【摘要】：初等数论是研究数的规律，及整数性质的数学分支，它是数论的一个最古老的分支。 本文探索初等数论的基本理论，历史发展，其代表人物以及其蕴涵的数学思想。
【关键词】：初等数论;历史发展;代表人物;数学思想
一、初等数论的基本理论
初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支。它是数论的一个最古老的分支。它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论，同余理论，连分数理论和某些特殊不定方程。 换言之，初等数论就是用初等、朴素的方法去研究数论。另外还有解析数轮（用解析的方法研究数论。）、代数数论（用代数结构的方法研究数论）。其中整除理论是初等数论的基础，它是在带余除法的基础上建立起来的，整除理论的中心内容是算术基本定理和最大公约数理论。同余理论是初等数论的核心，它是数论所特有的思想、概念与方法。从历史来看，求解不定方程是推进数论发展的最重要的课题，它是建立在整除理论和同余理论上来进行求解的。初等数论有以下几部分内容：
1、整除理论。引入整除、因数、倍数、质数与合数等基本概念。这一理论的主要成果有：唯一分解定理、裴蜀定理、欧几里德的辗转相除法、算术基本定理、素数个数无限证明。
2、同余理论。主要出自于高斯的《算术研究》内容。定义了同余、原根、指数、平方剩余、同余方程等概念。主要成果：二次互反律、欧拉定理、费马小定理、威尔逊定理、孙子定理（即中国剩余定理）等等。
3、连分数理论。引入了连分数概念和算法等等。特别是研究了整数平方根的连分数展开。主要成果：循环连分数展开、最佳逼近问题、佩尔方程求解。
4、不定方程。主要研究了低次代数曲线对应的不定方程，比如勾股方程的商高定理、佩尔方程的连分数求解。也包括了四次费马方程的求解问题等等。
5、数论函数。比如欧拉函数、莫比乌斯变换等等。
6、高斯函数。
二、初等数论的历史发展及代表人物
古希腊毕达哥拉斯是初等数论的先驱。他与他的学派致力于一些特殊整数（如亲和数、完全数、多边形数）及特殊不定方程的研究。公元前4世纪，欧几里德的《几何原本》通过102个命题，初步建立了整数的整除理论。他关于“素数有无穷多个”的证明，被认为是数学证明的典范。初等数论已经有2000年的历史，公元前300年，欧几里得发现了素数是数论的基石，他自己证明了有无穷多个素数。公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种筛法。2000年来，数论学的一个最重要的任务，就是寻找一个可以表示所有素数的统一公式，或者称为素普遍公式，为此，人类耗费了巨大的心血。後来发现埃拉托塞尼筛法可以转换成为一个素数产生的公式。公元3世纪，丢番图研究了若干不定方程，并分别设计巧妙解法，故后人称不定方程为丢番图方程。17世纪以来，P.de费马、L.欧拉、C.F.高斯等人的工作大大丰富和发展了初等数论的内容。古代中国 公元3世纪，丢番图研究了若干不定方程，并分别设计巧妙解法，故后人称不定方程为丢番图方程。17世纪以来，P.de费马、L.欧拉、C.F.高斯 等人的工作大大丰富和发展了初等数论的内容。
费马在古典数论领域中的成果很多，比如提出了不定方程无解证明的无穷递降法，引入了费马数等等，与费马相关的著名结论如下：费马小定理：a^p-a≡0（mod p），其中p是一个素数，a是正整数。事实上它是欧拉定理的一个特殊情况，Euler定理是说：a^φ（n）-1≡0（mod n），a，n都是正整数，φ（n）是Euler函数，表示和n互素的小于n的正整数的个数。费马大定理（当时是猜想）：n>2是整数，则方程x^n+y^n=z^n没有满足xyz≠0的整数解。这个是不定方程，它已经由美国数学家安德鲁·怀尔斯证明了（1995年），证明的过程相当艰深。
欧拉引入欧拉函数，得到著名的欧拉定理——费马小定理推广;研究了连分数展开问题;用解析方法证明了素数无限;讨论平方和问题及哥德巴赫猜想——加性数论内容。
高斯被誉为“数学王子”。解决了正多边形尺规作图问题，将它和费马数联系起来。高斯的著作《算术研究》提出了同余理论，讨论了平方剩余问题，发现了二次互反律。高斯提出了著名的素数定理（当时是猜想），研究了指标和估计问题——表示论的雏形。
从某种程度上可以说，初等数论是数学中“理论与实践”相结合得最完美的基础课程，近代数学中许多重要思想、概念、方法与技巧都是从整数性质的深入研究而不断丰富和发展起来的。在深入研究数论过程中，要仔细体会构造性和技巧性的证明思想。
三、初等数论蕴涵的数学思想方法
初等数论在计算机科学、代数编码、密码学、组合数学、计算方法等领域内得到了广泛的应用，成为计算机科学等相关专业不可缺少的数学基础.数论的魅力在于它可以适合小孩到老人，只要有算术基础的人均可以研究数论.初等数论貌似简单，但真正掌握并非易事，它的内容严谨简洁，方法奇巧多变，其中蕴含了丰富的数学思想方法。
（一） 转化思想方法
转化是一种常用的数学思想方法.转化是指问题之间的相互转化，或者将问题的一种形式转化为另一种形式，或者把复杂问题转化成较简单问题、将陌生问题转化为已解决或熟悉的问题[1].通过恰当的化归转化不仅能够顺利地解决原问题，而且有助于培养学生科学的思维习惯.整除是数论中的基本概念，此问题是数论中比较简单的一种类型.有时我们需要判断几个分式的和是一个整数，这样直接求其是整数比较困难，因而常常化为整除问题解决.
（二）配对思想方法
就是将整体对象中的满足某种特性的对象进行组合配对，再利用配对后的特性解决原问题。
定义：欧拉函数（a）是定义在正整数集上的函数，（a）等于序列0，1，2···a-1中与a互素的正整数的个数。
定义：在模m的每个互素剩余类Cr（0rm，（r，m）=1）中任取一数ar，则所有的数
ar（0rm，（r，m）=1）所组成的集，叫做模m的一个简化剩余系。
定义：在个与模（m）与m互素的剩余类中各取一个数，称这个（m）数为模m的简化剩余系.
（三）矩阵的思想方法
初等数论课本上，利用整数初等变换，仅研究了两个整数的最大公约数和最小公倍数的问
题，略显不够深入.再此基础上，我们可以通过构造整数矩阵，一矩阵的整数的初等变换为
工具，得到了求m（m>2）个整数的最大公约数与最小公倍数的方法。利用初等变换求整数的最大公约数。
命题：设（a1，a2…an）=d则存在可逆矩阵A=（aij）m·n使得 [a1，a2，···an]A=[d，0···0]（n≥2）。
参考文献：
[1] 闵嗣鹤，严士健.初等数论[M].北京：高等教育出版社。2003.
[2]潘承洞.潘承彪.简明数论[M].北京：北京大学出版社。1998.
[3]张奠宙.中国近现代数学的发展[M].石家庄;河北科技出版社，2000.