教育部考试中心要求“增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用．比如，在数学中增加数学文化的内容”．因此，我们特别编写了此课时，将数学文化与数学知识相结合． 考点一 立体几何中的数学传统文化题 [典例 1] “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图 1，图 2 中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，当其主视图和左视图完全相同时，它的主视图和俯视图分别可能是(
)
A．a，b
B．a，c C．c，b
D．b，d [解析] A [当主视图和左视图完全相同时，“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方，主视图为一个圆，俯视图为一个正方形，且两条对角线为实线，故选 A.]
“牟合方盖”是我国古代利用立体几何模型和数学思想方法解决数学问题的代表之一．本题取材于“牟合方盖”，通过加工改造，添加解释和提供直观图的方式降低了理解题意的难度．解题从识“图”到想“图”再到构“图”，考生要经历分析、判断的逻辑过程．另外，我国古代数学中的其他著名几何体，如“阳马”“鳖臑”和“堑堵”等的三视图问题都有可能在高考中考查．
[跟踪训练 1] 《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高 1 丈 3 尺 3 13 寸，容纳米 2 000 斛(1 丈＝10 尺，1 尺＝10 寸，斛为容积单位，1 斛≈1.62 立方尺，π≈3)，则圆柱底面圆周长约为(
) A．1 丈 3 尺
B．5 丈 4 尺 C．9 丈 2 尺
D．48 丈 6 尺 解析：B [设圆柱底面圆半径为 r 尺，高为 h 尺，依题意，圆柱体积为 V＝πr 2 h＝2 000×1.62≈3×r 2 ×13.33，所以 r 2 ≈81，即 r≈9，所以圆柱底面圆周长为 2πr≈54,54 尺＝5丈 4 尺，则圆柱底面圆周长约为 5 丈 4 尺，故选 B.] 考点二 数列中的数学传统文化题 [典例 2] 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地，请问第二天走了(
) A．192 里
B．96 里 C．48 里
D．24 里 [解析] B [设等比数列{a n }的首项为 a 1 ，公比为 q＝ 12 ，依题意有a 1 1－12 61－ 12＝ 378，解得 a 1 ＝192，则 a 2 ＝192× 12 ＝ 96，即第二天走了 96 里，故选 B.]
与等差数列一样，我国古代数学涉及等比数列问题也有很多，因此，涉及等比数列的数学文化题也频繁出现在各级各类考试试卷中．解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，掌握等比数列的概念、通项公式和前 n 项和公式． [跟踪训练 2] 《周髀算经》是中国古代的天文学和数学著作．其中一个问题大意为：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同(即太阳照射物体影子的长度增加和减少大小相同)．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(注：一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的那个节气(小暑)晷长为(
) A．五寸
B．二尺五寸
C．三尺五寸
D．一丈二尺五寸 解析：B [设晷长为等差数列{a n }，公差为 d，a 1 ＝15，a 13 ＝135，则 15＋12d＝135，解得 d＝10.∴a 2 ＝15＋10＝25， ∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是 2 尺 5 寸．故选 B.] 考点三 算法中的数学传统文化题 [典例 3] 如图所示算法框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该算法框图，若输入的 a，b 分别为 8,12，则输出的 a＝(
)
A．4
B．2 C．0
D．14 [解析] A [由算法框图输入的 a＝8，b＝12，按算法框图所示依次执行，可得 b＝12－8＝4，a＝8；a＝8－4＝4，b＝4，a＝b，所以输出 a＝4.故选 A.]
