材料《典型错题集》时，发现了这样一道题：0.25÷0.15，当商是1.6时，余数是（ ）。
第一感觉这道题有问题！脑海浮现了几个疑问：
小数除法有余数吗？
一道除法题的余数是唯一的吗？
有余数时，商能不能是小数？
该题目要考查的知识点是商不变性质：在有余数除法里，被除数与除数同时扩大或缩小相同的倍数，商大小不变，余数随着同时扩大或缩小相同的倍数。重点考查在被除数与除数同时扩大或缩小相同的倍数，余数随着同时扩大或缩小相同的倍数。
认真审视这道题目，我认为题目存在问题，在表述上是有歧义的。
1.从余数的本义看，余数是解决平均分配问题的。余数最初的定义即是为了解决整数范围内平分有余或不足问题的。考查0.25÷0.15的余数是多少，从概念界定上就是错误的。因而余数这个定义自诞生之日起就是整数问题，是根本上和小数、分数划清界线的。
余数的产生是有实际意义，补充了平均分配问题。25÷15可以理解为15个人分25个苹果，每人1个，还剩几个？而0.25÷0.15呢？难道要理解为0.15个人分0.25个苹果，还剩几个吗？新课程改革特别提倡人人学习有价值的数学，问题的提出要切合实际。
2.余数只适用于整数除法范围，不能在小数和分数除法中使用。余数指整数除法中被除数未被除尽部分，且余数的取值范围为0到除数之间（不包括除数）的整数。如97÷19商5余2。
网上也对最小的余数是0还是1进行了讨论，也有专家呼吁教材编制、审定部门对其进行界定。也就是说，最小的余数不是0的话，就应该是1。不存在余数是小数。
课本上所说的余数也是表现为整数除法的余数，而不是小数除法的余数。比如人教版数学五年级上册课本33页（截图如下）：
不难看到右上方小女孩手指着自己的脑袋问：余数怎么总是“25”？
由此不难看出课本上在小数除法的计算过程中，余数依然是整数，这里余数的概念依然是整数环上的概念，而没有小数的余数这一说法。题目中第一个余数25是400除以75商5后得到的余数，而第二次出现的25本质上是250除以75商3后得到的余数，第三次、第四次出现的25依然如此。并没有说第一次余25，第二次余2.5，第三次余0.25……
而《数论之余数问题》一文，从奥数题目的角度讲解了加法余数定理、乘法余数定理和同余定理，也列举了大量的例题，均没有涉及到小数。
另外，小数和分数是可以互相转化的，如果小数除法可以有余数，分数除法也应该有余数才对。如果0.75÷0.6=1……0.25成立的话，那么3/4÷3/5=1……0.25，而结果呈现出来的就不只是5/4.
3.这道题的表述与“余数具有唯一性”相悖。初等数论中带余除法是定义在整数环上面的，商数和余数是唯一的，上述题目中解题时是把被除数和除数同时扩大了10倍，变为25÷15，虽然商的值没有变化，但数域发生了变化。带余除法就是带有余数的除法，被除数=除数×商+余数。带余除法主要包括整数的带余除法和多项式的带余除法。没有包括小数带余除法。
其中，整数的带余除法定理为：若a∈Z，b∈Z+，则有且只有一对整数q与r，使得a=bq+r，0≤r 证明：先证存在性。我们考虑整数的有序列 …，-3b，-2b，-b，0，b，2b，3b… 则整数a应介于上面有序列的某两个数之间，即存在一个整数q，使得qb≤a≤（q+1）b，我们设r=a-qb，则有a=bq+r，0≤r 再证明唯一性。设q′与r′是满足条件的另外两个整数 即a=bq′+r′，0≤r′ 以上定理中q成为a被b除的不完全商，r成为a被b除所得到的余数。 也就是商和余数具有唯一性。 在“0.25÷0.15，当商是1.6时，余数是（ ）”中，商已经是小数了！那就是可以理解为10÷3=3……1，10÷3=3.3……0.1，10÷3=3.33……0.01，10÷3=3.333……0.001等都是对的。那商和余数的唯一性怎样体现呢？ 4.整数除法与小数除法结果呈现方式不一样。整数除法分为整除和不能整除两种，整除的如36÷9=4：不能整除的如36÷7=5……1。 小数除法分为除尽和除不尽两种，除尽的如3.6÷9=0.4：除不尽的如36÷7=5，142857142857……，用循环小数表示即可（两个有限小数相除，除不尽时得到的结果一定是循环小数）。 为什么会出现这种题目呢？ 是因为题目编制者只关注到了学生掌握有余数除法商不变的性质，而忽略了余数的内涵与外延。以为只要满足除数×商+余数=被除数即可，这是对学生的误导，是命制题目的不严谨，也就是通常所说的含有概念性错误的题目。 在人教版教材及其他教学资源上，带余除法商不变性质也只在整数范围内讲解和练习。 《数学课程标准》中指出：“应避免繁杂的运算，避免将运算与应用割裂开来，避免对应用题进行机械的程式化训练。”本文开篇列举的题目就是典型的把運算训练与实际应用割裂开来，就是把商不变性质的训练与余数的概念理解割裂开来，体现出命题者不严谨的数学思维。 数学教育家波利亚说：“如果没有了反思，他们就错过了解题的一次重要而有效益的方面。”数学的核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析，其中数学思想和数学思维是核心。教育希望有更多具有质疑意识的学生的出现，也期盼有更多具有批判精神的教师涌现。 责任编辑/张和英