摘要：本文针对大学理，工科数学课程中线性代数的特点，提出上好线性代数第一堂课的三个重要环节。使学生通过第一堂课，了解线性代数的整体内容，把握线性代数的重点与难点。
关键词：线性代数第一堂课线性方程组一、引言
线性代数是大学理，工科数学课程的一个重要组成部分。线性代数第一堂课的教学关系到学生对线性代数课程的整体把握以及以后学习的兴趣调动。上好线性代数的第一堂课是我们每个教线性代数课程的老师都要注意的问题。本文从自己多年的教学经验以及与同行专家的交流提出上好线性代数第一堂课的三个重要环节。第一堂课首先要给出线性代数课程的整体内容，然后给出线性代数课程的核心：线性方程组的求解，最后说明线性代数各章内容如何围绕解线性方程组这一核心来展开。近年来，很多专家、学者也从线性代数课程的章节安排上来突出线性代数课程的核心：线性方程组的求解。读者可参阅以下教材：工程数学——线性代数，同济大学数学系编[1]；经济数学——线性代数，吴传生等编[2]；线性代数讲义，吴赣昌等编[3]。
二、线性代数的第一堂课（依照以上三个环节给出线性代数第一堂课的一个框架）
（一）介绍线性代数课程的整体内容（对照课本介绍）
第一章 行列式；第二章 矩阵；第三章 线性方程组；第四章 向量的线性相关性；第五章 方阵的特征值与特征向量；第六章 二次型。
（二）线性代数的核心：线性方程组的求解（以提问的方式给出）
即通过如下的提问引出线性代数的核心。
提问1 中学学习过哪些线性方程组的求解？
（学生答）二元一次方程组
a11x1+a12x2=b1
a21x1+a22x2=b2（1）
（学生答）三元一次方程组
a11x1+a12x2+a13x3=b1
a21x1+a22x2+a23x3=b2
a31x1+a32x2+a33x3=b3（2）
提问2求解线性方程组(1)与(2)的方法？
（学生答）1. 加减消元法。
2. 利用行列式求解，即如下公式
对线性方程组(1)，若系数行列式D=a11a12
a21a22，则(1)有唯一解，且
x1=D1D，x2=D2D（a）
其中D1=b1a12
b2a22,D2=a11b1
a21b2
对线性方程组(2)，若系数行列式D=a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33≠0,则(2)有唯一解，且
x1=D1D，x2=D2D,x3=D3D（a）
其中
D1=b1a12a13
b2a22a23
b3a32a33，D2=a11b1a13
a21b2a23
a31b3a33，D3=a11a12b1
a21a22b2
a31a32b3
提问3若未知数个数大于3或未知数个数与方程个数不相等，即如下最一般的线性方程组
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
…
am1x1+am2x2+…+amnxx=bm(3)
其中m≠n,n>3如何求解？
注：线性方程组(3)称为线性方程组的一般形式，(3)的求解是线性代数的核心。线性代数的各章都是围绕这一核心来展开。
（三）简单介绍线性代数的各章如何围绕解线性方程组来展开
1.在线性方程组(3)中，若m=n>3，可以把线性方程组(2)的求解公式推广，即得如下结果。在线性方程组 (3)中，若m=n>3，且系数行列式D=a11a12…a1n
a21a22…a2n
…………
an1an2…ann≠0，则线性方程组(3)有唯一解，其唯一解为
x1=D1D,x2=D2D,…,xn=DnD,(3)
其中
D=a11…a1i-1b1a1i+1…a1n
a21…a2i-1b2a2i+1…a2n
…………………
an1…ani-1bnani+1…ann,i=1,2,…,n
在(3)中，D,D1,…,Dn称为n阶行列式，n阶行列式的定义，性质与计算是第一章的重点。且以上的求解理论是第一章在n阶行列式的基础上引出的Cramer法则，Cramer法则也是第一章的最终目的。
2.在线性方程组(3)中，若 ，这时线性方程组(3)的系数对应如下的数表（或数块）
a11a12…a1n
a21a22…a2n
…………
am1am2…amn(4)
定义数表(4)为矩阵。矩阵的定义，运算与初等变换是第二章的重点。要求解线性方程组(3)，首先要掌握矩阵的以上知识点，并且在线性代数中矩阵的行初等变换是解线性方程组的基本工具。
3. 有了第一，第二章的知识作基础，第三章就给出线性代数的核心：线性方程组。本章首先说明线性方程组(3)的加减消元法实质上与其曾广矩阵的行初等变换等价，然后重点介绍利用矩阵的行初等变换解线性方程组的方法。最后利用矩阵秩的理论给出线性方程组(3)有解的理论。浅谈数学思维障碍的成因及突破
文 / 徐运荣
所谓数学思维，是指学生在对数学感性认识的基础上，运用比较、分析、综合、归纳、演绎等思维的基本方法，理解并掌握高中数学内容而且能对具体的数学问题进行推论与判断，从而获得对数学知识本质和规律的认识能力。数学思维虽然并非总等于解题，有不少问题的解答，同学发生困难，并不是因为这些问题的解答太难以致学生无法解决，而是其思维形式或结果与具体问题的解决存在着差异，也就是说，学生的数学思维存在着障碍。
