篇一：例题难度分析模型
运用鲍建生模型解析事前综合难度
作者：吴世朗
来源：《中学课程辅导·教学研究》2020年第18期
本文系福建省宁德市中学教育科学研究2018年度课题：“高考全国卷数学科试题特点及教学对策研究”（立项批准号：FJNDKY18-803）
摘要：事前综合难度指不采用考试之后的试题正确率、通过率等，对试题本身进行考查。本文将利用鲍建生模型对试题难度进行分析。鲍建生模型将标准分为五类，即“探究水平”“背景水平”“推理水平”“运算水平”以及“综合知识水平”，并以此构建试题难度模型。
关键词：鲍建生模型；高考数学；事前综合难度
中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1992-7711（2020）09-016一、提出问题
高考制度是我国人才选拔的一个重要考试制度，因此为了确保人才的成功选拔，不让人才流失，全国高考数学试题的公平性就显得至关重要。故如何做到平衡试题的难易度、结合继承与创新，就成为全国高考数学试题命题者中的一个重心。本文通过对全国高考数学试题事前综合难度的分析研究，对试题的“探究因素”“知识水平因素”“推理因素”“运算因素”以及“综合知识水平因素”进行事前的有关研究。
本文选择的鲍建生模型如下：
篇二：例题难度分析模型
高考数学解题方法
——巧妙分析题意
建立解题模型
解题模型思想是一种解题方法，在高三二轮复习中有重要的作用，在解题的过程中，适当地对条件进行变形，发现函数模型，设置适当的函数，构造不等式，达到解题目的。
本文主要通过几个例题讲述一种解题模型思想，注意在解题过程中的应用，才能发挥高三二轮复习的功能效益。
a?1【例题1】.设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若ae?b?blnb，则（）
A．ab?e
B．b?e
C．ab?e
D．b?e
【思考】这是一个二元不等式问题，已知不等式，求出正确的不等式问题，分析已知条件模型，发现函数模型，试图构造函数，因为有超越函数，所以应该移项,左边是指数函数型，右边是对数函数模型.
【解析】
（1）由已知aea?1a?1a?1?b?blnb得
b?blnb?aea?1，两边同时乘以字母a，得
ab?ablnb?a2ea?1，移项得
ab(1?lnb)??a2ea?1,
当0 1?lnb?0，?a2ea?1?0, 所以 ab?0. 当b>1时，有 1?lnb?0，所以 a2ea?1ab??, 1?lnba2ea?1?e,例如，取b?e2,a?1，得 若?1?lnba2ea?1e2ab?????e2?e?0. 1?lnb1?2所以选项A与C都不正确。 （2）下面证明：b?e即证 a?1?b?ea e因为 aea?1?b?blnb 两边同时除以字母a得 ea?1?移项化简得 bb?lnb aabbealnea?ln.ee........................................（1） 注意两边有同一个结构，所以设函数 求导得 f?x??xlnx, 当x>1时，导数值非负，函数递增，aa?0,时e?1，又因为当f??x??lnx?1,且 aea?1?b?blnb0?aea?1?blnb?b，所以 lnb?1，b即?1由（1）得 e?b?fea?f?? ?e???由函数单调性得 ea? 所以 b e选项B正确. 【例题2】.已知a>1，b>1，则下列关系不可能成立的是 b?ea?1?【思考】从选支中的不等式出发，变形得到同构模型，抽象出函数，应用导数方法，研究函数单调性，实现问题的解答. 【解析】选择CD选项作变更，A.eblna?ab B.eblna?ab C.aeb?blna D.aeb?blna eblnaeblna?? baba这两个不等式由相同的结构，可以构造函数模型，于是构造函数 exlnxf?x??,g?x??,?x?1? xxex,?x?1?求导，得 对f?x??x 所以，由x>1,得f?x??f?1??e 对g?x??ex?x?1?f??x???0，x?1，xlnx,?x?1?求导，得 xg??x??1?lnx，x?1，2x当0 当x>1时，g??x??0,此时，g(x)是递减函数. 1????gx?gx?, 所以maxe这样有f(b)>g(a)恒成立，得 eblna?。 baeblna?即不可能恒成立. ba 类似题目： （1）已知b>a>0，且满足alnb=blna，e为自然对数的底数，则 【例题3】. 已知y?A.ae?ea?eb B.eb?ae?ea C.eb?ea?ae D.ea?ae?eb sin?cos?，???0,2??. 2?sin??cos?k⑴求y的最小值；⑵求取到最小值时的?. 