摘要：本文分别用三角函数、几何方法两种方式推导出近轴光线条件下球面折射的物象公式，并对各种推导方法进行比较。
关键词：球面折射 物象公式 近轴光线
中图分类号：G712 文献标识码：C DOI：10.3969/j.issn.1672-8181.2013.10.033
1 引言
球面折射成像知识在几何光学成像理论中占有举足轻重的地位。课本上任意多个球面成像即理想光具组问题的求解常常是利用单球面折射成像公式，然后在使用逐次成像法来解答。
任何的涉及到基础光学的书籍中都有球面折射物象公式的推导。对于球面折射的球面物象公式，大多数书籍都是由费马原理出发逐步推导出来的，有的则是将折射定律与几何知识相结合导出其公式的。下文将从三角函数和几何方法出发推导出近轴光线条件下球面折射的物象公式。
2 从三角函数出发推导球面折射物象公式
下图1中，n、n"分别表示两种不同媒质的折射率，r表示分界面曲率半径，o表示入射光线与主光轴之间产生的夹角，与分界面交于A点，A点距主光轴距离为h，分析物距-s，象距s"的关系[1]。由折射定律
nsinα=n"sinβ （1）
（3）式为非近轴条件下单球面折射成像的精确公式
在近轴条件下△≈0 h≈0
（3）式化为
[[n（s-r）
s]=[n"（s"-r）
s"]]
化简得近轴条件下折射物象公式
[[n"
s"]-[n
s]=[n"-n
r]]
3 从几何方法出发推导球面折射物象公式
几何光学中描述光线只需两个量，即光线和光轴的夹角及光线在某些关键点离开光轴的高度[1]。
图2中，设光线射到球形折射面的方向为-θ，到达球面折射面时高度为h。可记为（-θ，h），此光线折射后偏折角为α-β。
在近轴条件下，
s]，近似的折射定为nα≈n"β，所以光线偏折角写为
光线（-θ，h）在均匀介质中行进l后（沿光轴方向计量），高度增加l（-θ）.即h➝h+l（-θ） （5）
（8）（9）为近轴几何基础，光线（θ，0）从P出发，到达折射面时为
高这光线继续行进s"后，高度变为零，即
4 结论
本文在运用三角函数推导球面折射物象公式[2]时，是先推导非近轴条件下的物象公式，然后按照近轴近似得出近轴条件下物象公式。而运用几何知识推导球面折射物象公式时，则是把近轴近似条件融入推导过程得出物象公式。
费马原理是我们非常熟悉的基本内容，运用这个原理推导比较便于同学理解和掌握。因此，课本大多采用此方法。而利用几何知识方法，推导过程很直观，也是可以采用的一种思路。虽然利用三角函数推导过程稍嫌复杂，但可表明导出这一公式具有多种途径，同时对公式的理解会有所帮助。
参考文献：
[1]姚启钧.光学教程[M].北京：高等教育出版社，1989.
[2]刘惠国.球面折射物象公式的几种推导[J].大学物理，1998，（7）.
作者简介：汤慧娟，马鞍山师范高等专科学校软件与食品工程系，安徽马鞍山 243041