统计学习题答案 三、计算题 1、某班级 40 名学生，某门课程考试成绩如下：
87 65 86 92 76 73 56 60 83 79
80 91 95 88 71 77 68 70 96 69
73 53 79 81 74 64 89 78 75 66
72 93 69 70 87 76 82 79 65 84 试根据以上资料编制组距为 10 的分配数列。
解：所编制的分配数列如下所示：
某班学生某门课程考试成绩分组资料 分数（分）
人数（人）
比率（%）
60 分以下 60—70 70—80 80—90 90—100 2 8 15 10 5 5 20 37.5 25 12.5 合计 40 100 2、某工业局所属 10 个企业（工厂）计划利润和实际利润如下：
单位：万元 工厂编号 计划利润 实际利润 工厂编号 计划利润 实际利润 1 720 777.6 6 592 621.6 2 232 232.0 7 192 182.4 3 384 307.2 8 429 419.4 4 260 286.0 9 240 240.0 5 200 244.0 10 3920 2998.4 （1）根据以上资料，计算各工厂利润计划完成程度指标（实际数÷计划数）。
（2）按利润计划完成程度分组，分为三组。
①未完成计划者；
②完成计划和超额完成计划 10%以内者；
③超额完成计划 10%以上者。
（3）汇总各组企业数、实际利润和计划利润。
解：（1）根据资料，算得各厂利润计划完成程度指标如下 工厂编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 利润计划完成程度（%）
108 100 79.95 110 122 105 95 97.76 100 76.49 （2）（3）某工业局所属企业利润计划完成情况统计表
利润计划完成程度（%）
企业数 实际利润 计划利润 100 以下 4 3907.40 4925.00 100—110 4 1871.20 1784.00 110 以上 2 530.00 460.00 合计 10 6308.6 7169.00 第三章 三、计算题 1 某企业产量计划完成程度为 103%，实际比上年增长 5%，试问计划规定比上年增长多少？ 解：设计划规定比上年增长 x%，则有
1 5%103% 100%1 % x
于是，有 1 5%% 100% 100% 1.94%103%x
2 某企业计划生产某产品工时消耗较上期降低 5%，实际较上期降低 4.5%，试确定降低劳动量计划完成程度指标。
解：降低劳动量计划完成程度（%）=100% 4.5%100.5%100% 5%
实际执行结果表明，降低劳动量还有 0.5%没有完成。
3 某公司所属甲、乙两分公司销售额资料如下：
金额单位：万元 分公司 名
称 本 期 计 划 本 期 实 际 实
际 比重（%）
上 期 实 际 计 划 完成（%）
本期实际为上期（%）
甲 乙 250
320 680 32 68 280
105
110 合计
1000 100
计算上表各空栏数字，并分别说明各是什么类型的指标。
解：表中各空栏数字计算结果如下：
金额单位：万元 分公司 名
称 本 期 计 划 本 期 实 际 实
际 比重（%）
上 期 实 际 计 划 完成（%）
本期实际为上期（%）
甲 乙 250 648 320 680 32 68 280 618 128 105 114 110 合计 898 1000 100 898 111 111 本期计划、本期实际、上期实际三个指标为总量指标；实际比重（%）为结构相对指标；计划完成（%）为计划完成程度相对指标；本期实际为上期实际（%）为动态相对指标。
4 某产品按五年计划规定最后一年产量应达到 50 万吨，计划执行情况如下表：
产品产量 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年 上半年 下半年 一季度 二季度 三季度 四季度 一季度 二季度 三季度 四季度 产量 44 45 22 24 11 12 12.5 12.5 13 12.5 12.5 13 试计算该产品计划完成程度及提前多少时间完成五年计划规定的指标。
解：
100%13 12.5 12.5 13100%50102% 计划期最后一期实际完成数该产品计划完成程度计划期末规定达到的水平
该产品从第四年的第二季度起连续累计四个季度产量已达到 50 万吨。可见，该产品提前 9 个月完成了五年计划规定的指标。
5 某企业某年第一班组工人工资如下表：
工资级别 月工资 工人数 8 7 6 5 4 3 2 252 212 180 154 138 124 110 1 1 2 3 12 8 6 合计 — 33 试求该班组工人的月平均工资。
解：该班组工人的月平均工资为：
252 1 212 1 180 2 154 3 138 12 124 8 110 633139( )xfXf 元
6 某生产车间有工人 60 名，生产某产品数量如下表：
按日产量分组（件）
工人数 4 月份 5 月份 400 以下 400—500 5 13 3 5
500—600 600—700 700—800 800 以上 18 15 7 2 12 20 15 5 合计 60 60 试计算四、五月份平均每人日生产数，并指出五月份比四月份劳动生产率高的原因。
