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将数学建模思想融入高等数学教学的研究

时间:2022-03-22 11:00:58 浏览次数:

摘要:针对高等数学教学中存在的一些问题,提出了一种新的解决思路,即将数值计算、计算机技术、数学应用这些数学建模思想融入到教学中。结合高等数学课程中的一些重要内容如函数、极限、微分学、积分学和微分方程等,将上述数学建模思想具体地融入其中,并给出了相应的示例。

关键词:高等数学;数学建模思想;教学改革

作者简介:李明(1976-),男,山东安丘人,武汉科技大学理学院,讲师。(湖北 武汉 430065)郑巧仙(1978-),女,浙江衢州人,湖北大学数学与计算机科学学院,讲师。(湖北 武汉 430062)

基金项目:本文系科技部教改课题(2009IM010400-1-25)、湖北省教研项目(2008182)的研究成果。

中图分类号:G642.3     文献标识码:A     文章编号:1007-0079(2011)31-0115-02

高等数学是大学理工类各专业的公共基础课,其重要程度不言而喻。然而自十七世纪下半叶牛顿、莱布尼兹创建微积分理论,到十九世纪柯西对它进一步完善,直至最近一个世纪传入中国以来,其课程体系与教学内容基本上没有发生变化。教学内容的陈旧,数学理论与实践的脱节,导致学生应用高等数学知识解决实际问题的能力较差。

近几十年来,随着科学技术的发展,特别是计算机技术的发展,数学科学的范围和应用领域得到极大的拓展。数学工作者和其他领域的科研人员重新认识到数学作为一种技术的重要性,这也使得高校的数学教育工作者重新审视数学的教学内容和教学手段,由此引发了一系列的重大变革。

美国于1985年开始对微积分课程的教学内容及教学方式进行改革,致力于培养学生概念性的理解能力,解决问题的技巧,分析与举一反三的技能,同时力图通过实行新方法减少冗长乏味的计算。[1]经过多年的研究和探讨,数学教育工作者在数学教学方面基本达成共识:在教育理念上,从不同专业需要什么样的数学到一致确定不同的人需要不同的数学;在课程内容和课程体系方面:从对数学模型、数学的应用、数学史和数学哲学等文化层面上的认识,到将其纳入到具体教材之中;在教学手段和方法方面:从关注计算机应用,到探讨计算机技术的具体应用形式。[2]

针对数学教育中存在的种种问题,我国的数学教育工作者也进行了一系列的探讨和研究,认识到教学改革势在必行。[3]高等数学教学改革是数学改革的重要任务,其重点是将数学建模思想融入到高等数学教学中。

所谓数学建模思想是指数值计算的思想,应用计算机技术的思想、理论应用于实践的思想,即用图形、文字、数值和代数等形式理解数学概念、理论知识和数学思想,掌握常用的数学方法,并将这些方法和思想应用于解决实际问题。下面就高等数学中的一些具体问题,将上述思想融入到教学中。

一、注重知识的延伸,将数值计算思想融入到高等数学教学中

高等数学研究的对象是函数,即问题所涉及到的量和量之间的对应关系。函数有两种重要的表现形式,一种为解析表达式,是对实际问题中的对应关系的抽象简化;另一种为数值形式,是在实践中直接得到的离散数据,这两种形式既有内在联系,又有区别。高等数学中的函数关系一般是以解析形式出现的,它利于逻辑推导,便于理论研究,而数值形式在解决实际问题时更为常见,教师在授课时应指出这一点,让学生了解数值的思想。

微分学和积分学是高等数学研究的主要内容,而微分和积分则是其中两个最重要的概念,它们都是利用极限定义的。计算微积分是高等数学课程中的基本运算,实践中很多领域也需要计算微分和积分,只是多数计算的对象不是解析函数,而是以数值形式出现的离散数据。对这些数值形式的函数计算其相应点的微分或积分,利用高等数学的知识求解比较困难,而利用数值计算的知识则容易解决,比如利用数值微分中的三点公式,计算离散点的导数值。

从微分到数值微分,从积分到数值积分,从求解微分方程的解析解到求解其数值解,转变思想是简单的,但其意义是重大的。教师在授课的过程中,如果能够将理论上的微积分知识延伸到实践中常用的数值计算上,学生将有更多的手段解决实际问题,从而增强用数学的能力。

当前,大学生仍然花费大量的时间和精力去计算微积分,从长远的角度看这是不可取的。理工科学生学习高等数学,主要用于解决其专业上的问题,特别是专业上的一些计算方面的问题,然而高等数学只是所用数学知识的理论基础,它并不能直接应用于实践,多数需要先进行数值化处理,利用数值方法借助计算机解决实际问题。所以教师在授课的过程中,应强调高等数学的基础地位,着重于鍛炼学生的逻辑推导能力,而不需要过分纠缠于冗长乏味的计算中,只需掌握常用的计算方法即可。

二、注重知识的拓宽,将随机、优化等数学思想融入到高等数学教学中

高等数学中的函数关系是确定性的,称为确定性关系。生活中除了这种确定性关系以外,还有一种更为常见的关系,称为相关性关系,即问题所涉及的量和量之间存在着内在的关系,但这种关系并不能明确的用一个确定性的函数加以描述。相关关系属于随机数学的范畴,教师在讲授函数的时候,可以借助一个简单的示例将其扩展到随机数学的领域,使得学生了解一些随机性问题,从而为后续课程“概率论与数理统计”做好铺垫。

