摘 要：激光束照射在镜面圆柱上会产生奇妙的光带。本文通过物理建模和数学证明发现这些光带的形状为圆锥曲线，并通过设计装置对证明结果进行实验验证，最后给出这种现象潜在的应用前景。
关键词：激光束；镜面圆柱；圆锥曲线；离心率；实验装置
上课时，从老师激光笔发出的光束无意中照在具有镜面圆柱的金属教鞭上，竟然在黑板上反射出一条漂亮光滑的曲线光带。这一奇妙的物理现象（如图1所示）引起了我的好奇。我反复做了多次实验，发现通过调整激光的入射角度或者改变具有镜面圆柱的天线（或小不锈钢针）与墙壁所成的角度，可以改变反射到墙壁上的曲线光带的形状，而且这些光带具有一定的变化规律。这些发现引起我极大的兴趣，于是想探究产生这些现象的原因。
一、 物理建模与数学证明
为了研究上述现象，我首先将研究对象确定为：当激光束垂直于反射投影面时，激光束照射到镜面圆柱侧面所产生的典型光带形状。同时利用光反射的物理定律，即激光束沿直线传播，其照射的镜面圆柱侧面可视为许多小镜面。然后，采用高中数学中立体几何等知识进行数学证明。
假设激光线束MA垂直于投影平面照射在点C（如图2所示），同时射到钢针JI的点A上，MA与JI所成的夹角为α，直线JI与平面π相交于点B。易知若圆柱的外侧面为镜面，一束光线在其外侧面上进行反射，则反射光线与圆柱的轴所成的夹角等于入射光线与该圆柱的轴所成的夹角。于是激光束的反射光线可视为经过入射点A形成了一个圆锥面Ω，在平面π与圆锥面Ω围成的几何体内作一个球O，使得它与圆锥面相切于圆R且与平面相切与点D，记圆R所在平面为平面π′，圆锥面Ω与平面π相交所得的轨迹是一条曲线Γ，平面π与平面π′交于直线m。直线AB为圆锥面Ω的轴，直线BD的延长线与平面π′交于点G，平面ABD与圆锥面Ω相交于射线AE和射线AF，点E和点F都在平面π′上。显然，直线GE是直线GD在平面π′内的射影并且经过点R。∠CGE是平面π与平面π′所成的二面角之平面角。设直线AF与平面所成夹角大小为β，显然0°<β<90°，且∠AFR =∠CEG=β。由几何光学知识可知∠CAB=∠MAJ =∠BAF=α。于是得到α+β=90°。这样就可以在直角三角形CEG中，∠CGE=α。
从上述数学证明可得到如下结论：（1） 当入射激光MA与镜面圆柱钢针JI所成的夹角为α时，在垂直激光光束的反射投影面上所产生光带曲线上任意一点到焦点的距离和到准线的距离之比是定值。根据圆锥曲线第二定义，可推出这些光带曲线为圆锥曲线。（2） 从上述数学证明，我们得到圆锥曲线的光带形状是受到离心率的控制，e=tanα给出了α角与所显示的圆锥曲线离心率e的定量关系。当α<π/4时，Γ为一条椭圆曲线；当α=π/4时，Γ是一条抛物线；当α>π/4时，Γ变成双曲线的一支。通过改变入射激光与小钢针的夹角α，可以获得椭圆、抛物线和双曲线的光带。
二、装置设计与实验验证
根据公式e=tanα，经过认真思考和多次改进，依据图3实验原理图（a），我设计并制作了如图3（b）所示的实验装置。该装置由激光笔、反射效果好的不锈钢圆柱钢针、底座、固定支架、有刻度的转盘、水平仪等组成。该装置操作方便，可直接读出夹角α和圆锥曲线的离心率e。实验中我发现圆柱钢针的轴线应平行于水平面，并使激光发射点的圆形小孔直径不大于圆柱钢针的直径。我还设计如图3（c）所所示的刻度表盘，该旋转圆盘上不仅可指示夹角α，还可直观读出离心率为e的大小。当激光笔发出的激光束射到圆柱钢针时，通过改变转盘的角度可以准确控制所反射出来的圆锥曲线的离心率，在与激光束垂直的投影面（如墙壁、白板或黑板）投射出不同形状的圆锥曲线。
在实验中，通过调节旋转圆盘的角度以控制α的大小，实验结果如图4所示，其与理论推导与计算结果吻合。
三、 总结与展望
本文从激光笔发出的激光束照射在镜面圆柱所产生奇妙光带这一有趣物理现象出发，构建了可定量研究的物理模型，从数学上论证解析了这一物理现象。在此基础上，我还设计并制作了一款可准确控制并直观演示离心率的实验装置，研究了激光束与镜面圆柱夹角变化所引起的圆锥曲线的变化规律。目前，我正在进一步研究圆柱钢针的形状和表面瑕疵与光带形状畸变的规律，这对于在线快速判断工件的加工精度是非常有用的。此外，由于利用本文的实验装置可以便捷、精确地展示实现不同的圆锥曲线，因此可望应用于数学、物理等教学实践。