解：因本题为由组距式数列求平均数，故应先求出各组日产量的组中值。然后再用加权算术平均数公式分别计算四、五月份的平均每人日产量。
四月份平均每人日产量
350 5 450 13 550 18 650 15 750 7 850 260570( ) 件 五月份平均每人日产量
350 3 450 5 550 12 650 20 750 15 850 560640( ) 件 工人平均日产量受每组工人日产量高低和各组日产量的工人数两因素影响。其中各组日产量的工人数对工人平均日产量高低起权衡轻重作用，即权大的标志值对平均值的影响大，对比四、五月份的权数分布可知，五月份标志值大的权重均比四月份的高。因此在相同标志值分组的组别下，五月份的劳动生产率比四月份的高。
7 某集团公司下属各企业按工人数分组资料如下：
按工人数分组 各厂占全局总数% 50—100 100—250 250—500 500—750 750—1000 1000—1500 1500—2000 2 8 15 20 25 20 10 试计算该集团公司各企业的平均工人数。
解：该集团公司各企业的平均工人数为：
75 2% 175 8% 375 15% 625 20% 875 25%1250 20% 1750 10%840( )fX xf 人 8 甲乙两农贸市场蔬菜价格及销售额资料如下：
品种 价格（元／斤）
销售额（元）
甲市场 乙市场 甲 乙 丙 0.22 0.24 0.25 2200 4800 2500 4400 2400 2500 试问哪一市场的蔬菜价格高，并说明为什么？ 解：
2200 4800 25000.2375( / )2200 4800 25000.22 0.24 0.25 甲市场蔬菜平均价格 元 斤
4400 2400 25000.2325( / )4400 2400 25000.22 0.24 0.25 乙市场蔬菜平均价格 元 斤
由计算可知，甲市场蔬菜价格比乙市场高。虽然甲、乙两市场每一品种蔬菜价格一致，但甲市场相对高价格的乙种蔬菜销量比重达 50%（乙市场仅占 25%），而乙市场相对价格低的甲种蔬菜销量比重达 50%（甲市场仅占 25%），由于各组蔬菜销量对蔬菜总的平均价格高低具有权衡轻重的作用，因此甲市场蔬菜价格比乙市场的要高。
9 某企业某年某月份按工人劳动生产率高低分组的生产班组数和产量资料如下：
按工人劳动生产率分组（件/人）
生产班组数 产量（件）
50~60 60~70 70~80 80~90 90 以上 10 7 5 2 1 8250 6500 5250 2550 1520 合计 25 24070 试计算该企业工人平均劳动生产率。
解：该企业工人平均劳动生产率为：
8250 6500 5250 2550 152024070/( )55 65 75 85 9566( / ) 件 人 10 今有甲、乙两单位职工人数及工资资料如下表：
甲单位 乙单位 工资组（元）
职工人数 工资组（元）
职工人数 450 550 700 850 950 1150 4 8 15 20 7 3 400 600 750 870 970 1200 5 10 24 15 2 1 合计 57 合计 57 试问哪一个单位职工的平均工资更有代表性？ 解：P110(10) 11 某企业生产某种零件，抽检一批零件尺寸如下：
零件尺寸(mm) 零件数（件）
58.00 58.75 59.65 59.85 60.15 26 258 3445 45387 31968
60.25 60.75 61.00 2824 1764 728 合计 86400
根据质量标准规定，零件尺寸在 60±0.5mm 范围内为合格品。试根据交替标志计算原则，计算零件合格率和标准差。
解：根据题意，凡是零件尺寸在 59.5mm~60.5mm 均为合格品，故零件合格率为：
3445 45387 31968 282496.79%86400p
零件的标准差 (1 ) 0.9679 (1 0.9679) 0.1763 17.63% p p
第四章 三、计算题 1 某企业工人人数资料如下：
月份 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 月初人数 200 210 220 208 230 240 212 试计算该企业一季度和二季度及上半年的平均人数。
解：该企业一季度平均人数200 208210 2202 2211( )3 人
该企业二季度平均人数208 212230 2402 2227( )3 人
该企业上半年平均人数211 227219( )2 人
2 某校年平均毕业生人数如下：
年份 1950~1960 1961~1965 1966~1969 1970~1980 1981~1982 1983~1992 年平均毕业生人数（人）
600 800 750 800 900 4000 试计算该校 43 年来平均每年毕业生人数。
解：该校平均每年毕业生人数为：
600 11 800 5 750 4 800 11 900 2 4000 1043642001493( )43cfcf 人 3 某企业工人数和产值资料如下：
月
份 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月 月末人数（人）
120 — — 112 — 130 140 月 产 380 385 374 390 400 410 370