一、 高中学生数学思维障碍的形成原因
一方面，如果在教学过程中，教师不顾学生的实际情况或不能觉察到学生的思维困难之处，而是任由教师按自己的思路或知识逻辑进行灌输式教学，则到学生自己去解决问题时往往会感到无所适从；另一方面，当新的知识与学生原有的知识结构不相符时或者新旧知识中间缺乏必要的“媒介点”时，这些新知识就会被排斥或经“校正”后吸收。因此，如果教师的教学脱离学生的实际；如果学生在学习数学过程中，其新旧数学知识不能顺利“交接”，那么这时就势必会造成学生对所学知识认知上的不足、理解上的偏颇，从而在解决具体问题时就会产生思维障碍，影响学生解题能力的提高。
二、 高中数学思维障碍的具体表现
思维的肤浅性。 一方面学生在分析和解决数学问题时，往往只顺着事物的发展过程去思考问题，注重由因到果的思维习惯，不注重变换思维的方式，缺乏沿着多方面去探索解决问题的途径和方法。另一方面缺乏足够的抽象思维能力，学生往往善于处理一些直观的或熟悉的数学问题，而对那些不具体的、抽象的数学问题常常不能抓住其本质，转化为已知的数学模型或过程去分析解决。
数学思维的差异性。一方面不大注意挖掘所研究问题中的隐含条件，抓不住问题中的确定条件，影响问题的解决。另一方面学生不知道用所学的数学概念、方法为依据进行分析推理，对一些问题中的结论缺乏多角度的分析和判断，缺乏对自我思维进程的调控，从而造成障碍。
数学思维定势的消极性：由于高中学生已经有相当丰富的解题经验，因此，有些学生往往对自己的某些想法深信不疑，很难使其放弃一些陈旧的解题经验，思维陷入僵化状态，不能根据新的问题的特点作出灵活的反应，常常阻抑更合理有效的思维甚至造成歪曲的认识。
由此可见，学生数学思维障碍的形成，不仅不利于学生数学思维的进一步发展，而且也不利于学生解决数学问题能力的提高。所以，在平时的数学教学中注重突破学生的数学思维障碍就显得尤为重要。
三、 学生数学思维障碍的突破
1. 在数学起始教学中，教师必须着重了解和掌握学生的基础知识状况，尤其在讲解新知识时，要严格遵循学生认知发展的阶段性特点，照顾到学生认知水平的个性差异，强调学生的主体意识，发展学生的主动精神.同时要培养学生学习数学的兴趣,也就是更大程度地预防学生思维障碍的产生。教师可以帮助学生进一步明确学习的目的性，针对不同学生的实际情况，因材施教。
2. 重视数学思想方法的教学，指导学生提高数学意识。数学教学中，在强调基础知识的准确性、规范性、熟练程度的同时，我们应该加强数学意识教学，指导学生以意识带动双基，将数学意识渗透到具体问题之中。因此，在数学教学中只有加强数学意识的教学，如“因果转化意识”“类比转化意识”等的教学，才能使学生面对数学问题得心应手、从容作答。所以，提高学生的数学意识是突破学生数学思维障碍的一个重要环节。
3. 诱导学生暴露其原有的思维框架，消除思维定势的消极作用。在高中数学教学中，我们不仅仅是传授数学知识，培养学生的思维能力也应是我们的教学活动中相当重要的一部分。而诱导学生暴露其原有的思维框架，包括结论、例证、推论等对于突破学生的数学思维障碍会起到极其重要的作用。
当前，素质教育已经向我们传统的数学教学提出了更高的要求。但只要我们坚持以学生为主体，以培养学生的思维发展为己任，则势必会提高学生数学教学质量，摆脱题海战术，真正减轻学生学习数学的负担，从而为提高学生的整体素质。
（徐运荣，河南信阳市第二高级中学 464100）
4.第四章： 向量组的线性相关性。本章首先给出向量的定义以及向量组的线性相关性的有关概念与理论，然后从代数结构的角度给出线性方程组(3)的通解结构与表达式。
5.第五章： 方阵的特征值与特征向量。本章首先给出方阵特征值与特征向量的定义，然后利用齐次线性方程组的解的理论给出方阵特征值与特征向量的计算方法，最后给出实对称矩阵的对角化理论。这实质上是线性方程组求解理论的一个简单应用。
6.第六章： 二次型。 本章首先给出二次型的定义，二次型与实对称矩阵的关系，然后利用实对称矩阵的对角化理论给出二次型的有关理论。这是实对称矩阵对角化理论的简单应用，也可以说是线性方程组求解理论的一个简单应用。
三、总结
通过以上第一堂课的设计，使学生首先从整体上把握线性代数的内容，然后了解线性代数的核心，最后理解线性代数各章如何围绕这一核心来展开。即线性代数是从代数结构的角度给出线性方程组有解的理论与通解结构，并利用矩阵的行初等变换为基本工具来求解线性方程组。
参考文献
[1]同济大学数学系.工程数学：线性代数.高等教育出版社，北京：2007年5月第五版
[2]吴传生，王卫华.经济数学：线性代数.高等教育出版社，北京，2003年12月第一版
[3]吴赣昌等.线性代数讲义.海南出版社，海口，2005年2月第一版
(李范良,湖南，长沙，中南林业科技大学，理学院 410004)