【答案】3?2;k?1,2??k????1?arcsin?? 【思考】本文考查三角代换与函数知识，属于中等难度题，构造对勾函数. 【解析】 设 ?6???2????2?4?t?sin??cos?，t????2,2?，则 t2?12t2?11t?1sin?cos??，y?2?. 2t?22t?2再令 t?2?u，则 1u2?4u?31?3?1?，t?u?2，y???u??4??23?4?3?2，u??2?2,2?2??2u2?u?2??等号成立当且仅当u?此时，3，即t?3?2. sin??cos??3?2，??6?sin??????24?2?，????6?k?k????1?arcsin??2??2?4??，?6???2??. ??2?4又???0,2??，故k?1,2. ??k????1?arcsin??k 拓展练习： ?68?2【例题4】.设a，b，c为非负实数，且满足方程4大值和最小值（） A.互为倒数 B.其和为13C.其乘积为4D.均不存在 【答案】C 【思考】构造方程思想。 【解析】 tt设5a?9b?4c?t，则原方程?4?68?2?256?0，5a?9b?4c5a?9b?4c?256?0，则a?b?c的最即(2?4)(2?64)?0，?t?2或6。 tt?5a?9b?4c?4或36。 44，0?b?，0?c?15944?当a?b?c最小时，a?0，b?，c?0，此时a?b?c? 994即(a?b?c)min?。 936（2）当5a?9b?4c?36时，a?0,b?0,c?0，?0?a?，0?b?4，0?c?5?当a?b?c最大时，a?0，b?0，c?9，此时a?b?c?即(a?b?c)max?9。 4综上：(a?b?c)min(a?b?c)max?9??4。 9（1）当5a?9b?4c?4时，a?0,b?0,c?0，?0?a? 【例题5】.【证明问题】构造不等式，证一个不等式 设a，b，c?R，m?2n?0，m,n?N, 求证：?m?a2?ab?2n3?a3?a3?ab?a?b??m?n.. 证明：先证一个引理： 设a，b，c?R，则 ??a?ab422?2abc?a?b?c??2.22?ab?a?b?42........................................................................................（1） 引理的证明： a?ab?a??1???b2??2abc?a?a2b2?2?a2b2?ab?a?b??a2b2?ab?a2?b2??0.................（2） 令 b?a,c?a,b?a?x?0,c?a?y?0,则 T??a4?aba2?b2?2abc?a?a2b2?2?a2b2?ab?a?b??xyx2?y2????????x??14y?29xy?14x?a?11xy?x?y?a? ?2?x?y??x?y??6x?6xy?6y?a?12?x?y?a??28?x?y?a??y?x??18x?29xy?18y?a? ?19?x?y?a?15?x?y??x?y?a?12[?x?y??xy]a ?0.222222222442222355344422243352526??x??y?x??y??y2?2?x?y??y?x?y2?x22x2?7xy?2y2a? 所以（2）成立，引理得证. 由基本不等式得 3?ab?a?b? a22abca?b?c???ab??ab?a?b?，?ab?a2?23?a3?a??a??ab由?及引理得 2?ab ?a?n[?a?2abc?a?b?c?]??m?n??ab?ab?ab?a?b?22m?a2?2nabca?b?c?ab?a?b????m?n?2n?m?n.即 m?a2?ab?2n3?a3?a3?ab?a?b??m?n. 【例题6】：在一些选择题中，也可以构造不等式模型解题，导数模型求最值 已知x,y?R，且x?8y?1，则?11?的最小值为 x2y2A82B64C642D125q?1a1q?1a2方法1：权方和不等式：q?q?b1b2q?1an(a1?a2??an)q?1?q?qbn(b1?b2??bn)111343(1?4)3?????125x2y2x2(8y)2(x?8y)2方法2：大柯西不等式：ai?0,bi?0,ci?0，则 (a1?a2??an)(b1?b2??bn)(c1?c2??cn)?(3a1b1c1?3a2b2c2?1111??(x?8y)(x?8y)(?)?(1?4)32222xyxy 方法3：利用导数：?3anbncn)3x?1?y?0,0?y?1，8f(y)?1111???x2y2(1?8y)2y2，16?22[(2y)3?(1?8y)3]1f?(y)????(10y?1)??