值（万元）
试计算该企业下半年平均每月人均产值。
解：该企业下半年平均每月人均产值为：
(385 374 390 400 410 370) 6120 112 112 130 130 140( 3 2 1) 62 2 23883.21( / )121acb 万元 人 4 某厂 1996 年 1 月至 7 月每月 1 日的职工人数资料如下：
1月 1 日 2月 1日 3月 1日 4月1日 5月1日 6月1日 7月 1日 全部职工 人数（人）
2000 2000 2150 2000 2100 2100 2200 其中：
工人数（人）
1400 1440 1634 1480 1575 1638 1760 试计算上半年工人人数占全部职工人数的平均百分比。
解：上半年工人人数占全部职工人数的平均百分比为：
1400 1760( 1440 1634 1480 1575 1638 ) 62 22000 2200( 2000 2150 2000 2100 2100 ) 62 2155875.08%2075acb 5 某厂上半年总产值及平均每个工人产值资料如下：
月
份 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 总产值（万元）
60.0 66.0 68.0 70.5 70.4 70.0 平均每个工人产值（元）
2000 2100 2200 2250 2200 3000 试计算该厂二季度平均每月劳动生产率和上半年平均劳动生产率。
解：该厂二季度平均每月劳动生产率为：
(705000 704000 700000) 3705000 704000 700000( ) 32250 2200 30007030002434(288.87acb 元/人)
该厂上半年平均劳动生产率为：
600000 660000 680000 705000 704000 700000600000 660000 680000 705000 704000 700000( ) 62000 2100 2200 2250 2200 300013573.8( / )acb 元 人
6 计算下列表中空缺的指标值：
单位：万元 年度 发展 水平 增减量 平均 增减量 发展速度（%）
增长速度（%）
累计 逐期 定基 环比 定基 环比 1983 1984 1985 1986 1987 1988 285
—
106.2
—
— 42.5
—
—
136.0
—
45.2
—
3.2 解：所填的空缺指标值如下表所示：
单位：万元 年度 发展 水平 增减量 平均 增减量 发展速度（%）
增长速度（%）
累计 逐期 定基 环比 定基 环比 1983 1984 1985 1986 1987 1988 285 327.5 391.2 413.8 562.8 580.8 — 42.5 106.2 128.8 277.8 295.8 — 42.5 63.7 22.6 149.0 18.0 — 42.5 53.1 42.9 69.5 59.2 — 144.9 137.3 145.2 197.5 203.8 — 114.9 119.5 105.8 136.0 103.2 — 14.9 37.3 45.2 97.2 103.8 — 14.9 19.5 5.8 36.0 3.2 7 某地区 1985 年的国民收入为 6 亿元，如以后平均每年以 7.5%的速度增长，经过多少年将达到 30 亿元？这些国民收入翻了几番？ 解：（1）依据题意有， 6 (1 7.5%) 30 22.3( )nn 年
（2）302 5, 2.326mm 即这些国民收入翻了 2.32 番。
8 已知我国 1987 年自行车产量为 2800 万辆，若今后以每年递增 15%的速度发展，则到 2000 年将达到什么水平？ 解：根据题意有，132800 (1 15%) 17228( )na 万辆
9 我国 1979 年按人口平均国民生产总值为 253 美元，要在本世纪末达到每人 1000 美元，试计算从 1980年起，每人平均国民生产总值每年应平均递增百分之几，才能达到预期目的？ 解：本世纪末即为 1999 年，依题意有，
201000% 1 7%253x 10 某机械厂某种产品产量，在 1965 至 1995 年之间以每年平均递增 17.1%的速度发展。1995 年产量为10 万台，试求 1965 年产量？ 解：依题意有，300 0(1 17.1%) 100000 878( ) a a 台
11 某工厂五年计划规定，产量要增加一倍。第一年与第二年都增长 15%，试测算后三年平均每年应增长
百分之几，才能完成五年计划规定的任务？ 解：根据题意有，2 3(1 15%) (1 %) 2 % 14.78% x x
即后三年应平均每年增长 14.78%才能完成五年计划规定的任务。
12 某企业产品产量资料如下：
年份 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 产量 80 90 98 100 92 90 102 110 115 120 118 试用半数分割法和最小平方法建立直线方程，并预测 1996、1997 年的产品产量。
解：P158(12) 13 下列资料是某商场 1993—1995 年各月羊毛衫零售资料：
