【摘 要】极限是高等数学重要的基本概念之一，是贯穿高等数学的一条主线，灵活掌握极限的计算是学好高等数学的基础。极限的计算方法很多，非常灵活，比如极限的四则运算法则、两个重要极限、等价无穷小的代换、洛必达法则等。
【关键词】极限；计算；两个重要极限；等价无穷小；洛必达法则
1 引言
极限概念是深入研究函数变化性态的一个最基本概念，极限方法是数学中最重要的一种思想方法，是微积分学的基础。早在中国古代，极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载。例如，魏晋时代的数学家刘徽在《九章算术》中利用割圆术，用圆内接正多边形周长的极限是圆周长这一思想来近似地计算圆周率。随着微积分学的诞生，极限作为高等数学中的一个概念被明确提出。但最初提出的这一概念是比较含糊的，因此在数学界引起不少争论。直到19世纪，由柯西、魏尔斯特拉斯等人才将其置于严密的理论基础之上，从而得到了世界的公认。
2 极限的几种计算方法
2.1 利用无穷小量的性质和等价无穷小的代换求极限
2.1.1 无穷小量有下列重要性质：
2.1.1.1 有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量；
2.1.1.2 有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量；
2.1.1.3 常量与无穷小量的乘积为无穷小量；
2.1.1.4 有界变量与无穷小量的乘积为无穷小量。
当 时，有下列常见等价无穷小：
sinx～x，tanx～x，arcsinx～x，arctanx～x，ln（1+x）～x，ex-1～x，（为非零常数）。
2.1.2 利用等价无穷小代换求极限时应注意以下问题：
2.1.2.1 等价无穷小代换只能对分子或分母中的因式进行代换.
2.1.2.2 在乘除运算中才可以将无穷小用其简单的等价无穷小去替换.
例1：求极限
解：因为当时，x为无穷小量，且，即为有界变量，
由性质（4）得=0.
例2：求极限
解：原式=
例3：求极限
解： 原式
2.2利用极限的四则运算法则求极限
定理1：设，则
①；
②；
③.
也就是说，如果两个函数的极限都存在，那么这两个函数的和、差、积、商的极限分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为分母的函数的极限不能为0）.
由上述定理可以得到下面的推论
推论：设，
①若C为常数， 则；
②若n为正整数，则.
上述法则及推论对于，等情形均成立.
例1：求极限
解：原式==8
在应用极限的四则运算法则时，通常需要先对函数做某些恒等变换或化简，变换的方法通常有分解因式，分子（母）有理化，通分，比较最高次幂法等。
例2：求极限
解： 原式=
例3 求极限
解：原式=
=
例4：求極限
解：原式=
==
例5：求极限
解：原式=
对于此极限，我们有一个一般的结果，用数学式子可表示为：
（l、m为正整数；al， ……，a0，bm， ……b0为常数且al·bm≠0）.
2.3利用两个重要极限求极限
2.3.1
该重要极限在极限计算中有重要作用，它在形式上有以下特点：
①它是型未定式.
②它可以写成（（ ）代表同样的变量或同样的表达式）.
例1：求极限.
解： 原式=
例2：求极限
解： 原式=
2.3.2
该重要极限在形式上有以下特点：
①它是型未定式.
②它可写成或.
例1：求极限
解：原式=
例2：求极限
解：原式=
2.4 利用洛必达法则求极限
2.4.1 型未定式
定理1：洛必达法则Ⅰ：若函数f （x）与g（x）满足条件
①；
②和在点x0 的附近（点x0 可除外）可导，且；
③存在（或无穷大）.
则=
上述法则对时的型未定式同样适用.
例1 求
解： 原式=
2.4.2 型未定式
定理2：洛必达法则Ⅱ：若函数f （x）与g（x）满足条件
①；②和在点x0 的附近（点x0 可除外）可导，且；③存在（或无穷大）.
则=
上述法则对时的型未定式同样适用.
例2：求
解：原式=
注：利用洛必达法则不仅可以解决型和型未定式的极限问题，还可以解决0·∞型，∞-∞型，1∞型，00型，∞0型等类型的未定式极限问题，解决这些类型未定式的方法，就是经过适当的变换，将它们化为 型或型未定式的极限。
3 结论
极限的计算方法灵活多样，根据题目的特点，合理选择运算方法是关键，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。
参考文献：
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