摘 要：《线性代数》教学改革是信息技术发展的必然，《数学建模》是数学类课程改革的典范。课题组在成功进行《数学建模》教学与组织数学建模竞赛的基础上进行《线性代数》教学改革的实践，将数学建模思想和方法融入到《线性代数》的教学，将《数学建模》教学中的教学理念、教学内容、模块化教学、案例教学等方法引入《线性代数》教学，推进《线性代数》教学改革。
关键词：线性代数；数学建模；案例教学；教学改革
中国分类号：016 文献标识码 ：A
文章编号10053824（2013）01008804
0 引 言
《线性代数》是许多自然科学和现代工程技术的基础，它不仅为解决实际问题提供了重要方法，也是学习后继专业课程必不可少的工具。学好《线性代数》，再加上《高等数学》和《概率论》，对于培养工科学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、综合应用知识分析问题和解决问题的能力都有重大意义。”[1]由于课程本身高度的抽象性和严密的逻辑性，很多学生掌握不好，以至于影响了后续数学课程甚至专业课程的学习。同时，加上《线性代数》课时的限制、内容的调整，现有的教学方法和教学方式已不能很好地适应信息技术的发展，因此，有必要针对《线性代数》课程进行教学改革[2]。
1 《线性代数》教学现状
《线性代数》现行教学方式和教学内容大多重理论，轻应用，重公式推导，轻数值计算，忽略了概念、原理和模型的实际意义，使得学生在学完《线性代数》这门课程后，往往只会套用解题，并不知道《线性代数》在哪些领域应用，如何应用。当前，《线性代数》课程教学现状如下[35]。
1）学时不足，教学任务重。
《线性代数》课程教学课时量和课程教学内容要求之间的矛盾日益突出。《线性代数》有广泛的研究内容以及应用领域，其本身系统性很强，要想学好这门课程，必须有理论课、习题课和实验课等。事实上，很多工科学校为了保证专业课的学时，《线性代数》学时往往只有48学时或32学时，甚至24学时。在加上节假日耽搁部分，授课学时严重不足。很多定理、性质无法证明，学生感觉学习《线性代数》就是在强制灌输性质和定理，不知道内在联系，极大地挫败了学生学习《线性代数》的积极性。
2） 定理定义多，学习非常难。
由于《线性代数》课程中概念多、定理多、性质多，且公式具有高度的概括性和抽象性。为了让学生理解这些概念、定理和性质，教师往往在教学过程中都偏重课程自身的理论体系，强调《线性代数》中的基本定义、定理及其证明，忽视对学生应用知识的意识和能力的培养。其弊端是造成学生只是不停地被动接受课本的理论知识，陷入复杂的《线性代数》理论体系中，感觉非常吃力，根本无心了解学习《线性代数》的用处，更谈不上用所学的理论知识来解决实际问题，从而很难激发学生的兴趣，学生往往为了应付考试而临时抱佛脚，缺乏学习的源动力。
3）高校扩招，生源质量下降。
从1999年高校扩招以来，学生的学习质量和教师的教学质量逐年下滑。原因在于扩招后部分学生的基础不够扎实，“精英教育”向“大众化教育”转化，教师往往被动地降低教学要求，放宽学生过关的难度，有的学校甚至通过控制考试及格率来保证学生的毕业率和授位率，直接导致学生的学习质量无法保证，同时挫败了部分教师的教学积极性。加上对数学课程的学习积极性不高和缺乏学习兴趣，导致学生不爱学，学习效果差。另外，由于生源质量下降，教师在课堂上难以找到教书育人的“成就感”，特别是《线性代数》这类的抽象课程，学生如果不能进入其意境，教师往往感觉是在唱“独角戏”，师生互动严重缺乏，久而久之，教师也产生教学的“滞性”，对原本应该生动的课堂失去激情，直接影响部分优秀学生对《线性代数》课程的思想、原理和方法的理解，最终导致大面积学生厌学。
4）教学内容陈旧，缺乏新意。
当前，国内教材的教学内容往往维持原有教材体系，很少结合信息技术来编写教材。教学内容基本没变，但学时却相对减少，48学时要介绍《线性代数》的基本教学内容，包括：行列式、矩阵、向量空间、特征值与特征向量、线性方程组和二次型等。多少年来，这些教学内容几乎不变。信息技术发展，带来计算速度的大大提高，如何结合信息技术给教学带来的便利，编写信息时代下，融合计算技术的《线性代数》教材和制作相关教学课件是《线性代数》教学改革的必然之路。通过介入信息技术和科学计算手段，才能很好地激活《线性代数》蕴含的本质，直观高效地将《线性代数》的定理、性质和算法等展现在学生面前，激发学生的兴趣。
