摘要：从凹凸函数的定义和几何特征出发，归纳了它在初等数学中的一些性质，结合实例总结了它在求最值中的应用。
关键词：凹函数；凸函数；最值
中图分类号：O13 文献标识码：A 文章编号：1671—1580（2013）02
一、凹凸函数定义及几何特征
为了行文方便，我们先来介绍一下凹凸函数定义和几何特征。
则分别称f（x）在区间I上是凸函数或凹函数。以上两个不等式中当且仅当x1=x2时等式成立。
如图1所示，设A1，A2是凸函数y=f（x）曲线上两点，它们对应的横坐标满足x1
根据以上几何特征，我们可以直接推导一个关于凸函数的不等式，设函数y=f（x），A1A2为f（x）图像上的任一弦，设A1[x1，f（x1）]，A2[x2，f（x2）]，x1 如果函数f（x）是凹函数， 那么不等式（1.3）中的不等号方向相反。 二、凹凸函数的一些性质 根据凹凸函数的定义可以证明下面的定理： 定理1 若函数f（x）在区间I上为凸（凹）函数，区间I1I，则函数f（x）在区间I1上也为凸（凹）函数。 定理2 若f（x）和g（x）在区间I上都是凸（凹）函数，则f（x）+g（x）在区间I上也是凸（凹）函数。 定理3 若f（x）在区间I上是凸（凹）函数，则当a>0时，af（x）在区间I上也是凸（凹）函数，而当a<0时，af（x）在区间I上为凹（凸）函数（a为常数）。 推论1 若f（x）在区间I上是凸（凹）函数，则-f（x）在区间I上为凹（凸）函数。 推论2 在区间I上，如果f（x）是凸（凹）函数，而且g（x）是凹（凸）函数，那么f（x）-g（x）为凸（凹）函数。 推论3 如果f（x）在区间I上是凸（凹）函数，a为常数，那么f（x）+a和f（x）+ax在区间I上都是凸（凹）函数。 定理4 设y=f[g（x）]是y=f（u）（u∈J）和u=g（x）（x∈J）的复合函数，而且g（x）在I上为凸（凹）函数，则 （1）当f（u）在区间J上为增的凸（凹）函数时，f[g（x）]在I上的凸（凹）函数。 （2）当f（u）在区间J上为减的凹（凸）函数时，f[g（x）]在I上的凹（凸）函数。 判断一个函数在给定区间上的凹凸性，可应用定义性质或图象。 利用定义性质可证明下列结论： 1）对数函数y=logax.（a>0，a≠1）.在区间（0，+∞）上，当a>1时为凹函数，当a<1时为凸函数。 2）指数函数y=ax.（a>0，a≠1）.在区间（-∞，+∞）上为凸函数。 3） 幂函数y=xa在（0，+∞）上， 当a<0或a>1时为凸函数，当0 4）y=sinx在[（2k-1）π，2kπ]上为凸函数。 5）y=cosx在 2kπ-π2 ，2kπ+π2上为凹函数，在 2kπ+π2 ，2kπ+3π2上为凸函数。 6）y=tgx在2kπ-π2，2kπ上为凹函数，在2kπ，2kπ+π2上为凸函数。 定理5 如果函数f（x）在区间I上凸（凹）函数，那么对任意的x0∈I，函数φ（x）=f（x）-f（x0）x-x0（x≠x0）在数集I0上是增（减）函数。其中I0是由区间I去掉x0后所得之数集。 当函数是凹函数时，不等式（2.1）中的不等号改变方向。从不等式（2.1）还可以得到一个非常重要的推论。 推论4 如果f（x）是D上的凸（凹）函数则对于x1，x2，…，xn∈D，n∈N，有 三、凹凸函数在求最值中的应用 我们注意到一些最值问题可以转化为不等式来求，因此凹凸性质解决最值问题有独到之处。 解 由结论6）可知tgx在0，π2内为凸函数，再根据结论3）可知u5在（0，+∞）内为增的凸函数，所以tg5x在区间（0，π2）内也为凸函数，根据不等式（2.2），对于A2，B2，C2∈ 0，π2.及A+B+C=π.故tg5A2+tg5B2+tg5C2的最小值为39. 本文是在初等数学范围内对凹凸函数的一些应用作了探讨，但凹凸函数的应用问题远不止于此，它在其他范围内的应用更为广泛，例如高等数学范围内的最优化﹑偏微分方程等问题。 [参考文献] [1]刘玉琏.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社，1996. [2]邓东皋，尹小玲.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1999. [3]程其襄.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2001. [4]徐利治，王心华.数学分析的方法及例题选讲[M].北京：高等教育出版社，1984.