单位：件 时间 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10月 11月 12月 1993 1994 1995 1500 2000 1500 1000 1200 2000 600 1400 1500 400 600 700 250 500 500 200 250 240 300 400 250 400 450 350 1000 1300 1500 1500 1600 1800 1300 1500 2000 1400 1500 1700 试根据上述资料用按月平均法计算季节比率。
解：见 P158（13）
第五章 三、计算题 1 已知某工业企业三种商品的价格和销售资料如下：
商品 计量 单位 价格（元）
销售量 1994 年 1995 年 1994 年 1995 年 甲 乙 丙 双 件 双 25 140 0.6 28 160 0.6 5000 800 1000 5500 1000 600 要求：（1）计算各商品物价和销售量个体指数。（2）计算三种商品的销售额指数与增加额。
（3）计算三种商品的物价综合指数和由于物价变动对销售额绝对值的影响。（4）计算三种商品的销售量综合指数和由于销售量变动对销售额绝对值的影响。
解：（1）商品物价个体指数：
( ) ( ) ( )28 160 0.6100% 112%, 100% 114%, 100% 100%25 140 0.6p p pk k k 甲 乙 丙
商品销售量个体指数：
( ) ( ) ( )5500 1000 600100% 110%, 100% 125%, 100% 60%5000 800 1000q q qk k k 甲 乙 丙
（2）三种商品销售额综合指数：
1 10 05500 28 1000 160 600 0.6 314360132.31%5000 25 800 140 1000 0.6 237600q pKq p 三种商品销售额增加额：
1 1 0 0314360 237600 76760( ) q p q p 元
（3）三种商品物价综合指数：
1 11 05500 28 1000 160 600 0.6 314360113.14%5500 25 1000 140 600 0.6 277860pq pKq p 物价上涨对销售额的影响：
1 1 1 0314360 277860 36500( ) q p q p 元
（4）三种商品销售量综合指数：
1 00 05500 25 1000 140 600 0.6 277860116.94%5000 25 800 140 1000 0.6 237600qq pKq p 商品销售量增加对销售额的影响：
1 0 0 0277860 237600 40260( ) q p q p 元
2 三种商品报告期价格分别比基期上涨 5%、10%、2%，报告期三种商品销售额分别为 100 元、400 元、250 元。试问，三种商品的综合物价指数为多少？ 解：三种商品的综合物价指数为：
1 11 1100 400 250106.5%1 100 400 250105% 110% 102%ppq pKq pk 3 如果报告期价格计划降低 5%，而销售额计划增长 10%。问销售量应增长多少？ 解；销量增长（%）110%100% 100% 15.8%95%
4 某地区 1995 年和 1994 年相比，同样多的人民币只能购买原来商品的 89%。求物价指数。
解：物价指数（%）100%100% 112.36%89%
5 已知某市 1993 年社会商品零售额为 8600 万元，1995 年增加为 12890 万元。零售物价上涨 11.5%。试推算该市零售总额变动中零售量和零售价格两因素变动的影响程度和影响绝对值。
解：社会商品零售额指数12890100% 149.88%8600
社会商品零售物价指数 111.5%
社会商品零售量指数149.88%100% 134.42%111.5%
社会商品零售量变动对销售额的影响：
8600 134.42% 8600 11560 8600 2960( ) 万元
社会商品零售物价变动对销售额的影响：
1289012890 12890 11560 1330( )111.5% 万元
6我国某年社会商品零售总额为5820亿元，比上年增长了17.6%，扣除零售物价上涨因素，实际增长9.6%。计算：（1）零售物价上涨了多少？（2）由于零售物价上涨消费者多支出的金额。（3）由于零售量增长
而增加的零售总额。
解：（1）零售物价上涨了（%）117.16%100% 100% 7.3%109.6%
（2）由于零售物价上涨消费者多支出的金额：
58205820 5820 5424 396( )107.3% 亿元
（3）由于零售量增长而增加的零售总额：
54245424 5424 4949 475( )109.6% 亿元
7 根据某副食品商场提供的数据，1998 年销售额 2418.06 万元，比上年增加 784.08 万元，价格总指数为126.78%，问增加的 784.08 万元中两因素（销售量与价格）的影响各占多少万元？ 解：根据题意，有
1 02418.061907.29( )126.78%q p 万元
物价上涨使食品销售额增加：
2418.06 1907.29 510.77( ) 万元
食品销量变动对销售额的影响：
784.08 510.77 273.31( ) 万元