，f(y)?f()?125min(1?8y)3y3(1?8y)3y31方法4：待定系数法均值不等式： 211111??1??2???2?2??(x?8y)?2?x?x?2?4?y?4?y?33?3316?2等号成立的条2xyxyx22y423113件：x?,y?,?x?2y?,??250。 ?4?511250211323??250?3?316?250?375,??2?125。 222xy4xy ?练习（1）：已知x,y?R，且x?2y?3，则xy?1的最大值为（） 22x?4yA.1111B. C.3D.23612?（2）：已知a,b?R，且a?b?1，则a2?1?b2?4的最小值为（） A.2?2B.22C.3D.1【例题7】.应用导数模型 已知函数f(x)?ex?ax有两个零点x1，x2，则下列判断：①a?e；②x1?x2?2；③x1?x2?1；④有极小值点x0，且x1?x2?2x0.则正确判断的个数是（） A．4个 【答案】D B．3个 C．2个 D．1个 【解】对于① ?x）=ex?a f（fx）?x）=ex?a?0在x?R上恒成立，（当a?0时，f（在R上单调递增,不符合. ?x）=ex?a?0，ex?a?0，解得x?lna，当a?0时，由f（?x）=ex?a?0，解得x?lna f（f(x)在(??,lna)单调递减，在(lna,??)单调递增．f(x)在x?lna有极小值，fx）=ex?ax有两个零点x1,x2，函数（?f(lna)?0，a?e，?①不正确； 对于② ?ex1?ax1?ex1?x2?a2x1x2?x1?x2?2lna?ln(x1x2)，a?e 因为?x2?e?ax2?x1?x2?2lna?ln(x1x2)?2?ln(x1x2)，e2取a?，f(2)?e2?2a?0，?x2?2，f(0)?1?0，?0?x1?1，?x1?x2?22?②不正确； 对于④ f(0)＝1＞0，f(1)＝e?a?0,?0?x1?1?lnx0,x2?lnx0?1函数的极小值点为x0?lna 要证x1?x2?2x0，只要证x1?2x0?x2?x因为函数f(x)在(??,lna)单调递减，故只需要证f?x2??f?x1??f?2x0?x2? 2x?xx构造函数g?x??f?x??f?2x0?x??e?e0?2ax?2ax0?x?x0? 求导得到g??x??ex?e2x0?x?2a?2e2x0?2a?所以函数g?x?单调递增，g?x0??0,?g?x??0恒成立，?f?x??f?2x0?x? 即f?x2??f?2x0?x2?，故得到f?x2??f?x1??f?2x0?x2? 进而得证：x1?2x0?x2?x0，x1?x2?2x0. 故④正确. 对于③ ?ex1?ax1?ex1?x2?a2x1x2?x1?x2?2lna?ln(x1x2) 因为?x2?e?ax2根据x1?x2?2x0?2lna，可得到ln(x1x2)?0?0?x1x2?1. ?③不正确. 综上正确的只有一个，故选：D. 思考题 已知函数f?x??alnx?sinx?x，其中a为非零常数． （1）若函数f?x?在（0，??）上单调递增，求a的取值范围； （2）设????,?3??2?，且cos??1??sin?，证明：当?sin??a?0时，函数f?x?在（0，2?）上恰?2?有两个极值点． 【例题8】--多选题模型 已知函数f?x??xlnx?x2e?tx?1?t?R?有两个极值点x1,x2?x1?x2?，则下列说法正确的是（A．t?ln2?1B．曲线y?f?x?在点?e,f?e??处的切线可能与直线x?y?0垂直 C．f?x1??D．x1?x2?4ex1x2解：对于A选项，函数的的定义域为?0,???，函数的导数f"?x???2x2?1x?x?2x2，∴x??0,2?时，f"?x??0，函数f?x?单调递减，x??2,???时，f"?x??0，函数f?x?单调递增，∴x?2是f?x?的极小值点，故A正确； 对于B选项，y?f?x??x?2x?lnx?x，2∴??1?7y"??2x?1?x?x?1??2???4，2x2?0∴函数在?0,???上单调递减，又∴f?1??1?2?ln1?1?1?0，f?2??2?1?ln2?2?0，∴函数y?f?x??x有且只有1个零点，故B正确； 对于C选项，若f?x??kx，可得k?f?x?x?2lnxx2?x，令g?x??2lnx2?xx，则g"?x???4?x?xlnxx3，令h?x???4?x?xlnx，则h"?x???lnx，） ∴在x??0,1?上，h"?x??0，函数h?x?单调递增，x??1,???上，h"?x??0，函数h?x?单调递减，∴h?x??h?1???3?0，∴g"?x??0，∴g?x??2lnx?在?0,???