摘 要 本文以概率论与数理统计课程中的两个典型问题（复杂难求概率的估计、非正态 总体的假设检验）为例，给出了基于蒙特卡洛方法的解答过程。并用统计模拟验证了提出的方法的可行性及有效性。
关键词 蒙特卡洛方法 概率 统计
中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2018.01.050
Applications of Monte Carlo Method in Teaching of
Probability and Mathematical Statistics
DENG Shirong[1]， SHI Yueyong[2]
（[1] School of Mathematics and Statistics， Wuhan University， Wuhan， Hubei 430072；
[2]School of Economics and Management， China University of Geosciences， Wuhan， Hubei 430074）
Abstract In this paper， the Monte Carlo Method for the two classical problems （probability estimation and hypothesis testing for non-normal population） in Probability and Mathematical Statistics is described. Simulations are developed to verify the feasibility and effectiveness of the proposed method.
Keywords Monte Carlo Method； probability； statistics
概率论与数理统计是一门主要研究随机现象的统计规律性的学科，广泛应用于社会生活的各个学科中。[1]在其教学过程中，理论知识的讲述是根本，同时也应该引导学生学习运用理论知识分析实际应用问题。在实际问题分析的过程中，利用统计软件得到的数据、图表的等可以帮助学生对问题有更全面直观的理解，同时也可以培养学生的学习兴趣与实践经验。因此，在课程引入统计软件的简单运用是必要的，并且会是对概率论与数理统计教学的一大改进。
R软件是一种完全免费共享的统计软件（http：//www.r-project.org），它提供了丰富的统计软件包，可以非常方便灵活地分析数据，深受统计学家们的喜爱。 [2]R在Windows、Mac、Linux系统下都可以安装使用，并且掌握起来很容易，学生在概率统计课程中学习使用R软件，有助于更好地理解理论问题，提高学习兴趣。
蒙特卡洛方法，也称为统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于电子计算机的发明及科学技术的发展，而被提出的一种以概率统计理论为指导非常重要的数值计算方法。蒙特卡洛方法通过构造符合一定规则的随机数来解决数学上的各种问题。当所求解问题是某种随机事件出现的概率或者是某个随机变量的期望值时，蒙特卡洛方法通过随机模拟的方法用这个事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。
在概率论与数理统计的传统教学中，一般并未讨论下面的两类问题。一类是要计算的概率涉及到不能用初等函数表示出来的积分时，所求概率最终是求不出来的；另一类是非正态总体的假设检验问题，难点在于在非正态总体下检验统计量的分布不好确定。针对这两类实际应用中会存在的这两类问题，我们提出了用蒙特卡洛方法来解答，并通过模拟验证了我们提出方法的可行性及合理性。为这两类问题给出了简单直观的解答方式，为概率论与数理统计的教学提供了更为丰富的资料。
1 概率的估计
例1 考虑（0，1）区间上均匀分布且独立的随机变量和，求概率。
解：本题的求解的常规方法就是求二重积分，但是无法用初等函数表示出来，[3] 因此写不出具体的结果。下面我们给出蒙特卡洛方法的具体过程：
1）随机生成个随机点，即和是（0，1）上均匀分布的随机数；
2）计算个点中满足条件的点的个数，记为；
3）当，所求概率近似等于频率。
将上述步骤编写成R模拟程序（程序名：Calpro.R）如下：
Calpro<-function（n）{
k<-0；x<-runif（n）；y<-runif（n）
for（i in 1：n）{
if （y[i]<=exp（-x[i]^2））
k<-k+1
}
k/n
}
调用Calpro.R函数，取不同的，重复运行1000次，取平均值（）作為最终结果，并且得到这1000次估计的样本标准差（），结果见表1：
由表1可知，当不断增大并且趋于无穷时，所求概率逐渐稳定在常数0.7468附近，且估计的标准差也越来越小，说明我们所要求的概率=0.7468。
2 非正态总体的假设检验
例2 假设样本独立同分布于非正态总体，其期望为 ，方差为 2。在实际应用中，有时需检验如下的假设：
。
解： 想要对上述假设做检验，首先要找到一个合适的统计量，对于非正态总体， 通常的分布形式很难写出，因此无法得到基于这个统计量的检验拒绝域。
下面我们利用蒙特卡洛方法给出基于这个统计量的检验方法：
1）生成个服从的随机数，计算统计量的值，记为；
2）将步骤1）重复次，得到；
3）将从小到大顺序排列，得到；
4）对于给定的显著性水平 ，定义的上 分布点为，其中表示不超过的最大整数；[4]
5）对于假设构造拒绝域，再根据样本观测值判定检验结果。
我们以为例[5]，取，用上述方法得到了其上 分位点。由中心极限定理知，依分布收敛于，则的近似上 分位点，其中为标准正态分布的上 分位点。按照上述过程编写程序，并运行1000次，得到的平均值及样本标准差（）， 另外还得到了’的平均值。表2中给出了 =0.025和0.05的模拟结果，其他值的结果也可得到（由于篇幅限制，这里并未给出）。
从表2可知，上述蒙特卡洛方法得到的统计量的上 分位点与由中心极限定理得到的上 分位点是可比的，并且当样本量增加，蒙特卡洛方法重复的次数增加时，这两个分位点的差距变小，且标准差也变小，说明结果更稳定。充分说明提出的蒙特卡洛方法可以得到合理的分位点，进而得到准确的假设检验的结论。
本文以概率论与数理统计中常规方法求解不出来的概率的估计以及非正态总体的假设检验问题，提出利用蒙特卡洛方法来求解，用R软件编程模拟验证所述方法是可行的。这些例子可作为教学示例演示给学生，会使得课程内容更加丰富；同时也可以激发学生的学习热情，自主学习用统计软件分析理论知识，真正做到理论与实践的完美结合。
*通讯作者：邓世容
基金项目： 武汉大学教学改革研究项目（QYW201409）；中央高校教改基金项目（G1320311745）
参考文献
[1] 刘禄勤，王文祥，龚晓庆.概率论与数理统计（第二版）.北京：高等教育出版社，2011.
[2] 薛毅，陈立萍.统计建模与R软件.北京：清华大学出版社，2007.
[3] 华东师范大学数学系.数学分析（上册），北京：高等教育出版社，2000.
[4] 楊自强.你也需要蒙特卡罗方法——一个得心应手的工具[J].数理统计与管理，2007.26（1）：178-188.
[5] 张帼奋，丁宁.一种非对称拉普拉斯分布[J].浙江大学学报（理学版），2014.41（6）：650-653.