摘 要：几何学有着悠久的历史，至今仍然是最重要的数学学科之一。微分几何是几何学中一个以无穷小分析方法为特征的分支。著名的数学家高斯、黎曼、嘉当等人，都对微分几何学的发展做出过重大的贡献。另一方面，微分几何学也是现代物理学思想的重要源泉。曲率是微分几何学中的一个重要概念，在这篇论文中，我们尝试从数学与物理学两个角度，对这个概念做初步的探讨。
关键词：《三体》曲率驱动；曲率问题
1 曲率的数学直观认知
微分几何学是利用微积分的理论研究欧氏空间的几何性质的一个几何学分支。古典微分几何着重研究三维欧氏空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的欧氏空间——流形。微分几何学与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响。爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。
在这篇论文中，我们主要尝试从数学与物理学两个不同的角度，对微分几何学中的一个非常重要的概念——曲率，尝试做一个初步的探讨。我们的论文的结构如下，在这一节中，我们将主要从数学的角度去理解曲率这个概念。因为严格定义曲率，需要相当篇幅的多元微积分的预备知识作为基础，所以这里我们更强调的是一种数学的直观定义，这也反映出微分几何学这个学科——对图形直观性地强调——本身所蕴含的特性。关于曲率最严格准确的定义，我们推荐感兴趣的读者参看参考文献[1]。在下一节中，我们将会从物理学与工程技术的不同的应用场景的角度，去探讨曲率这个概念，在其中所发挥的作用。从物理学的角度，我们尤其强调的是它在现代宇宙学中的作用，而在工程技术的角度，我们会去探讨它在地球物理勘探中的应用。最后的一节中，我们将基于前两节所讨论的曲率的理论层面的知识，来给出一个有趣的实验。
欧氏空间中的一个曲面上有两个重要概念，就是曲面上的距离和角。比如，在曲面上由一点到另一点的路径是无数的，但这两点间最短的路径只有一条，叫做从一点到另一点的测地线。在微分几何学里，一个中心的问题便是要探讨怎样判定曲面上的一条特定的曲线是这个曲面的一条测地线，此外也还需要讨论测地线的其他几何性质。另一方面，讨论曲面在每一点的曲率也是微分几何的重要内容。
在微分几何学的思想中，利用单变量与多变量的数学分析的基本思想，我们可以在充分小的数值内忽略那些高阶无穷小的变量，于是一些复杂的非线性等量关系可以变成简单的线性关系。这种思想便是微分几何中所特有的技术方法。
从伟大的数学家高斯在微分几何的工作开始，由于数学家们对高维欧氏空间中的曲线、曲面的局部几何性质，与整体内蕴几何性质的研究，使得微分几何学同拓扑学等基础数学中更为抽象的数学分支有了紧密的联系。这些现代基础数学的重要领域和微分几何互相影响，使得微分几何学本身也已经成为了现代基础数学里的中心课题之一。另一方面，微分几何在物理学与工程技术问题上也慢慢地产生了重大的应用。
特别地，微分几何学的主要研究技术大是来自于数学分析中的基本思想。正如我们上面所提到，微分几何学发展的重要动机除了来自于它本身与现代基础数学其他重要分支的互动外，也来自于物理学、天文学以及工程技术中所日益增长的需求。尽管微分几何学主要研究的高维欧氏空间里面曲线、曲面的局部内蕴几何性质，但同时它强烈地依赖于几何图形的直观，以及由图形本身所进行地类推的方法，即使从现代数学的角度看，也仍然有其特殊的重要性。
通过以上对微分几何学的简单地历史回顾，我们很自然地看到，微分几何学中的一个重要概念是曲率，我们现在就开始更具体地来讨论这个概念本身。
我们已经知道，微分几何学是以高维的欧氏空间里面的光滑曲线与曲面作为基本的研究对象，所以整个微分几何学是通过曲线的弧线长、曲线上一点的切线等等基本的概念所展開的。那么既然微分几何学是研究曲线于曲面的几何性质，那么自然地平面曲线在一点的曲率和空间的曲线在一点的曲率等，就是微分几何学中非常重要的内容。
要计算曲线或曲面上每一点的曲率就要用到数学分析里面的微分的思想。直观地说，曲率表示一条曲线的弯曲程度。曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大，曲率越小，表示曲线的弯曲程度越小。从高维几何图形来说，曲率表示的是图形表面的平坦程度
2 曲率的物理应用
