摘 要:在了解传统论证方法的基础上,从一种新的角度去认识六个实数基本定理的等价性。介绍了实数系的六个基本定理以及研究现状和存在问题,并证明这六个实数基本定理的等价性。
关键词:实数基本定理连续性 等价性
中图分类号:O171文献标识码:A文章编号:1674-098X(2011)01(b)-0132-01
1 引言
实数系六个基本定理:
定理1:(确界存在定理)有上界的非空数集必有上确界,有下界的非空数集必有下确界。
定理2:(单调有界定理)单调有界数列必有极限。
定理3:(区间套定理)设一无穷闭区间列适合下面两个条件:(Ⅰ)后一区间在前一区间之内,即对任一正整数,有,(Ⅱ)当时,区间列的长度所成的数列收敛于零,即,则区间的端点所成的两数列及收敛于同一极限,并且是所有区间的唯一公共点。
定理4:(有限覆盖定理)若开区间所成的区间集覆盖一个闭区间,则总可以从中选出有限个区间,使这有限个区间覆盖。
定理5:(致密性定理)任一有界数列必有收敛的子列。
定理6:(柯西收敛原理)数列有极限的必要与充分条件是:对任意给定的＞0,有一正整数,当时,有。
本文主要研究内容是在传统的论证方法的基础上,从一种新的角度去认识六个实数基本定理的等价性。由确界存在定理单调有界定理区间套定理有限覆盖定理致密性定理柯西收敛原理确界存在定理的循环推证,证明了这六个实数基本定理是等价的。
2 实数基本定理等价性的论证
2.1 确界存在定理单调有界有极限定理
单调有界定理具体可描述为:
若是单调增加的有界数列,则必有极限,且。
若是单调减少的有界数列,则必有极限,且
2.2 单调有界有极限定理区间套定理
证明:数列是单调增加且有上界,数列是单调减小且有下界。由单调有界定理得,数列收敛,即存在,且。同样,数列也收敛,存在,且。故对任何正整数,有,。又=。
设是它们的同一极限,由,可知是所有区间的一个公共点,且是唯一的。
2.3 区间套定理有限覆盖定理
证明(用反证法):设是区间的一个覆盖,但没有的有限子覆盖。记,二等分,则必有一区间没有的有限子覆盖,记其为。二等分,则必有一区间没有的有限子覆盖,记为。如此继续下去,得到一组实数的闭区间序列。且构成一个区间套,且每个都没有的有限子覆盖。则由区间套定理存在唯一的实数,使得。又由上区间套定理的证明可知,其中。故,使得,,即。设,则,所以即有覆盖。这与没有的有限子覆盖的构造矛盾,故必有的有限子覆盖。
2.4 有限覆盖定理致密性定理
证明(用反证法):设数列有界,即,且,有,。如果无收敛子数列,则对,使得只有有限个。如果不然,即,对,有中有无限个。选定,再选,使。再取,使。如此继续下去,便得到的一子数列。令,则有=。
从而,令则显然,由有限覆盖定理知,其中。而只包含的有限项。这与矛盾,所以必有收敛子数列。证毕。
2.5 致密性定理柯西收敛原理
证明:①必要性:设在实数系中,数列有极限存在,设,则,,使得只要,有。因此只要,就有。
②充分性:设在实数系中,数列满足:,,当时,有。事实上是有界的且有极限存在。证毕。
2.6 柯西收敛原理确界存在定理
证明:设是非空实数集的一个上界。因为实数集非空,故任取,有,现把闭区间两等分,若区间的中点是的上界,则令,=,否则令=,,于是得闭区间,其中也是的上界,且;用同样的方法对区间处理,将上述过程无限进行下去,于是得一闭区间列,当时有==,由柯西收敛准则知实数列收敛,不妨设。且易知即是的上确界。证毕。
同理可证“有下界的非空实数子集必有下确界”。
3 结语
实数系的这六个基本定理从不同的角度刻画了实数系的连续性。它们不仅是描述实数系连续性的不同数学表达形式,又是以后函数连续性质证明的理论基础。本文以单向循环的方式对实数连续性六个定理的等价性进行证明,旨在用完整而简明的思路说明实数连续性定理的相互等价关系,从而给出认识等价性的一种新视角。
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