【摘 要】本文介绍了常利率条件下分期付款购房的两种模型：等额本金还款模型、等额本息还款模型。在实例中，应用Excel和Matlab进行数据分析，最后给出合理的购房建议。
【关键词】数据分析 等额本金还款模型 等额本息还款模型
【中图分类号】O29【文献标识码】A【文章编号】1674－4810（2012）19－0017－02
一 引言
本文主要考虑这种情况下的分期付款购房模型，即贷款人持有合同直至合同结束。以确定的模型看，具体的抵押贷款问题对应着唯一一个还款计划，即还款人严格按照还款计划或者偿债基金表来执行合约之规定直到合约终止，合约不得提前支付。我国通常的还款方式有等额本金还款法和等额本息还款法等。
二 分期付款购房决策模型
1．等额本金还款模型
等额本金还款法：每月等额偿还贷款本金，贷款利息随本金逐月递减。
记贷款年利率为R，设R为已知并保持不变，则月利率为R/12。100（1＋0.1）12，记贷款本金总额为x0元，作n年按揭，记办理按揭之后第k月还本付息金额为bk元。则根据等额本金还款的算法：每月还本付息的金额＝每月本金＋每月利息，每月本金＝本金总额/还款月数，每月利息＝（本金总额－累计已还本金）×月利率，列式得：
，k＝1，2，…，12n
所以累计还款总额为：
，k＝1，2，…，12n
累计支付利息为：
，k＝1，2，…，12n
累计支付利息占本金总额的比例为：
2．等额本息还款模型
等额本息还款法：贷款期每月以相等的额度平均偿还贷款本息。
记贷款年利率为R，设R为已知并保持不变，则月利率
为 ，记贷款本金总额为x0元，作n年按揭，每月支付本息
a元，办理按揭之后第k月剩余本金为xk元。
则根据等额本息还款的算法：每月利息＝本月剩余本金×贷款月利率，每月本金＝本月剩余本金－下月剩余本金，每月月供额＝每月本金＋每月利息，列式得：
xk＋1＝（1＋ ）xk－a，k＝0，1，2，…，12n （1）
由n年按揭，即x12n＝0。
由（1）式解得：
xk＝（x0－ ）（1＋ ）k＋ ，k＝0，1，2，…，12n（2）
其中x0＜ ，所以xk单调递减而且递减得越来越快，
直到x12n＝0。
当x12n＝0时，由（2）可得：
（x0－ ）（1＋ ）12n＋ ＝0 （3）
（3）式中共有三个变量n、x0、a，所以知道其中任意两个变量，可算出第三个变量。
第一，若已知本金总额x0和月供额a，则按揭年限：
n＝［ln（ ）－ln（ －x0）］÷［12ln（1＋ ）］（4）
第二，若已知按揭年限n和月供额a，则本金总额：
x0＝ ［（1＋ ）12n－1］÷（1＋ ）12n （5）
第三，若已知本金总额x0和按揭年数n，则月供额：
a＝ （1＋ ）12n÷［（1＋ ）12n－1］ （6）
累计还款总额：
12na＝x0nR（1＋ ）12n÷［（1＋ ）12n－1］
累计支付利息：
12na－x0＝x0nR（1＋ ）12n÷［（1＋ ）12n－1］－x0
累计支付利息占本金总额的比例：
＝nR（1＋ ）12n÷［（1＋ ）12n－1］－1
由上式可知，累计支付利息占本金总额的比例由贷款年利率R和按揭年数n共同决定。利率越高或年数越长，都会导致利息的增加。
每月平均支付利息为：
÷［ ］
3．模型比较
第一，举例分析。首先我们对贷款50000元，10年还清，月利率为4.2‰的情况，两种模型的每月还款额、还款总额、总利息和总利息占本金总额比例进行比较，见表1、图1、图2。
由以上分析可以看出，对于小额贷款等额本金还款前期的还款压力比较大，但到后期还款压力越来越小，且还款总额、总利息和总利息占本金总额比例都比等额本息还款少。因此，等额本金还款法适合于前期资金比较充足的购房人群。采用等额本息还款法则可以减轻前期还款压力。等额本息还款法适合于收入较稳定，但购房前期资金不是十分充足的购房者。
在实际生活中，一般先根据家庭财产状况和规定的最低首付成数确定本金总额x0，又根据月供应额不超过家庭月收
入 的原则确定大约的月供应额d。由（4）得出大约的按揭
年数n，最后将确定下来的本金总额x0和按揭年数n代入（6）可得出准确的月供额a。
对于老年人，一般不应该在退休之后仍未还清贷款。所以一般根据年龄确定按揭年数n，根据家庭月收入确定大约的月供额a，代入（5）得出可以承受的本金总额x0，再根据家庭财产状况和规定的最低首付成数来选定合适的购买对象，并确定按揭计划。
第二，实例分析。王先生为了改善家庭的住房条件，在2012年重新购买了一套面积为100m2的住宅。每平方米售价为4000元，现需要贷款。但是申请等额本金还款还是等额本息还款呢？贷款15年还是20年呢？他一时拿不定主意。以下是他的家庭状况分析以及可供选择的方案。
家庭状况：家庭每月总收入8000元，即年收入9.6万元。现有存款15万元，但是必须留2万元～3万元以备急用。可用首付款为12万元。
贷款信息：6年以上的年利率为6.8%，购房的首期付款应不低于实际购房总额的20%，贷款总额应不高于实际购房总额的80%。
预备方案：（1）等额本金还款15年；（2）等额本息还款15年；（3）等额本金还款20年；（4）等额本息还款20年。
如果首付12万（约为住房总价值的30%），贷款28万。月利率为6.8%÷12＝5.67‰。
见表2、图3、图4。
三 结束语
通过本文的讨论，使消费者对分期付款中的公式由来和两种付款方式的利弊有更深的理解。将数学与实际生活中热门的购房问题有机结合起来，并运用数学的方法研究与讨论了两种分期付款模型，比较了两种分期付款模型的利与弊，给消费者的消费行为提供理论上的指导作用。
参考文献
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〔责任编辑：庞远燕〕