8 某服装厂生产费用比上年增长了 29.57%，产量增长使生产费用增长了 34.04%，上年生产费用 94 万元，本年增加了 27.8 万元。试测定由于单位成本降低节约的金额。
解：单位成本指数129.57%96.67%134.04%
由于单位成本降低对生产费用影响的金额为：
94 27.8(94 27.8) 4.2( )96.67% 万元
即单位成本降低而节约生产费用 4.2 万元。
9 某公司所属甲、乙两企业生产某产品，其基期和报告期的单位成本和产量资料如下表：
企业 基期 报告期 单位成本（元）
产量（件）
单位成本（元）
产量（件）
甲 乙 50 55 520 200 45 52 600 500 试计算该公司产品的总平均成本指数。并从相对数和绝对数两方面分析甲、乙两企业单位成本和产量结构的变动对总平均成本的影响。
解：根据题意，得
( ) ( )( )( )z qzq 单位产品成本 产品产量产品总平均成本产品产量
因此，我们计算
1 11145 600 52 50048.18( )600 500z qzq 元
0 1150 600 55 50052.27( )600 500nz qzq 元
0 00050 520 55 20051.39( )520 200z qzq 元
该公司产品总平均成本指数1048.1893.76%51.39zz
相对数分析：1 10 0nnz z zz z z
绝对数分析：1 0 1 0( ) ( )n nz z z z z z
即：48.18 48.18 52.2751.39 52.27 51.3948.18 51.39 (48.18 52.27) (52.27 51.39)
也即：93.76% 92.18% 101.71%3.21 4.09 0.88
由以上计算可知，该公司产品总平均成本报告期比基期降低了 6.24%，平均每件单位成本下降 3.21元。其中由于产品单位成本降低使产品总平均成本降低了 7.82%，平均每件单位成本下降 4.09 元；由于产量结构变化使产品总平均成本提高了 1.71%，平均每件单位成本上涨了 0.88 元。
10 某公司所属三个企业生产某种产品，有关资料如下：
企业 产品生产量（台）
钢材总消耗量（吨）
基期 q 0 报告期 q 1 基期 m 0 q 0 报告期 m 1 q 1 甲 乙 丙 100 200 200 300 180 120 200 440 500 240 415.8 336 试计算单位产品钢材消耗量的可变指数、固定构成指数、结构影响指数。
解:依据题意,有
( )( )( ) ( )mqq m 各企业单位产品钢材消耗量产品产量某产品单位产品产品产量 钢材消耗量
因此，我们计算下列指标：
1 111240 415.8 336 991.81.653300 180 120 600m qmq
0 010 1 01 1200 440 500300 180 1201296100 200 2002.16300 180 120 600nm qqm q qmq q
0 000200 440 500 11402.28100 200 200 500m qmq
单位产品钢材消耗量可变指数101.65372.5%2.28mm
固定构成指数11.65376.53%2.16nmm
结构影响指数02.1694.74%2.28nmm
11 某企业今年职工平均人数比去年增加了 4%，产量增长了 12.32%，试计算该企业全员劳动生产率的提高程度。
解：该企业全员劳动生产率提高程度（%）112.32%100% 8%104%
12 某企业职工的有关工资资料如下：
职工分组 平均工资（元）
人数（人）
去年 今年 去年 今年 老职工 新职工 800 400 840 440 500 500 400 600 试分析：（1）新、老职工组平均工资与人数变动对总平均工资的影响。（2）新、老职工组平均工资与人数变动对工资总额的影响。
解：（1）总平均工资（ x ）与组平均工资（ x ）、组人数（ f ）之间有如下关系：
xfxf
分别计算1x 、nx 、0x 如下 ：
1 111840 400 440 600600( )400 600x fxf 元
0 11800 400 400 600560( )400 600nx fxf 元
0 000800 500 400 500600( )500 500x fxf 元
因此，有
相对数分析：600 600 560600 560 600
绝对数分析：
600 600 (600 560) (560 600)
即：
100% 107.14% 93.33%
0 40 ( 40)
以上计算表明，今年与去年相比企业的总平均工资没有变化，但实际上，由于组平均工资的提高使总平均工资上升了 40 元/人，上升幅度为 7.14%；而高工资的老职工比例下降，低工资的新职工比重提高，使总平均工资下降了 40 元/人，下降幅度为 6.67%。
（2）工资总额 xf
1 10 10 0840 400 440 600 600000800 400 400 600 560000800 500 400 500 600000x fx fx f 因此，有 相对数分析：600000 600000 560000600000 560000 600000
绝对数分析：
600000 600000 (600000 560000) (560000 600000)
即：
