作者简介：张振浩（1980），男，博士，主要从事结构动力可靠度研究，（Email)zzh1949@163.com。摘要：等效线性化法是非线性结构体系的随机反应分析最常用的方法，但使用等效线性化法给出的反应结果进行结构动力可靠性分析会带来很大的误差。将一般非线性体系通过均方最小误差原则等效为Duffing非线性体系来进行结构动力可靠性分析。Duffing非线性体系可以通过FPK方程求得其稳态精确解析解，所以使用该等效非线性法进行结构动力可靠性分析不仅计算上方便可行而且精度较高。算例分析表明了等效非线性法分析结果可靠，且比等效线性化法的计算精度有明显提高。
关键词：非线性体系；动力可靠度；等效Duffing非线性体系；随机振动；响应
中图分类号：TU311.3；P315.9文献标志码：A文章编号：16744764（2012）03007006
Equivalent Duffing System Method of Nonlinear System
Dynamic Reliability Analysis
ZHANG Zhenhao, YANG Weijun
(School of Civil Engineering and Architecture, Changsha University of Science and Technology, Changsha 410076, China)
Abstract:Equivalent linear system method is the main method of nonlinear structural system random response analysis. While it would generate big error when the results of equivalent linear system method are used to analyze the structural dynamic reliability. Through minimum mean square error principle, general nonlinear system was converted to equivalent Duffing nonlinear system, based on which the structural dynamic reliability was analyzed. The accurate steady state analytic solution of Duffing nonlinear system can be worked out by FPK equation, so it is not only convenient but also accurate to analyze structural dynamic reliability by using the equivalent nonlinear system method. It is also shown that the analysis results of equivalent nonlinear system method presented here is reliable and the calculation accuracy is higher than equivalent linear system method apparently through the example analysis.
Key words:nonlinear system; dynamic reliability; equivalent Duffing nonlinear system; random vibration; response
非线性体系的动力可靠性问题具有重要的理论与实用意义。但考虑了结构非线性因素后，结构体系在随机激励下的随机反应求解变得十分复杂，其动力可靠性分析的难度也就更大［1］。在非线性体系的随机振动理论中，等效线性化方法是求解非线性系统随机响应时应用得最广泛的方法并且目前仍在得到不断发展［26］。与精确解或数值模拟结果的比较表明，等效线性化方法所给出的二阶矩精度通常是令人满意的，但是，等效线性化方法给出的其它统计量，如相关函数、极值等可能是不可靠的。因此，等效线性化法给出的高安全界限时的超越统计量可能是严重错误的；又如对非线性阻尼系统，用等效线性化得到的首次超越概率与实际值之差可达数个量级［7］。
鉴于上述原因，学者们致力于寻求更好的近似方法。在这当中，等效非线性体系法实质上就曾经被采用过。等效非线性体系法的思想最早是由Caughey提出的［8］，但他提出的方法只适用于原体系是拟线性的情况。朱位秋等［910］建立一种适合于求解拟李亚普诺夫系统随机响应的等效非线性系统法。该方法采用的“最佳”等效原则是使等效系统与原系统具有相同的平均能量变化规律（即具有相同的漂移和扩散系数）。笔者采用的等效非线性体系法将保留原体系的刚度非线性特征，而将非线性阻尼等效线性化，即将原非线性体系等效为具有线性阻尼、非线性刚度的结构体系，而这类具有线性阻尼、非线性刚度的非线性体系是可以通过FPK方程法求得其稳态反应过程的精确概率分布的。该方法对原非线性体系无特殊要求，具有普适性。〖=D(〗张振浩，等：非线性体系动力可靠性分析的等效Duffing体系法〖=〗1拟Duffing体系的等效非线性分析
1.1平稳激励下2非线性体系间的等效分析
一般情形下的单自由度非线性体系的振动微分方程可表示为式(1)，
mX··(t)+g(X,X·)=F(t)
X(0)=X·(0)=0 （1）
式中，g(X,X·)表示关于X和X·的一般情形下的非线性函数。随机激励F(t)设为零均值、谱密度为S0的正态白噪声。