《九章算术》系统总结了我国古代人民的优秀数学思想，开创了构造算法以解决各类问题的东方数学发展的光辉道路，这与当今计算机科学的飞速发展对数学提出的要求不谋而合．本题算法框图的算法思路源于《九章算术》中计算两个正整数的最大公约数的“更相减损术”算法． [跟踪训练 3] (2019·益阳、湘潭调研)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的算法框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入 n，x 的值分别为3,3.则输出 v 的值为(
)
A. 15
B. 16 C. 47
D. 48 解析：D [执行算法框图：
输入 n＝3，x＝3，v＝1，i＝2，i≥0，是 i≥0，是， v＝1×3＋2＝5，i＝1； i≥0，是， v＝5×3＋1＝16，i＝0； i≥0，是， v＝16×3＋0＝48，i＝－1； i≥0，否，输出 v＝48.] 考点四 概率统计中的传统文化题 [典例 4] (2018·全国Ⅰ卷)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为 p 1 ，p 2 ，p 3 ，则(
)
A．p 1 ＝p 2
B．p 1 ＝p 3
C．p 2 ＝p 3
D．p 1 ＝p 2 ＋p 3
[解析] A [法一：设直角三角形 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则区域Ⅰ的面积即△ABC 的面积为 S 1 ＝ 12 bc，区域Ⅱ的面积 S 2 ＝12 π× c22 ＋ 12 π× b22 －π× a222－ 12 bc＝ 18 π(c2 ＋b 2 －a 2 )＋ 12 bc＝12 bc，所以 S 1 ＝S 2 ，由几何概型的知识知 p 1 ＝p 2 ，故
选 A. 法二：不妨设△ABC 为等腰直角三角形，AB＝AC＝2，则 BC＝2 2，所以区域Ⅰ的面积即△ABC 的面积，为 S 1 ＝ 12 ×2×2＝2，区域Ⅱ的面积 S 2 ＝π×12 － π× 2 22－2 ＝2，区域Ⅲ的面积 S 3 ＝ π× 222－2＝π－2.根据几何概型的概率计算公式，得 p 1 ＝p 2 ＝2π＋2 ，p 3 ＝π－2π＋2 ，所以 p 1 ≠p 3 ，p 2 ≠p 3 ，p 1 ≠p 2 ＋p 3 ，故选 A.]
从中国古代文学作品中选取素材考查数学问题，丰富了数学文化题的取材途径．试题插图的创新是本题的一个亮点，其一，增强了数学问题的生活化，使数学的应用更贴近考生的生活实际；其二，有利于考生分析问题和解决问题，这对稳定考生在考试中的情绪和心态起到了较好的效果；其三，探索了数学试题插图的新形式，给出了如何将抽象的数学问题直观化的范例． [跟踪训练 4] (理科)(2018·全国Ⅱ卷)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 30＝7＋23.在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是(
) A.112
B.114
C.115
D.118
解析：C [不超过 30 的素数有 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共 10 个，从中随机选取两个不同的数有 C 2 10 种不同的取法，这 10 个数中两个不同的数的和等于 30 的有 3 对，所以所求概率 p＝3C 2 10 ＝115 ，故选 C.] (文科)2017 年 8 月 1 日是中国人民解放军建军 90 周年纪念日，中国人民银行发行了以此为主题的金银纪念币．如图所示的是一枚 8 克圆形金质纪念币，直径 22 毫米， 面额 100元．为了测算图中军旗部分的面积，现向硬币内随机投掷 100 粒芝麻，已知恰有 30 粒芝麻落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是(
)
A. 726π5mm 2
B. 363π10mm 2
C. 363π5mm 2
D. 363π20mm 2
解析：B [利用古典概型近似几何概型可得，芝麻落在军旗内的概率为 p＝30100 ＝310 ，设军旗的面积为 S，由题意可得：Sπ×11 2 ＝310 ，∴S＝310 ×π×112 ＝ 36310π ( ) mm 2 ，故选 B.] 考点五 三角函数中的数学传统文化题 [典例5] 第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角三角形中较大的锐角为 θ，那么 tan θ＋ π4＝ ________ .
