i个观察值;yei为第i个预测值。
1.1.2 二室模型
二室模型共5个参数，且满足Km>K2>K4。摘自袁志发《多元统计分析》中二室模型拟合实例演算[22]，文献[25-26]以麦夸法求解，初值以退层法求得。
二室模型：A2（e-k2t-e-kmt）+A4（e-k4t-e-kmt）。（3）
1.1.3 奶牛泌乳方程Dijkstra与Wood方程[25-26]
分别用下面2个公式表示。
y=Aeb（1-e-ct）/c-dt;（4）
y=Atbe-ct。（5）
式中：各字母含义见文献[25-26]。
以2种数学模型分别对罗清尧、能本海等《中国荷斯坦奶牛第二泌乳期泌乳曲线模型的研究》《中国荷斯坦奶牛第三泌乳期泌乳曲线模型的研究》文中第2、第3胎的各7组数据重算。
1.2 轮回选择算法
轮回选择是经典的育种方法，工作重点是选种、鉴定与自由互交。轮回选择在有限的遗传背景中，能最大程度地淘汰不良基因，聚合优良基因，以产生更高产量、抗性与品质的新种质。在轮回选择时，每轮选择大量选种材料，鉴定出10%的优良选种材料，作为自由互交亲本，亲本间自由杂交产生下轮选种材料。如此周而复始，不断提高亲本遗传表现水平，多代选择后必会获得一群高水平的个体。
笔者受轮回选择育种程序启发，将残差平方和作为目标函数值，看作遗传表现值，约束条件不满足看作致死基因（只选择存活个体），各自变量看作染色体，染色体以实数编码，先按各参数给定区间随机生成染色体组，构成若干亲本，亲本间进行自由杂交、自由突变产生一定量存活选种群体，对存活选种群体依目标函数值排序，选择若干优良选种材料作下轮亲本，亲本间再自由杂交、自由突变产生下代选种群体，如此周而复始，直到亲本间没有遗传变异与或目标函数值收敛到迭代精度要求为止。经历多个连续世代进化，收敛达到精度要求，称为1轮轮回选择进化，此进化算法称为轮回选择算法。