极值问题(最值问题)是高等数学中的一类重要问题。高等数学首先介绍了无条件极值问题,然后增加了等式约束,提出了条件极值问题。事实上,极值问题属于优化问题,而优化问题是生活中非常常见且极为重要的一类问题。优化问题包括无约束优化问题和约束优化问题,而约束优化问题中的约束条件除了等式约束外,还有不等式约束。从无条件极值问题扩展到无约束优化问题,从条件极值问题扩展到有约束优化问题,再到数学规划问题,其建模思想没有太多的改变,但其求解算法却发生了根本性的转变。教师在授课过程中,将这些知识做个简单的拓宽,使学生认识到,数学知识可用于解决大量的实际问题,只是由于所学有限,而不能将高等数学知识直接应用于解决这些问题,从而激发他们学习数学的斗志。

三、注重计算机技术,将绘图思想融入到高等数学教学中

极限是研究高等数学的基本工具,较难理解。以往的教学中,教师将极限中无限趋近的过程离散化,通过有限的几步变化让学生直觉理解极限的概念。显然此趋近过程如果借助图形或者动画技术由学生自己完成,对此概念的理解无疑更有帮助。比如理解极限,可以借助图形,取几个特殊的值加以理解。如取,由图1(a)可知只需取,则对,都满足;再取和,则由图1(b)和图1(c)可知,只需取100和1000,即对的所有,都有。此外数列的变换趋势可借助图1(d)加以理解。图形可以帮助学生更好的理解极限,此外还可以用来帮助学生探讨函数极限的收敛性。

函数图形对于研究函数的性质如单调性、凹凸性、变化趋势、极值等,以至求解积分都有重要意义,利用手工方法绘制一些复杂函数的图形非常困难,而数学软件则能很好的解决这一难题。

泰勒中值定理是微分学中的一个重要定理,它是函数逼近的主要理论基础,也是函数展开成幂级数的重要依据。泰勒中值定理的核心思想是将一个函数近似的表示成多项式,如果其Lagrange余项随着多项式的次数的增加而趋向于0,则可以增加多项式的次数以减少近似误差,甚至将次数无限增加得到函数的幂级数展开式。上述表示也可以借助图形直观的加以理解。

借助数学软件绘图,可以帮助学生理解数学知识、计算以及解决实际问题,国外尤其注重这种教学方式,而国内则对此重视不足,以致多数学生不能有效的运用数学知识借助计算机解决实际问题,这点应引起国内数学教育工作者的重视。

四、注重知识的应用,将数学应用的思想融入到高等数学教学中

理工类学生学习数学的目的在于用数学。高等数学虽然只是所用数学知识的理论基础,但其中很多数学思想还是可以直接应用于解决实际问题。如导数除了用于解决物理上的一些运动方面的问题外,还可用于解决经济上的边际问题;积分在地质领域可以估算某个矿场矿物的储量,在交通上可以估算每天通过某一地点的车流量等等;微分方程在很多科学定律中都有应用如牛顿第二定律、物体冷却定律、放射性物质衰变规律、溶液稀释规律等,而极值思想则可以处理生产、经济以及管理中的一些优化问题等等。

需要指出的是,解决这些实际问题的本质思想是数学思想,通过解决这些问题,学生不但可以学会如何用数学解决实际问题,反过来还能加深对这些数学概念以及数学思想的理解。

五、结论

美国科学院院士James G.Glimm在《数学科学,技术,经济竞争力》中指出“数学是一种关键的、普遍的、能够实行的技术”。随着计算机技术日新月异的发展,数学这种能够实行的技术在各个领域中的作用也越来越明显。数学从实践中产生,在实践中发展,最终应用于实践。虽然有一段时间数学与实践有些脱节,但现在又恢复正常,国内许多数学教育工作者已经意识到这一点,开始将高等数学的理论教学与应用实践相结合,做了不少的尝试,如开设数学建模、数学实验课程,开展各种类型的数学建模竞赛等,以提高学生应用数学解决实际问题的能力。但需要指出的是,只通过开设几门课程、开展几个课外科技活动是难以将数学知识和实践真正相结合的,只有将数学建模思想融入到数学公共基础课程的课堂教学中,使得学生在学习的过程中慢慢了解、熟悉、习惯这种意识,掌握一些常用的计算机技术和数学方法并将其应用于解决一些简单的实际问题,才能真正将数学和实践相结合。将数学建模思想真正融入到数学课堂中,还有不少困难,如怎样处理和考研等“应试教育”的关系,还需要国家、社会和高校一起加以解决。

参考文献:

[1]Louis M Friedlwer.美国的微积分教学1940-2004[J].高等数学研究,2005,8(3):6-11.

[2]李岚.高等数学教学改革研究进展[J].大学数学,2007,23(4):20-26.

[3]周远清.高等教育面向21世纪教学内容与课程体系改革研究系列报告[M].北京:高等教育出版社,2000.

(责任编辑:麻剑飞)

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