5）社会价值导向出现扭曲。
随着社会的高速发展，人们越来越感觉到学习和就业的压力。特别是独生子女一代的到来，同学们更看重学习的眼前价值。但从数学的教育功能来讲，数学是一种工具和方法，也是一种思维模式，是文化的一部分，是基础性和人文性完美统一的科学，它是理工科专业后继专业课程的基石。但是，受社会价值导向的影响，大学生急功近利的思想非常普遍，更热衷于通信、自动化、计算机、经济管理等专业课程，而忽略数学功底的修炼，从而导致学生在后继专业课程学习时后劲不足，特别是在考研浪潮中，无法发挥数学课程的优势，进而在研究生学习阶段缺乏逻辑推理和应用数学的能力。
由此看出，《线性代数》无论是教学内容还是教学方法、教学手段都需要进行相应的改革，以更好地适应新世纪人才培养的需要。面临如此重要的教学工作与高等教学日新月异飞速发展的新环境，《线性代数》信息化教学必须加强，以适应新的需要。
2 《线性代数》教学改革与实践
《数学建模》课程是培养学生学数学、用数学的创新模式，它是数学与计算机发展的产物。将数学建模的思想融入数学主干课程的教学，进一步推进了数学教育改革的深入发展，并取得了很好的效果[45]。针对现行《线性代数》教学中存在的问题，我们结合多年《线性代数》的教学经验与《数学建模》培训和竞赛的成功经验，将数学建模的思想融入到《线性代数》的教学中，提高《线性代数》的教学质量。我们在《数学建模》课程教学、《数学建模》培训和《数学建模》竞赛活动中积累的先进教学思想和方法[6]主要包括以下内容：1）问题驱动的学习方法，这是培养学生分析问题、解决问题能力的重要教学方式。2）模块教学方法。针对教学内容进行模块化教学，学生对模块知识的针对性和学习效率大大提高。3）案例教学。《数学建模》中的案例教学不仅目的清楚，而且能够清晰地给学生展示学习知识并用于实际问题的过程，大大激发了学生的学习兴趣。4）换位教学。我们在《数学建模》教学中让学生在讲台上讲解自己解决问题的方法、思路和结果，同时台下的同学对该问题提出不同的意见，教师最后做点评，这样激发了学生思考问题的欲望，可以培养学生完整思考问题的意识。具体措施如下。
1）增加实验教学内容。
从《线性代数》课程的理论角度看，国内外教材都包含有行列式、矩阵、线性方程组、向量空间、特征值与特征向量、二次型等，个别教材还会安排线性变换等内容。为了让学生易于接受理论知识，特别是实际运用中，数据在高阶行列式、高阶矩阵中的计算、解线性方程组、正交变换等，如果只要求学生用笔算，既费时又易错，学生容易感到枯燥无味。因此，可在教学内容中增加实验课，专门针对实际问题、实际数据，用学过的方法来解决这些问题，通过数学教学内容指导学生用软件或编程来计算结果，合理应用数学软件来完成繁杂的计算，提高学生的动手能力和计算能力。
2）问题驱动的教学模式。
《线性代数》的定义、定理、性质非常多，而且抽象，如果我们一一罗列并证明，学生会感觉非常吃力，非常枯燥。我们以问题驱动教学模式来进行《线性代数》教学，主要体现在引导学生思考、引导学生提问和引导学生下结论等方面。引导学生提问体现了学生学习《线性代数》的主动性，如果学生能够对学《线性代数》有兴趣，能主动地学习《线性代数》知识，那么学好《线性代数》就有了基本的保证。如何才能让学生在课堂教学中处在较主动的地位呢？一个行之有效的方法就是在课堂教学中让学生不断地思考问题，积极地探究问题。“提出问题”是让学生参与教学活动的有效方法，同时也能培养学生勤学好问的习惯。在我们的《线性代数》课堂教学中，我们引导学生提问题的目的是要在已知的概念上提出能揭示《线性代数》规律性的，能启发学生认知《线性代数》知识内部联系的，能驱动课堂教学的问题，从而达到让学生认知抽象的、深层次的新概念、新思想的目的。利用学生刨根问底的好奇心，引导学生进一步提出自己的问题，剥去抽象概念的层层外衣，露出概念的本质性内容，让学生最终认识知识的内涵本质和规律性。总之，一堂出色的《线性代数》课应该具有一套行之有效的问题驱动教学方法，主讲老师绘声绘色地引导和讲演，能让学生对《线性代数》的学习兴趣油然而生，并产生浓厚的兴趣和强烈的求知欲望[7]。
3）更新教育观念。