上函数单调递减，函数无最小值，x2x∴不存在正实数k，使得f?x??kx成立，故C错误； 对于D选项，由x1?x2，f?x1??f?x2?结合A选项可知x1?2,0?x2?2，要证x1?x2?4，即证x1?4?x2，且x1?4?x2?2，由函数f?x?在x??2,???是单调递增函数，所以有f?x1??f?4?x2?，由于f?x1??f?x2?，所以f?x2??f?4?x2?，即证明f?x??f?4?x?,x??0,2?，22,x??0,2?，令m?x??f?x??f?4?x??lnx?ln?4?x???x4?x则m"?x???8?x?2?x?4?x?222?0，所以m?x?在?0,2?是单调递减函数，所以m?x??m?2??0，即f?x??f?4?x?,x??0,2?成立，故x1?x2?4成立，所以D正确. 故选：ABD. 【例题9】--解答题模型 （1）若0?a?1，判断函数f(x)?asin(1?x)?lnx在区间(0,1)内的单调性； （2）证明：对任意n?2，n?N?，sin211?sin2?510?sin21?ln2. 2n?1（1）f(x)在(0,1)单调递增；（2）证明见解析. 解：（1）因为f(x)?asin(1?x)?lnx，1所以f?(x)??acos(1?x)?. x因为0?x?1，所以0?1?x?1，则0?cos(1?x)?1. 又0?a1，知0?acos(1?x)?1，且0?x?1时1?1，x 故f?(x)??acos(1?x)?1?0，所以f(x)在(0,1)单调递增. x（2）由（1）知，当a?1时，f(x)?f(1)，即sin(1?x)?lnx?0，1所以sin(1?x)?ln. x11n21n2?1?2令1?x?2，所以x?1?2，从而?，2n?1n?1n?1xn1n2?11???ln2?ln?1?2?，所以sin2n?1n?n?因为n2，n?N?，所以所以sin所以sin211?(0,1)0?sin?1，，所以22n?1n?1111???sin?ln1??2?，n2?1n2?1?n?211?sin2?510?sin21?1?1???ln1??ln1?????22?23n2?1????1???ln?1?2?，n??1??1??因为?1?2???1?2?2??3??1??1?1???1??1???1??????1??24??34?n4??????1?2?? 1??1??1?n????1?2???1?2???1?2??2??3??n?1??1???1?4???1?4??2??3??(2?1)(2?1)(3?1)(3?1)?22321??1????1?4???1?4?2??3??1????1?4??n??(n?1)(n?1)?n21??1??1???1?4???1?4???1?4??2??3??n? 1n?1?2n1??1????1?4???2???2，nn?1??????1??1?所以ln??1?2???1?2???2??3?sin所以 21?????1?2???ln2，?n??1?ln2. n2?111?sin2?510?sin2思考题 已知函数f?x??ln?x?1??（1）求函数的极值； （2）①当x?0时，f?x??0恒成立，求正整数k的最大值 ②证明：?1?1?2??1?2?3?????1?n?n?1???e??思考题答案： （1）定义域??1,???,f"?x??3??n?2???n?1?kx?1x?1x?1?k?x?1?2当k?0时，f"?x??0，所以函数f?x?在??1,???上单调递增，无极值 当k?0时，f"?x??0，得x?k?1,f"?x??0得?1?x?k?1所以函数f?x?在??1,k?1?上单调递减，在?k?1,???上单调递增 此时函数f?x?的极小值f?k?1??lnk?k?2无极大值 综上，当k?0时，函数f?x?无极值;当k?0时，函数f?x?的极小值为lnk?k?2，无极大值. （2）当x?0时，f?x??0恒成立，即只需f?x?min?0成立即可 由（1）可知 当k?0时，函数f?x?在??1,k?1?上单调递减，在?k?1,???上单调递增 （i）若k?1?0，即k?1时，f?x?在?0,???上单调递增，所以f?x?min?f?0??1满足题意 （ii）若k?1?0，即k?1，函数f?x?在?0,k?1?上单调递减，在?k?1,???上单调递增 所以f?x?min?f?k?1??lnk?k?2?令g?x??lnx?x?2,g"?x??1?x?x所以g?x?在?1,???上单调递增 又知g?2??ln2?0,g?3??ln3?1?0,g?4??ln4?2?所以?x0??3,4?使得g?x0??0，则g?x??lnx?x?2?0的解集为?1,x0? 综上k的取值范围为???,x0?,x0??3,4?