摘要：分数阶微积分作为整数阶微积分向任意实数阶微积分发展的一个重要桥梁，在经济学、生物学、医学以及系统控制中得到了广泛的应用。动力系统中广泛存在的混沌随机行为，使非线性分数阶得到了有效应用。分数阶混沌系统控制作为非线性学科的一部分，其作用日趋重要。本文在介绍分数阶微积分发展历史的前提下，对分数阶微积分的定义和性质以及研究现状进行了阐述，以期为非线性分数阶在的动力系统控制中的研究提供参考。
关键词：非线性分数阶；动力系统
引言：分数阶微积分自1695年被提出以来，其实际应用意义一直未被发现，直到二分之一阶导数的意义被阐明之后，大批数学家才投身于分数阶微积分的研究之中。由于有限的实际应用背景和物理意义，分数阶微积分发展伊始，一直受限于纯数学领域的研究。1983年，Mandelbort 提出的分形理论奠定了分形动力学和分形几何的基础，也让分数阶微积分用于实际应用成为现实。
一、分数阶混沌系统控制概述
自美籍华人李天岩将“混沌”一词定义并引入动力学研究之后，其在非线性物理领域获得了空前的发展。混沌是指在确定性系统出现的随机动力学行为，该类行为表现为无规则运动，具有不可预测性。这种随机现象不仅存在于物理、化学等领域，还广泛存在于社会学、管理学以及自动化控制等实际生产和生活领域。由于混沌的不可预测和难控制性，人们最初是在设计阶段尽量避免混沌的产生。20世纪90年代后，出现了混沌控制思想，打开了混沌控制和同步的研究。传统的整数阶混沌系统同步方法主要有：驱动-响应同步法；自适应同步法；变量反馈控制法；脉冲控制法以及滑膜控制法等方法[1]。
非线性分数阶微分系统和非线性常微分系统一样，具有混沌等复杂的动力学行为。20世纪末，科学家发现了分数阶动力系统振荡现象，并开始进行研究，这对分数阶振荡器的研发奠定了基础。一系列研究结果表明，动力系统求导阶数为分数阶时，同样有可能出现混沌情况。由于分数阶系统具有遍历性和对初值较为敏感的特性，因此相比于整数阶描述方式，分数阶混沌系统更加贴近实际工程物理情况。
二、分数阶混沌系统的应用
虽然目前对分数阶混沌系统的研究大多数尚处于理论阶段，但其巨大的潜在价值已经被人们发现和认可。分数阶混沌系统主要在以下领域具有潜在应用价值。
（一）图像加密
计算机运算能力的提升作为算法复杂化的基础，在计算机加密领域已经掀起了巨大变革，随着计算机解密技术的发展，经典加密算法已经不再具备必要的安全性。近年来迅速发展的图像加密技术，正式在混沌密码学的基础上发展起来的。经典的混沌加密方法是采用混沌映射对计算机图像像素进行紊乱处理，从而掩盖真实图像信息。该方法的有点在于加密速度较快，并且密钥空间大，安全性较经典加密算法有了巨大的提升。分数阶傅里叶变换赋予了图像加密分数阶阶次，从而额外的扩大了密钥的空间，可以进一步提升图像加密的安全性。除此之外，基于分数阶傅里叶变换的图像加密算法可以很好地抵抗图像噪音等外部攻击，具有更加广阔的应用前景，当前，将分数阶傅里叶变化和混沌加密相结合的图像加密算法，已经成为了相关领域的研究热点[2]。
（二）混沌通信
混沌你动力学在电子科学工程和数学等领域的发展直接催生了混沌通信的研究。由于混沌信号对初值的敏感性、随机性以及非周期性，可以对通信信号进行掩盖，产生混合信号后再进行传输，同时，在接受端采用对应的混沌同步信号对混合信号进行解调，从而实现有用信息和掩盖信息的分离，达到数据调制、加密、传输和解调的功能。因分数阶混沌系统的安全性，混沌通信具有安全性和抗干扰性等诸多优点。
（三）信号处理
采用传统方式对混沌信号进行过滤处理时，容易忽略混沌信号自身特性，而将其作为掩盖信号进行剔除，其信号处理精度不能满足水下目标搜索、胎儿心电图产生等高精度领域的应用。而采用分数阶混沌系统，可以有效对信号的边缘检测进行优化，从而提高信号过滤精度，最大限度的保留有用信号。
三、分数阶混沌系统同步研究
（一）不确定分数阶混沌系统间同步
在实际工程和應用中，由于存在噪音、温度变化等外部干扰以及系统内部零件老化和测量误差等原因，无法采用一个精确的数学模型对一个对象进行持续、精确的描述和控制。因此对于含有类似不确定参数的分数阶混沌系统间同步和控制问题需要进行修正处理。目前主要研究成果有：延迟同步与参数识别处理、鲁棒修正射影同步等。基于非线性分数阶自制系统的稳定性处理可以为射影延迟同步处理提供较为完美的同步控制器，在参数更新处理上具有有效性。
（二）不同维分数阶混沌系统间同步
不同维分数阶混沌系统间同步主要应用于社会科学研究中。该领域中，对相同维分数阶混沌系统间同步有较多研究成果，但针对不同维情况，大部分研究刚刚开始。针对不同维分数阶混沌系统间的广义射影同步和函数射影同步，可以采用升维或降维处理，以达到满足实际工程要求的处理精度[3]。
（三）分数阶时滞混沌系统间同步
时滞作为物理系统中不可避免的存在，广泛存在于工业生产传送过程中。时滞主要是指系统深入与控制间的滞后和系统本身的固有滞后。这种现象广泛存在于自动控制、网络信号传输以及管道输送等系统控制中，因此对时滞系统的研究具有较实际意义。目前阶段，对时滞系统的研究主要涉及单时滞、多时滞以及变时滞等混沌系统，其同步方法主要包括完全同步、延迟同步以及反向同步等方面Bhalekar等人研究的非线性分数阶时滞系统的混沌行为为时滞混沌系统的研究提供了新的思路。在此基础上，研究人员对分数阶时滞混沌系统的广义同步、射影同步以及延迟同步进行了深入研究，今儿提出了混杂射影同步、修正射影延迟同步等诸多时滞混同系统同步和控制方法。
结语：
随着分数阶微积分在国际上日益瞩目，其动力系统同步和控制研究也成为研究热点，针对国内外研究现状，本文从分数阶微积分发展历史出发，对分数阶动力系统，尤其是非线性分数阶动力系统的同步和控制研究现状进行了总结和归纳，以期为非线性分数阶动力系统控制的应用和推广提供更加坚实的基础。
参考文献：
[1]王莎. 非线性分数阶动力系统的控制研究[D]. 北京交通大学， 2014.
[2]孔德富. 一类非线性分数阶动力系统混沌同步控制研究[D]. 天津职业技术师范大学， 2015.
[3]李静. 分数阶非线性系统的同步与一致性问题研究[D]. 江南大学， 2016.
作者简介：
田魏巍，（1984-），西北师范大学数学与统计学院，硕士