100%111.11% 90%0 40000 ( 40000) 由以上计算表明，今年与去年相比企业的工资总额保持不变，其实，由于组平均工资的提高使工资总额上升 11.11%，增加工资额为 4 万元，而由于不同工资水平的职工构成发生变化使工资总额下降了10%，减少工资额为 4 万元。
13 某企业今年与去年的产值及职工人数资料如下：
年份 去年 今年 工业增加值（万元）
职工平均人数（人）
其中：生产工人平均人数（人）
400 600 540 600 650 600 （1）分别从相对数和绝对数两方面分析工人人数及工人劳动生产率变动对工业增加值的影响。（2）分别从相对数和绝对数两方面分析职工人数、生产工人人数占职工人数比重及工人劳动生产率变动对工业增加值的影响。
解：（1）工业增加值＝工人人数（f）×工人劳动生产率（T）
相对数分析：400 600600 600600540 600400 400400540 600540 540 ，即：600 444.4 600400 400 444.4
也即：
150% 111.1% 135.1%
绝对数分析：
600 400 (444.4 400) (600 444.4) ，即：
200 44.4 155.6
计算结果表明，该企业工业增加值今年比去年增加 200 万元，增长幅度达 50%。其中有 44.4 万元是由生产工人平均人数增加带来的，对工业增加值增长幅度的影响为 11.1%，其余的 155.6 万元是由工人
劳动生产率提高而增加的，此数额使工业增加值增幅达 35.13%。
（2）工业增加值＝职工人数×生产工人比重×工人劳动生产率
相对数分析：600 650 0.9 0.74 650 0.92 0.74 650 0.92 1400 600 0.9 0.74 650 0.9 0.74 650 0.92 0.74
即：600 432.9 442.5 598.0400 399.6 432.9 442.5
也即：
150% 108.3% 102.2% 135.1%
绝对数分析：
600 400 (432.9 399.6) (442.5 432.9) (598.0 442.5)
即：
200 33.3 9.6 155.5
计算结果表明，该企业今年比去年工业增加值增加了 200 万元，增幅达 50%，其中，由于职工人数增加 50 人，使工业增加值增加 33.3 万元，增幅达 8.3%；生产工人占职工人数比重上升，使工业增加值增加 9.6 万元，影响增幅为 2.2%；工人劳动生产率提高，使工业增加值增加 155.5 万元，影响其增幅达35.1% 第六章 三、计算题 1 某县城研究居民月家庭人均生活费支出和月家庭收入的相关关系，随机抽查 10 户进行调查，其结果如下：
月人均生活费 （元）
85 88 90 94 96 100 106 118 120 124 月人均收入 （元）
100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 利用上表资料，要求：（1）绘制散点图。（2）计算相关系数。（3）估计当月人均收入为 200 时，其人均生活费应为多少？（4）求估计标准差，当概率为 95.45%、x 为 200 时的 y 的估计区间。
解：（1）绘制散点图如下：
月人均生活费（元）80859095100105110115120125130100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200月人均收入月人均生活费（元）
（2）为计算相关系数，先编制一张相关系数计算表如下：
（2）相关系数计算表 序号 月人均收入 x 月人均生活费y xy x2
y2
1 100 85 8500 10000 7225 2 110 88 9680 12100 7744 3 120 90 10800 14400 8100
4 130 94 12220 16900 8836 5 140 96 13440 19600 9216 6 150 100 15000 22500 10000 7 160 106 16960 25600 11236 8 170 118 20060 28900 13924 9 180 120 21600 32400 14400 10 190 124 23560 36100 15376 合计 1450 1021 151820 218500 106057 因此，相关系数为：
2 2 2 22 2( ) ( )10 151820 1450 102110 218500 1450 10 106057 1021377500.97682500 18129n xy x yrn x x n y y
（3）设月人均消费支出 y 关于月人均收入 x 的直线回归方程为ˆ ya bx
根据最小平方法，有
2 2377500.46( ) 82500n xy x ybn x x
1021 0.46 145035.7510y b xan
所以直线回归方程为 ˆ 35.75 0.46 y x
月人均收入为 200 时，估计月人均生活费用为：
ˆ 35.75 0.46 200 127.27( ) y 元
（4）估计标准差为
2106057 35.75 1021 0.46 1518203.272 10 2yy a y b xySn
当 x 为 200 时，y 的估计区间为：
ˆ 127.27 2 3.27 120.73~133.81( )yy tS 元