[解析] 依题意得大、小正方形的边长分别是 5,1，于是有 5sin θ－5cos θ＝1(0＜θ＜ π2 )，即有 sin θ－cos θ＝ 15 .从而(sin θ＋cos θ)2 ＝2－(sin θ－cos θ) 2 ＝ 4925 ，则 sin θ＋cos θ＝75 ，因此sin θ＝ 45 ，cos θ＝35 ，tan θ＝43 ，故 tan θ＋ π4＝ tan θ＋11－tan θ ＝－7. [答案] －7
1700 多年前，赵爽绘制了极富创意的弦图，采用“出入相补”原理使得勾股定理的证明不证自明．该题取材于第 24 届国际数学家大会会标，题干大气，设问自然，流露出丰富的文化内涵．既巧妙地考查了三角函数的相关知识，又丰富了弦图的内涵，如正方形四边相等寓言各国及来宾地位平等，小正方形和三角形紧紧簇拥在一起，表明各国数学家要密切合作交流，等等． [跟踪训练 5]
(2019·沈阳监测)刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率 π，理论上能把 π 的值计算到任意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是(
) A. 3 34π
B. 3 32π C. 12π
D. 14π
解析：B [设圆的半径为 R，则圆的内接正六边形可以分解为 6 个全等的三角形，且每个三角形的边长为 R，据此可得，圆的面积为 S 1 ＝πR 2 ，其内接正六边形的面积为 S 2 ＝6× 12 ×R2 ×sin 60°＝ 3 32R 2 ，利用几何概型计算公式可得：此点取自该圆内接正六边形的概率是 p＝ S 2S 1 ＝3 32π.故选 B.] 特色专题 数学文化 [基础训练组] 1．二十四节气(The 24 Solar Terms)是指中国农历中表示季节变迁的 24 个特定节令，是根据地球在黄道(即地球绕太阳公转的轨道)上的位置变化而制定的，每一个分别相应于地球在黄道上每运动 15°所到达的一定位置。根据上述描述，从秋分到小雪相应于地球在黄道上运动的度数为(
)
A．60°
B．－75° C．45°
D．－60° 解析：A [从秋分到小雪相应于地球在黄道上运动的度数为 4×15°＝60°.故选 A.] 2．(2019·凌源模拟)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相辅相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆 O 被 y＝3sin π6 x 的图像分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为 1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为
(
)
A. 136
B. 118
C. 112
D. 19
解析：B [设大圆的半径为 R，则 R＝ T2 ＝12 ×2ππ6＝6，则大圆面积为 S 1 ＝πR 2 ＝36π，小圆面积为：
S 2 ＝π×1 2 ×2＝2π，则满足题意的概率值为 p＝2π36π ＝118 .故选 B.] 3．(2019·临川模拟)“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支．把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”.2018 年是干支纪年法中的戊戌年，那么 2050 年是干支纪年法中的(
)
A．丁酉年
B．庚午年 C．乙未年
D．丁未年 解析：B [天干是以 10 为构成的等差数列，地支是以 12 为公差的等差数列，2018 年是干支纪年法中的戊戌年，则 2050 的天干为庚，地支为午，故选 B.] 4．(2019·株洲质检)如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影)。设直角三角形有一内角为 30°，若向弦图内随机抛掷 1000 颗米粒(大小忽略不计)，则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为(
)
A. 134
B. 866 C. 300
D. 500 解析：A [设大正方形的边长为 2a，则根据直角三角形，其中一角为 30°可得直角三角形短的直角边长为 a，长的直角边长为 3a，小正方形的面积为 3a－a，则大正方形的面积为 4a 2 ，小正方形的面积为 ( ) 3－12 a 2 ＝ () 4－2 3 a 2 ，米粒落在小正方形内的概率为( ) 4－2 3 a 24a 2＝ 2－ 32 .∴落在黄色图形内的图钉数大约为 1 000× 2－ 32≈134 故选 A.] 5．《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“ ”当作数字“1”，把阴爻“ ”当作数字“0”，则八卦代表的数表示如下：
卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数 坤
000 0 震
001 1 坎
010 2 兑
011 3 以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“ ”表示的十进制数是(
) A．18
B．17 C．16
