【摘 要】极限思维在数学中具有至关重要的地位，自从公元3世纪刘徽割圆术的创立，为极限思维的应用奠定了基础。通过极限思维，学生能在近似中认识精确，在有限中认识无限，在量变中认识质变。学会应用极限思维，会使高中数学学习达到事半功倍的效果。
【关键词】数学;极限思维;解题
一、极限思维概述
1.极限思维的内涵
极限思维是以极限概念为基础，充分利用极限理论这一工具，分析研究数学的函数。从本质上来说，极限思维就是充分利用极限概念解决数学问题的方式，通过这一方式的运用能有效降低解题难度、简化解题步骤。极限思维在数学解题中的应用重点在于：假设一个与被考察量有密切关系的变量，确定变量无限过程的结果就是要求的未知量，并最终通过极限算法得出相应的结合。极限思维始终存在于数学分析的全过程中，换句话说，数学分析与极限思维密切相关，两者密不可分。极限思维是现代数学解题的重要思想，现存的数学分析著作均以极限思维、函数为基础，然后提出导数、定积分、连续函数、多元函数等概念，可见极限思维在数学解题中至关重要。
2.极限思维在数学解题中的作用
极限思维在数学解题中的作用显著，主要表现在如下方面：①在极限思维的帮助下，学生能够透过问题的表面看到问题的本质、搜寻解题关键，有效简化解题步骤。例如，在不等式求解中，通过极限思维确定不等式变量的取值范围，就可直接找到解题捷径，大幅度简化解题步骤、降低题目难度。在极限思维的帮助下，难度较高的数学题目变得简单、易解。②在极限思维的帮助下，能活化我们的解题思路，进而为解答数学题目提供更多方法。例如，在立体几何题目中，可充分利用变化运动中的最近思维、最远思维、最大思维、最小思维等，准确找到问题解决关键点，全面提升解题灵活性。
二、极限思维在数学解题中的应用
在解高中数学客观题目时，极限思维的应用主要集中在几何、概念思维、数列等方面，具体应用如下：
1.在数列题中的应用
在高中数学学习中，数列部分一直是学习的难点，也是高考的重点。极限思维在数列题目解题中的应用，能帮助我们迅速找到问题解决方法，为题目解决提供灵活思路。极限思维是现阶段常用的数学分析工具，是数列解题中的重要思维方式。例如，
已知数列{an}的前n项之和为Sn=1+tan（t≠0，t≠1，n∈N）。
（1）求证，数列{an}是等比数列。
（2）若Sn=1，求t的取值范围。
题目解答思路：从“{an}的前n项之和为Sn=1+tan（t≠0，t≠1，n∈N）”来看，Sn和an的关系为an=Sn-Sn-1（n≥2），得出数列递推公式。分析a是否为零，然后求出数列的通项公式。在解答第二题时，利用极限的值和（1）中的结果，代入Sn，得出关于n的式子，最后得出n的值。
解：（1）n=1时，s1=1+ta1，（1-t）a1=1
∵t≠1，∴a1=
在n≥2时，
an=Sn-Sn-1
=（1+tan）-（1-tan-1）
=an-1
∴数列{an}是等比数列。
∵Sn=1
∴公比0≠|q|<1→0≠||<1，|t|<|t-1|→t<
∴t的取值范围是（-∞，0）∪（0，）
2.在几何题中的应用
极限思维是微积分、积分类数学知识中的重要分析工具，在极限思维的帮助下，可有效描述微积分中的变量变化趋势。对变量变化过程的无限变量进行分析，本质上就是极限思维运用的具体体现。极限思维在数学几何题目中无处不在，起到了承上启下的重要作用，能为将来高等数学的学习奠定基础。
3.在数学概念中的应用
在数学客观题解题过程中，充分利用极限思维，一方面能帮助学生顺利解决相关题目，另一方面能全面提升学生的自主学习能力、创新能力，指导学生将实际数学题目与数学应用价值相联系，并形成建立解题模型的能力。简言之，在极限思维的帮助下，可充分利用概念、原理等数学工具，指导学生掌握解决问题的具体方法。
例如分段函数这个概念，首先要明白：一个分段函数要在定义域内单调，需包括两方面内容：一个是区间单调，一个是端点单调。讨论这一问题要从两个角度来考虑：一个是分段，一个是整体。简单来说就是：函數f（x）在区间（a，b）和（c，d）单调递增，其中c≥b，那么f（x）在（a，b）∪（c，d）上单调递增的条件是：将c代入（c，d）所对于的解析式求得一值m，再将b代入（a，b）所对应的函数解析式求得一值n，那么n≥m。
以例题来详细说明以上概念
bx x 已知f（x）={ X-b x≥a （a，b∈R，b≠0） 问，a，b在什么情况下能使f（x）在定义域上单调？ 解答思路：首先我们确定，由于x≥a时函数为单调递增，所以f（x）只能是单调递增。要在定义域上单调递增，就包括两个方面——首先函数在x<a时单调，那么就要求b>0，然后必须满足端点单调，即：将端点a代入x-b得到的值a-b，要比将a代入bx得到的值ab大或者相等，即a-b≥ab，加上b>0，就是a和b必须满足的条件。 这道题本身是没有什么难度的，我们要从中看到的是这里面涉及的极限思想：当x<a时的解析式bx严格来说是不能带a的，因为这个解析式只适合于x<a的自变量。而这里这样做，如果非要说个原因的话，那必须涉及极限思想：那就是要求函数f（x）在x=a右端的极限值要比左端的极限值大或者相等，由于高中阶段接触的函数都是初等函数，所以直接把端点值代入即可。如果我们代入端点值时发现出现分母为零、偶次根号下为负数等无意义的情况，那就直接可以说明此函数在此端点不单调。 三、学生极限思维的培养 教师在授课中，应着重强调以下几点：①要加深对各种概念与公理的理解，从抽象、逻辑上理解，而不能流于直观化、表面化（这正是大多数学生的问题所在）;②让学生学会对概念与公理的运用，将其融入潜意识，形成本能。一切问题都回归到基本的概念与公理，并从概念与公理出发进行逻辑推导，能使学生深刻理解问题本质，培养其从基本假设出发建立理论体系的能力。同时，思维方式也很重要，极限思维要求学生打破常规，从极端的例子出发来验证、求取答案，可以说，基本概念是基础，而思维的灵活性则是培养极限思维的关键;③强化思维训练，加强思维的灵活与开阔，打破僵化的思维模式。让学生多思考、分析趣题、难题，并向学生展示思考过程;④分析学生的心理，进入他们的精神世界，与之融为一体，利用自己强大的精神力量清除学生心理方面的不良影响，比如，急躁、马虎、自卑等等。很多学生，之所以成绩上不去，并不是知识的理解问题，更多的是心理问题。 四、结语 综上所述，极限思想是高中数学学习中的重要理论，在解题和学习中运用极限思想能够有效简化解题步骤，提高解题速度，降低题目难度。本文以极限思维的概述为切入点，从数列题、几何题、数学概念三方面，详细论述了极限思维在数学解题中的应用，多角度入手，旨在对高中学生数学解题有所裨益。 参考文献： [1]乔天鸿.高中数学解题中的极限思维探讨[J].中学生数理化：学研版，2016（9）. [2]李剑乔.极限思想在数学解题中的应用[J].高考：综合版，2014（11）. [3]黄成兴.浅谈极限思想在高中数学解题中的运用[J].课程教材教学研究：教育研究，2015（3）.