2 已知某工业局所属的 10 个企业的生产性固定资产价值和总产值的资料：
单位：万元 企业编号 生产性固定资产价值 总产值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 318 910 200 409 415 502 314 1210 1022 1225 524 1019 638 815 913 928 605 1516 1219 1624
根据上述资料：（1）求总产值对生产性固定资产价值的回归方程，并解释 b 的含义。（2）求相关系数，并说明 x 与 y 之间的相关等级。
解：（1）设所求的直线回归方程为ˆ ya bx
编制计算表如下：
企业编号 生产性固定资产价值 x 总产值 y Xy x2
y2
1 318 524 166632 101124 274576
2 910 1019 927290 828100 1038361
3 200 638 127600 40000 407044
4 409 815 333335 167281 664225
5 415 913 378895 172225 833569
6 502 928 465856 252004 861184
7 314 605 189970 98596 366025
8 1210 1516 1834360 1464100 2298256
9 1022 1219 1245818 1044484 1485961
10 1225 1624 1989400 1500625 2637376
合计 6525 9801 7659156 5668539 10866577
于是，有
所求的回归直线方程为 b 的含义是，当生产性固定资产价值增加 10000 元时，总产值将增加 8960 元。
（2）相关系数计算如下：
2 2 2 22 2( ) ( )10 7659156 6525 980110 5668539 6525 10 10866577 98010.948n xy x yrn x x n y y
说明 x、y 之间具有高度的正相关关系。
3 下表是某公司劳动生产率总分与劳动小组规模及每人奖金资料：
劳动生产率 y 42 39 48 51 49 53 61 60 小组人数 x 1
4 4 4 4 6 6 6 6 每人奖金 x 2
2 2 3 3 2 2 3 3 试计算：（1）复相关系数（2）作多元回归分析（3）估计标准差 解：设二元直线回归方程为1 1 2 2ˆ ya b x b x ，由最小平方法，有 2 2 210 7659156 6525 98010.896( ) 10 5668539 6525n xy x ybn x x 9801 0.896 6525395.56710y b xan ˆ 395.567 0.896 y x
1 1 2 221 1 1 1 2 1 222 2 1 1 2 2 2y na b x b xx y a x b x b x xx y a x b x x b x
为此，编制二元直线回归方程数据计算表如下：
序号 y x 1
x 2
x 1 y x 2 y x 1 x 2
y2
1 42 4 2 168 84 8 16 4 1764 2 39 4 2 156 78 8 16 4 1521 3 48 4 3 192 144 12 16 9 2304 4 51 4 3 204 153 12 16 9 2601 5 49 6 2 294 98 12 36 4 2401 6 53 6 2 318 106 12 36 4 2809 7 61 6 3 366 183 18 36 9 3721 8 60 6 3 360 180 18 36 9 3600 合计 403 40 20 2058 1026 100 208 52 20721
1 21 21 2403 8 40 202058 40 208 1001026 20 100 52a b ba b ba b b
120.3755.3759.25abb ∴所求的二元回归方程为1 2ˆ 0.375 5.375 9.25 y x x
221 1 2 212320721 0.375 403 5.375 2058 9.25 10268 317.6253.5255yy a y b x y b x ySn
121.88yS
22 2240320721 8 ( )81 8 120721 20301.12607yy nyn
2121223.525 8 31 ( ) 1 ( ) 0.981 60 8 1yyySn mrn
说明 y 与 x 1 、x 2 具有高度相关关系。估计标准差为 1.88。
4 设 x 、 y 是存在相关关系的两个变量，并已算得如下数据：
5 x ， 10 y ，225x ，264y ， 1.28 b 。试求：（1）回归方程。（2）相关系数。（3）决定系数，并解释决定系数的意义。
21x22x
解：（1）
10 1.28 5 3.6 a y bx
回归方程为：
ˆ 3.6 1.28 y x
（2）251.28 0.864xyr b
（3）2 20.8 0.64 64% r ，表明 y 的变化中有 64%由 x 决定。
5 将 12 名公司职员的大学本科的学习成绩的平均数与其管理训练考试的分数进行比较，并将其结果列在下表中：
