摘 要 隐函数存在唯一性定理是一个充分不必要条件。本文把定理中第四个条件要求的改为时,对隐函数存在性作探讨。本文引入了拐点,解决了本文提出的问题。
关键词 隐函数 存在性
一、引言
应用课本学习过的知识,判断一个较为复杂方程是否存在隐函数时,主要判断其是否满足隐函数存在唯一性定理的条件。通过实际例子知道,这个定理只是一个充分不必要条件。那么在什么情况下方程存在隐函数呢?本文专门研究了这个问题,并取得了一些小小的进展。
二、拐点法证明隐函数的存在性
(一)分析在定理中的作用。
回顾定理的证明过程,第(4)个条件中的,主要是为了说明对于每个固定的,作为的一元函数,必定在上严格单调。而当的时,出现的情况是,在内,作为 的一元函数下,可能不具有单调性。而单调性又是在证明隐函数存在唯一性定理中不可缺少的一个条件,所以当,如果再加一个或几个条件,使对于每个固定的,即令,作为 的一元函数,也在上严格单调。那么就可满足要求。此时根据隐函数存在唯一性定理,便能证明在该点邻域内能确定隐函数,问题也就解决了。
(二)单调性分析及证明。
在曲面中,如果我们把区域中的每个的值固定,即令,曲面与平面 的交线就是以为自变量的一个函数,如果这个函数在点的邻域内具有单调性,那么问题即可解决.其实可以证明如果点为拐点,则在其邻域内具有单调性。
证明:因为点为拐点,拐点即为凸函数和凹函数的分界点。不妨假设在内是凸函数(若在内是凹函数,则可讨论),在上是凹函数。根据数学分析上册定理6.13的等价论断10及论断20,即如果为上的凸函数,则为上的增函数;如果为上的凹函数,则为上的减函数。
假设为的导数,则在上为增函数,因为,所以;在上为减函数。又因为,所以。即在上都有。所以在上单调递增。故有,。问题得证。
问题转化为:如何验证点为函数的拐点?
三、拐点的判定
(一)判定方法一:定义法。
拐点是凸函数和凹函数的分界点,只要证得在点的两端分别满足凸函数(凹函数).函数在点的某个邻域上就具有单调性即符合隐函数证明的要求。
(二)判定方法二:定理6.13等价法。华东师范大学数学系。数学分析。
四、实际应用
例:方程能否在原点的某邻域内确定隐函数。
解:设,由于及其偏导数都在原点邻域内连续,,但,所以由隐函数存在唯一性定理不能确定在原点邻域内是否存在隐函数.对 关于求二次导,有。无论在区间还是区间上,。所以点不是拐点。即方程不能在原点的某邻域内确定隐函数。
参考文献:
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