都说数学物理联系地很紧密，曲率便是个很好的例子。在动力学中，一般的，一个物体相对于另一个物体做变速运动时也会产生曲率。这是由于时空扭曲造成的。结合广义相对论的等效原理，变速运动的物体可以看成处于引力场当中，因而产生曲率。
具体地，我们在这篇论文中主要从以下几个方面探讨曲率在物理的应用：引力场，曲率驱动，与曲率在地球物理勘探中的应用，例如层面形变，检测断层，研究故地貌，识别地质体。
首先，我们把宇宙想象成一个没有任何物质的平滑的空间（类似于一个沙滩），然后往里面添加天体，根据实际经验可知，沙滩上堆放物质是，物质所在区域会下陷。宇宙也如此（如左下图）而物质的出现带来了的引力，而引力又会以任何能量以无限弯曲的方式改变正常空间，从而使空间下陷，使原本平滑的空间变成了具有一定曲度的空间。而曲率便可以用于描述其下陷情况从而推算出天体的引力。
另一方面，按照爱因斯坦的广义相对论的说法，在引力场中，时空的物理特性是由物体的质量分布决定的，物体质量的分布状况使得时空的物理性质变得不均匀，于是引起了时空的弯曲。因为一个有质量的物体会对时空造成弯曲，而我们可以认为当赋予了速度之后，有质量的物体质量增加，于是时空弯曲的曲率就会变大了。
刘慈欣的著名的科幻小说《三体》中，曾经提到过一种飞船驱动方式—曲率驱动。正如上面提到的，宇宙并不是平滑的空间，而是四处存在着曲率，且大小不等分布不均匀。曲率驱动则是依照着这种“地势”提出来的。通过改变飞船后方的曲率（使其减小），那么飞船前后则存在曲率差，这种差则产生力带动飞船高速运动。
在这一节的最后，我们简要地探讨一下曲率在地球物理勘探中的应用。我们知道，不同的地质体的曲率特征会有所差异。地质学家针对不同地区的断层、窄河道、宽河道可以尝试进行仿真试验，根据仿真试验的结果来分析与确定断层、河道的识别原则。特别地，利用改进后的曲率算法计算了不同地区的最大正曲率与最小负曲率。并根据已有的识别原则对不同的地区的断层及河道进行了识别，取得了非常好的效果。这些仿真试验的结果表明，最大正曲率与最小负曲率的有效结合可以很好地识别断层与河道，并且可以有效地修正了测试误差。
3 实验与讨论
在这篇论文的最后一节中，我们将利用以上对曲率这个概念的理论层面的讨论，特别是曲率驱动的原理，来完成一个类比于水面的张力的实验。具体的实验过程如下所述：
3.1 实验目的
利用改变水的张力来类比于改变空间的曲率，从而探究物体的运动状况。
3.2 材料准备
一只尾部带孔的小纸船，一块肥皂，几枚回形针，一个正常规则的脸盆，一支记号笔，一个秒表。
3.3 实验过程
（1）首先往脸盆里注水，容量达到半满状态。
（2）在脸盆边缘中央位置做上记号，设为航线起点。静置脸盆，使水面平静。
（3）取回形针一枚在肥皂上刮下一小块，将其塞入纸船小孔中（尽量使纸船不倾斜）。
（4）待水面平静后，从起点处缓缓地放下纸船。在纸船与水接触的瞬间开始计时。
（5）取回水船，待水面平静后，将水船再次置于起点处，观察水船运动情况。
（6）取回水船，待水面平静后，将水船置于离不同于起点的脸盆边缘处（要求离起点较远（记为起点二），缓缓放下纸船。在纸船与水面接触的瞬间开始计时。
（7）取回水船，注水，至装满脸盆（注意不能让水溢出），重复上述4，5，6步骤，记录数据，做成表格。
3.4 实验结果及结论
（1）小船快速向前行驶一段距离之后停下，同时水变浑浊且快速扩散，取回，同航线再做，无明显现象。改变航向，亦无明显现象。
（2）加水，重复上述实验，无明显现象。
（3）结论：①肥皂水改变的小船后方的张力，使得小船前后存在张力差，是小船前进（类比曲率驱动可行）。②取回在做无明显现象，说明在已改变张力的航线上已不能存在明显的张力差即肥皂水已把水的张力降到最低。③改变航线亦无明显现象说明肥皂水会快速扩散改变周边水域张力（类比曲率驱动的启动可能会永久地并向外扩散地改变周围空间曲率）。④注入清水后亦无明显现象说明此改变在一定程度上不可逆（类比曲率驱动的影响很难改变）。
3.5 误差分析
（1）进行实验时未等到水面完全静止就开始实验。
（2）将肥皂块塞入纸船的过程中，质量分布不均匀，使得纸船倾斜。
（3）第二次釋放的航线未与记号对齐。
（4）注水至满的操作中，有水溢出。
（5）起点二与起点一相距较近。
3.6 实验改进
（1）可将小纸船改为纸片（纸船质量过大，现象不明显）。
（2）可将肥皂块改为浓度较高的肥皂水，实验更易成功。
（3）将纸船改为防水材质（如卫生纸的胶纸外包装）。
参考文献：
[1]张筑生.数学分析新讲，第三册.第1版，北京：北京大学出版社，1990.