考试分数 y 76 89 83 79 91 95 82 69 66 75 80 88 平均分数 x 2.2 2.4 3.1 2.5 3.5 3.6 2.5 2.0 2.2 2.6 2.7 3.3 （1）确定 y 对 x 的回归方程。（2）求实际值与估计值误差的平方和。
解：（1）x、y 的相关图如下：
考试分数 y与平均分数x相关图60657075808590951002.0 2.5 3.0 3.5 4.0平均分数考试分数 x、y 的相关系数计算表 序号 平均分数 考试分数 xy x 2
y 2
x y 1 2.2
76 167.20
4.84
5776.00
2 2.4
89 213.60
5.76
7921.00
3 3.1
83 257.30
9.61
6889.00
4 2.5
79 197.50
6.25
6241.00
5 3.5
91 318.50
12.25
8281.00
6 3.6
95 342.00
12.96
9025.00
7 2.5
82 205.00
6.25
6724.00
8 2.0
69 138.00
4.00
4761.00
9 2.2
66 145.20
4.84
4356.00
10 2.6
75 195.00
6.76
5625.00
11 2.7
80 216.00
7.29
6400.00
12 3.3
88 290.40
10.89
7744.00
合计 32.6
973.0
2685.7
91.7
79743.0
因此，有 2 2 2 2 2 212 2685.7 32.6 973[ ( ) ][ ( ) ] (12 91.7 32.6 ) (12 79743 973 )0.82n xy x yrn x x n y y x 与 y 高度线性相关。
2 2 212 2685.7 32.6 97313.51( ) 12 91.7 32.6n xy x ybn x x
973 13.51 32.644.3812y b xan
回归方程为：
ˆ 44.38 13.51 y x
（２）实际值与估计值误差的平方和
2 2ˆ ( )79743 44.38 973 13.51 2685.7284.85y y y a y b xy 6 根据 r 与回归方程参数 b 的关系，指出下列问题的对或错：
（1）
ˆ 500 0.01 , 0.75 y x r
（2）
ˆ 100 0.9 , 0.86 y x r
（3）
ˆ 10 2 , 0.5 y x r
（4）
ˆ 8 3 , 0.95 y x r
解：r 与 b 有相同的符号，据此判断（1）（2）（4）对，（3）为错误。
第七章 三、计算题 1 在 500 个抽样产品中，有 95%的一级品，试用 0.9545 的概率估计全部产品一级品率的范围。
解：本题按重复抽样考虑，(1 ) 0.95 (1 0.95)0.0097 0.97%500pp pun
95% 2 0.97% 93.05% ~ 95.45%pP p tu
2 某进出口公司出口一种名茶，抽样检验结果如下：
每包重量（克）
包数 148—149 149—150 150—151 151—152 10 20 50 20 合计 100 又知道这批茶叶每包规格重量不低于 150 克，试以 95%的概率估计这批茶叶平均每包重量的范围，并确定是否达到规格重量要求。
解：样本平均数 148.5 10 149.5 20 150.5 50 151.5 20100150.3( )xfxf 克
样本标准差2( )0.872( )x x fSf 克
抽样平均误差0.8720.0872( )100xSun 克
该批茶叶平均每包的重量范围：
150.3 1.96 0.0872150.13~150.47( )x xX x x tu 克
可见，这批茶叶已达到规格重量要求。
3 为了测定某批灯泡的平均使用时数，抽检了其中 25 个灯泡，查得其平均使用时数为 1500 小时，标准差为 20 小时。
（1）如以 95.45%的概率保证，该批灯泡的平均使用时数将在什么范围？
（2）假定其他条件不变，极限误差缩小 50%，那么应该抽选多少个灯泡才能达到规定的精度要求？ 解：（1）
n N ，可视为重复抽样。
201500 2 1492 ~1508( )25xX x tu x tn 小时
（2）极限误差缩小 50%，即 8 50% 4( ) 小时
其他条件不变，则2 2 2 22 22 20100( )4tn 个
4 按简单随机抽样方式抽取某市 500 户家庭进行调查。调查结果：380 户家庭拥有电话机，试确定一个以 95%的概率保证来估计该市家庭电话普及率的比率区间。
解：根据题意，38076%500p
(1 ) 0.76(1 0.76)0.019 1.9%500pp Pun
1.96 1.9% 3.72%p ptu
故该市家庭电话普及率的比率区间为：
76% 3.72% 72.28% ~ 79.72%pP p
5 设根据分层抽样得到下表数字，试用 0.9545 概率估计总体平均数的范围。抽样比例为 10%。
区域 抽取单位 标志平均数 标准差 甲 600 32 20
乙 300 36 30 解：32 600 36 30033.33900x
2 2220 600 30 300566.67900
2566.67(1 ) (1 10%) 0.7528900xnun N
2 0.7528 1.506x xtu
33.33 1.506 31.824 ~ 34.836xX x