费马原理最早由法国科学家皮埃尔•德•费马在1660年提出，又名“最短光时”原理。它是几何光学的基本定理，用变分法可以导出高中阶段所学的几何光学定律：光在真空中沿直线传播、光的反射定律和光的折射定律。若将费马原理应用到求解直线运动的最值问题中，会有意想不到的效果。
图1
【例1】 如图1， 树枝上P点停着一只乌鸦，地面上有几个小虫，那么，乌鸦从树枝上飞下来吃地上的哪条小虫再飞到对面的篱笆墙上Q点，它飞行的路程最短。
解析：将地面视作平面镜，篱笆上的Q点在镜子中的像Q′点关于镜面对称，PQ′两点之间直线段距离最短，PQ′交镜面于O点，OQ=OQ′,从图中可以看出，乌鸦选择右边第三只小虫，飞行路程最短。
【例2】 （第20届全苏中学生物理奥赛题）快艇系在湖面很大的湖的岸边（湖岸线可认为是直线），突然系艇的绳松脱，风吹着快艇以恒定的速度v=2.5km/h沿岸与湖成θ=15°的角漂去。若人沿岸以速度v1=4km/h行走或在水中以v2=2km/h游去，问能否追上快艇？当快艇速度最大为多大时总可以追上？
本题除《数理天地》2007年第10期和《数理化学习•高中版》2010年第4期马树奇老师给出的几种解法以外，还可以利用光的全反射性质求解。
图2
解：假设快艇漂至P点，将人比作一束光线，人在河岸上行走的速度相当于光速，在湖里面游泳的速度相当于光在介质中的速度v，根据费马原理可知，光总是选择最短时间的路径传播，当人恰好追上快艇时：
临界角：sinC=1n=12,C=60°。
代入解得：vM=22（km/h）。
所以当快艇的漂行速度与湖岸成15°夹角，速度不大于22km/h时，人都能追上快艇。
【例3】 已知：汽车在草地上的行驶速度为v1=40km/h，在沙漠中的行驶速度为v2=30km/h,假设草地与沙漠的分界线平直，若汽车从草地中距分界线垂直距离为3km的A位置出发前往沙漠中距分界线垂直距离为8km的B位置，A位置和B位置与分界线的垂足距离BC为10km,求汽车应该在什么位置过分界线用时最短？
解法一：
假设汽车从CD之间的某点O点通过时
t=AOv1+OBv2
=x2+3240+(10-x)2+8230
求解x为在0至10km之间某值时，t取最小值。但此方程的求解远远超过了中学生的解题能力。
解法二：
如果将汽车比作光线的话，那么草地和沙漠的分界线就相当于空气和某种介质的界面（如图4），此介质的折射率n=4/3。根据光的折射定律可知：
n=sinisinr=xx2+32
10-x(10-x)2+82=43，
化简后可得：x4-14x3+49x2-288x+1008=0，
最后整理得：(x-4)(x3-10x2+9x-252)=0，
得一解：x1=4(km)。
结合高中数学必修1中函数与方程的关系：方程f(x)=0的解对应着函数y=f(x)与x轴交点的横坐标。方程x3-10x2+9x-252=0在［0,10］是否有解，可转化为判断函数f(x)=x3-102+9x-252在［0,10］内与x轴有没有交点；利用导数,研究该函数的性质，得出该函数在区间［0,10］上的极小值即最小值大于0，从而得到函数f(x)=x3-10x2+9x-252在［0,10］内与x轴没有交点，即方程x3-10x2+9x-252=0在［0,10］内无解，所以汽车在距出发点在分界线上的垂足4km的位置过分界线用时最短。
通过以上分析可知，在解决直线运动中的最短时间问题时，将物体的运动比作光的传播，利用“最短光时”原理,可以直接确定运动路径，从而简化解题过程，起到事半功倍的效果。
参考文献
［1］竹锦霞.费马原理与运动性最值问题探讨［J］.四川文理学院学报，2007（3）.
［2］马树奇.妙趣横生源于“图”［J］. 数理化学习，2010（4）.
［3］马树奇.一道赛题的简捷解法［J］.数理天地，2007(10).
(责任编辑 黄春香）