数学教学一定要打破旧教育观念的束缚，以传授数学思想和数学能力为主。要相信非数学专业的学生和数学专业的学生一样，有能力接受数学思想，理解数学原理，不要人为地把他们排斥在数学思想的大门之外。因此，一方面我们在《线性代数》课堂上不但要讲概念、公式和算法，还要花力气引导学生理解相关的数学原理，掌握数学思想；另一方面，我们也要告诉学生《线性代数》的重要性，强调这是他们今后从事专业工作中会用到的基本数学知识。
4）换位教学。
《线性代数》与《数学建模》课程不仅在教学目的、教学任务和教学内容方面有一定的差别，而且《线性代数》还缺乏《数学建模》课程的很多灵活性，特别是在创新意识的培养方面，《线性代数》教学极为缺乏。因此，我们借用《数学建模》课程的教学思想，在《线性代数》课堂上，既要有系统地讲解，又要坚持培养学生自主学习的意识和能力，引导学生进行问题驱动模式的学习，从而提高学生的学习能力和创新能力。根据我们的教学经验，在《线性代数》课堂上，我们尝试采用“换位教学”模式，即可以提出一些较为有引导性和思考性的问题，让学生下去思考，然后在下次上课时，让学生上台讲述自己的观点，并让台下的学生判断其讲解内容的正确性。这样的课堂效果非常好，当同学们听其他同学讲解时非常安静，然后又热闹地讨论，指出别人的问题或虚心请教别人，经过一番争论后，同学们又会集中精力听取老师的点评，极大地提高了学生的学习积极性，丰富了课堂形式，培养了学生分析问题、解决问题的创新能力。长此以往，学生们常显得非常自信，并能够主动地参与到教学中来，有时还能指出教师在教学中的缺点和不足。这一措施对于调动学生参与教学活动的积极性，对于提高学生的自信心，帮助学生养成自主学习的习惯，都起到了很好的作用。
5）案例教学。
案例教学就是从实例入手，由学生找出数学问题；或者以某个实例为基础，建立与《线性代数》有关的数学模型，介绍怎样用《线性代数》知识解决实际问题。根据课程内容，我们可以先讲解关于矩阵背景的案例，进一步说明《线性代数》知识的重要作用及把实际问题转化为数学问题的方法，通过案例引导学生进入矩阵概念，进行矩阵运算，分析矩阵的性质。案例教学的实质就是让教学内容理论联系实际，加强实例介绍，特别是对一些真实问题的解决方法的介绍，对传统内容的应用性问题进行更新和充实，增加某些工程问题中的应用题（比如通信规划、经济管理和人口理论等），有利于学生应用能力的培养，并提高学生学习兴趣。
6）信息化教学。
在计算技术飞速发展的环境下，很多复杂的计算都可以通过计算机展示给学生，以便让学生能够清晰地掌握抽象理论以及复杂运算的结果。为此开发相关教学软件和系统是《线性代数》教学的重要辅助项目[8]。在开发《线性代数》软件或系统时应融合《线性代数》课程的特点，注重《线性代数》模型的思想和数学方法。我们认为，信息化教学在《线性代数》教学中应该体现在教学思想、教学内容和知识脉络等方面。
首先，凝练《线性代数》的基本思想，探索问题的背景和数学模型，让学生从基本模型中导出基本理论。因此，《线性代数》的信息化教学必须把基本思想与基本模型作为课程的核心。其次，针对《线性代数》的内容，需要确立哪些内容该用启发式教学法，哪些内容该用问题驱动教学法，哪些内容适合用换位教学方法，哪些内容适合于课件教学以增强学生的直观性和形象性的理解。最后，建立《线性代数》的知识脉络库，开发人机交互界面的《线性代数》系统，学生任意地选择自己想学的知识点输入计算机，计算机能够有效地匹配给学生并进行正确的解答，这相当于为学生找到一位极富经验的老师在给他们进行释疑解难，让学生避免复杂的运算过程而直接看到运算结果，更为有效地领会到《线性代数》的真正魅力。
3 结束语
《线性代数》是大学数学的重要基础课程之一，随着信息技术的发展以及高校学生规模的扩大，如何提高《线性代数》的教学质量是我们面临的问题。近些年来，《数学建模》作为教学改革的一面旗子，在教学内容、教学方法、教学手段、考试方式等方面进行教学改革，并取得丰硕的成果，特别是《数学建模》竞赛的成功举办，让《数学建模》成为高校最大的课外科技活动之一，其魅力是显而易见的。《数学建模》思想和建模方法已渗透到每个学科的技术领域中，社会的各项改革工作对人们的数学素质提出了更高的要求。而《线性代数》对工科类、经济类学生是具有特殊意义和重要地位的非学不可的基础课程，我们将《数学建模》的思想融入《线性代数》课程并对该课程进行信息化教学的探索与尝试，正是为了适应这一客观需要，希望我们的研究能够推进《线性代数》教学的改革与发展。参考文献：
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