D．15 解析：B [由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号 “ ”表示二进制数的010001，转化为十进制数的计算为 1×2 0 ＋0×2 1 ＋0×2 2 ＋0×2 3 ＋1×2 4 ＋0×2 5 ＝17，故选B.] 6．我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．已知某不规则几何体与如图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为(
)
A．4－ π2
B．8－ 4π3 C．8－π
D．8－2π 解析：C [由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图的几何体体积相等．根据题设所给的三视图，可知图中的几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱，正方体的体积为 2 3 ＝8，半圆柱的体积为 12 ×(π×12 )×2＝π，因此该不规则几何体的体积为 8－π，故选 C.] 7．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为(
) A. 54 钱
B. 53 钱 C. 32 钱
D. 43 钱 解析：D [设等差数列{a n }的首项为 a 1 ，公差为 d，依题意有 2a 1 ＋d＝3a 1 ＋9d，2a 1 ＋d＝ 52 ，解得 a 1 ＝ 43 ，d＝－ 16 ，故选 D.] 8．(2019·豫南豫北联考)古代数学名著《九章算术》中的“盈不足”问题知两鼠穿垣．今有垣厚 5 尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问：何日相逢？题意是：由垛厚五尺(旧制长度单位，1 尺＝10 寸)的墙壁，大小两只老鼠同时从墙的两面，沿一直线相对打洞．大鼠第一天打进 1 尺，以后每天的速度为前一天的 2 倍；小鼠第一天也打进 1 尺，以后每天的进度是前一天的一半．它们多久可以相遇(
) A. 3617 天
B. 3717 天 C. 3817 天
D. 3917 天
解析：A [由于前两天大鼠打(1＋2)尺，小鼠打(1＋ 12 )尺，因此前两天两鼠共打(3＋1.5)＝4.5(尺)． 第三天，大鼠打 4 尺，小鼠打 14 尺，因此第三天相遇． 设第三天，大鼠打 y 尺，小鼠打 0.5－y 尺， 则 y4 ＝0.5－y14∴y＝817 ，因为第三天大鼠速度是 4 尺，故第三天进行了8174＝217
天 所以共进行 2＋217 ＝3617
天，故选 A.] 9．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为“有 5 个人分 60 个橘子，他们分得的橘子数成公差为 3 的等差数列，问 5 人各得多少橘子．”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是__________． 解析：设等差数列{a n }，首项 a 1 ，公差为 3，则 S 5 ＝5a 1 ＋ 5×42×3＝60，解得 a 1 ＝6，即得到橘子最少的人所得的橘子个数是 6. 答案：6 10．(2019·湖北八校联考)我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处所截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线 C 的渐近线方程为 y＝±2x，一个焦点为( 5，0)．直线 y＝0 与 y＝3 在第一象限内与双曲线及渐近线围成如图所示的图形 OABN，则它绕 y 轴旋转一圈所得几何体的体积为________．
解析：由题意可得双曲线的方程为 x 2 － y24 ＝1, y＝3 在第一象限内与渐近线的交点 N 的坐标为 32 ，3 ，与双曲线第一象限的交点 B 的坐标为 1＋ 94 ，3 ，记 y＝3 与 y 轴交于点M，因为 π | | MB2 －π || MN2 ＝π，根据祖暅原理，可得旋转体的体积为 3π. 答案：3π 11．公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确
到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个算法框图，则输出 n 的值为________．(参考数据：sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5)
解析：n＝6，S＝ 12 ×6×sin 60°＝3 32≈2.598＜3.1，不满足条件，进入循环；n＝12，S＝ 12 ×12×sin 30°＝3＜3.1，不满足条件，继续循环；n＝24，S＝12 ×24×sin 15°≈12×0.258 8＝3.105 6＞3.1，满足条件，退出循环，输出 n 的值为 24. 答案：24 12．(2019·遵义联考)《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作．其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边 a、b、c，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是“以小斜冥并大斜冥减中斜冥，余半之，自乘于上，以小斜冥乘大斜冥减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写出公式，即若 a>b>c， 则 S＝14 c 2 a 2 － c 2 ＋a 2 －b 222，现有周长为 10＋2 7的 ΔABC 满足 sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶ 7，则用以上给出的公式求得 ΔABC 的面积为______． 解析：∵sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶ 7， ∴a∶b∶c＝2∶3∶ 7， 又△ABC 的周长为 10＋2 7， ∴a＝4，b＝6，c＝2 7， ∴S＝12 c 2 a 2 － c 2 ＋a 2 －b 222＝6 3.即 ΔABC 的面积为 6 3. 答案：6 3 [能力提升组] 13．(2019·郑州模拟)刍薨(chuhong)，中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》中记载“刍薨者，下有褒有广，而上有褒无广．刍，草也．薨，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍薨字面意思为茅草屋顶”，如图，为一刍薨的三视图，其中主视图为等腰梯形，左视图为等腰三角形，则搭建它(无底面，不考虑厚度)需
要的茅草面积至少为(
)
A．24
B．32 5 C．64
D．32 6 解析：B [茅草面积即为几何体的侧面积，由题意可知该几何体的侧面为两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形．其中，等腰梯形的上底长为 4，下底长为 8，高为 4 2 ＋2 2＝2 5；等腰三角形的底边长为 4，高为 4 2 ＋2 2 ＝2 5.故侧面积为 S＝2× 4＋82×2 5＋2× 12 ×4×2 5 ＝32 5.即需要的茅草面积至少为 32 5.故选 B.] 14．(2019·厦门质检)习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0,2,4,8,12……来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．下图是求大衍数列前 n 项和的算法框图．执行该算法框图，输入 m＝8，则输出的 S＝(
)
A. 44
B. 68 C. 100
D. 140 解析：C [第 1 次运行， n＝1，a＝ n2 －12＝0，S＝0＋0＝0，不符合 n≥m ，继续运行； 第 2 次运行， n＝2，a＝ n22 ＝2，S＝0＋2＝2 ，不符合 n≥m，继续运行； 第 3 次运行， n＝3，a＝ n2 －12＝4，S＝4＋2＝6 ，不符合 n≥m，继续运行； 第 4 次运行， n＝4，a＝ n22 ＝8，S＝8＋6＝14 ，不符合 n≥m，继续运行； 第 5 次运行， n＝5，a＝ n2 －12＝12，S＝14＋12＝26 ，不符合 n≥m，继续运行； 第 6 次运行， n＝6，a＝ n22 ＝18，S＝26＋18＝44 ，不符合 n≥m ，继续运行； 第 7 次运行， n＝7，a＝ n2 －12＝24，S＝24＋44＝68 ，不符合 n≥m ，继续运行； 第 8 次运行， n＝8，a＝ n22 ＝32，S＝68＋32＝100 ，符合 n≥m ，退出运行，输出 S＝100 ；故选 C.] 15．祖暅(公元前 5－6 世纪)，祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家. 他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等. 该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年. 椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体. 如图将底面直径皆为 2b，高皆为 a 的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面 β上. 以平行于平面 β 的平面于距平面 β 任意高 d 处可横截得到 S 圆 及 S 环 两截面，可以证明 S圆 ＝S 环 总成立. 据此，短轴长为 4cm，长轴为 6cm 的椭球体的体积是__________cm 3 .
解析：因为总有 S 圆 ＝S 环 ，所以半椭球的体积等于 V 柱 －V 锥 ＝πb 2 a－ 13 πb2 a＝ 23 πb2 a，椭球的体积为 V＝ 43 πb2 a，∵2b＝4,2a＝6，∴b＝2，a＝3，所以，该椭球体积是 43 ×22 ×3π＝16π，故答案为 16π. 答案：16π 16. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、 前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经 90°榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为 6，底面正方形的边长为 1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为__________．(容器壁的厚度忽略不计)
解析：表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为 1、2、6 的长方体的外接球．设其半径为 R，R 2 ＝3 2 ＋ 2 2 ＋1 222 ＝ 414，所以该球形容器的表面积的最小值为 4πR 2 ＝41π. 答案：41π
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