，所以正整数k的最大值为3②证明：两边取对数得ln?1?1?2??1?2?3??????1?n?n?1????2n?即只需证ln?1?1?2??ln?1?2?3?+???+ln??1?n?n?1????2n?由（i）知ln?x?1??3n n?13n n?13x3?1?2? x?1x?1令x?n?n?1?，则ln??n?n?1??1???2?333??3?2??2???? n?n?1??1n?n?1??nn?1?所以ln?1?1?2??ln?1?2?3??????ln??1?n?n?1??? 11?3n?11111?2n?3?1????????????2n? ?22334nn?1n?1??所以?1?1?2??1?2?3?????1?n?n?1???e??3??n?2???n?1? 龙源期刊网http://www.qikan.com.cn难度模型法分析不同版本数学教材中二次函数的内容 作者：王涵 来源：《新课程研究·基础教育》2017年第03期 【摘 要】数学教材是课程标准要求的具体化，也是课程实施的主要媒介。在进行课堂教学之前，首先要分析教材内容，弄清教学内容如何体现课程标准的要求、教材编写的特点和意图。当前初中数学教材共有八个不同版本，分别为北京师大出版社、华东师大出版社、人民教育出版社、浙江教育出版社、山东教育出版社、江苏科技出版社、湖南教育出版社以及安徽教育出版社。二次函数是数学教材的核心，是初中阶段重要的数学模型，二次函数既是初中教材的重点亦是难点，在教材中具有承上启下的作用。本文主要利用难度模型法分析初中数学教材中人教版与北师大版关于二次函数的内容。 【关键词】人教版；北师大版； 教材比较；难度模型法 中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1671-0568（2017）07-0059-02一、问题的提出 难度模型法是我国鲍建生教授在《中英初中数学课程综合难度的比较研究》中提出的一个综合模型，用来分析数学题的难度水平及其综合特征，进而从整体上评价数学教材的难度水平。难度模型法的综合难度分别从探究、背景、运算、推理以及知识含量这五个方面进行分析，每个因素又分为不同的水平，具体如表1所示。 难度模型法共有五个因素，“运算”“推理”“知识含量”在一定程度上体现了我国的“双基”，而“探究”“背景”则反映了我国课程改革的一种趋势。因此，我们可以利用这个综合难度模型来分析教材的习题难度以及当前的趋势，最后通过加权平均值的计算来做出难度模型的雷达图，直观地对教材进行综合分析。 二、课题统计 本文主要针对人教版与北师大版这两个版本的教材进行分析。在人教版教材中，教材设置了引入、思考、探究、练习、例题、习题与复习题等环节，对二次函数这部分内容的79道题进行了难度分析。在北师大版教材中，教材设置了引入、做一做、想一想、议一议、随堂练习、习题与复习题，对二次函数这部分内容的119道题进行了难度分析（如表2）。 三、数据分析篇三：例题难度分析模型
篇四：例题难度分析模型
基于KPARC模型的试题绝对难度研究
任红艳;姜海娟;李广洲
【期刊名称】《中国考试》
【年(卷),期】2013(000)003【摘
要】论文提出了“知识片段—注意—关系复杂性”(KPARC)模型，对该模型的各项指标含义及难度标定的操作步骤予以了较为详细的阐述，并选择氧化还原内容设计问卷，进行了较大规模的测试。结果显示，不同评定者基于KPARC模型的绝对难度标定结果之间具有极其显著的高相关，且各试题的绝对难度平均值和由通过率转换后的标准难度值之间具有(极其)显著的负相关，验证了基于本研究所提出的KPARC模型标定试题绝对难度方法的合理性及实际操作的可行性。
【总页数】4页(P12-15)
【作
者】任红艳;姜海娟;李广洲
【作者单位】南京师范大学教师教育学院，南京210097;江苏省海安高级中学
江苏南通226600;南京师范大学课程与教学研究所
南京21009【正文语种】中
文
【中图分类】G405【相关文献】
1.MAS法和CTA法标定离子反应试题绝对难度的研究[J],任红艳;李幸;李广洲
2.基于多维分析系统的离子反应试题绝对难度研究[J],任红艳;李幸;李广洲
3.基于综合难度系数模型的高考试题难度分析——以2017年和2018年新课标卷
篇五：例题难度分析模型
习题难度的划分(总4页)
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题库类产品如何计算题目的难度值
一、引言
题库类产品（如猿题库、易题库等）的一个标配功能是预测用户未来要进行的某项考试得分，我们称之为目标考试预测分。以猿题库高考为例，即将参加高考的学生通过在题库上做大量练习，练习的效果会以学生的高考预测分呈现出来，这是学生最关注的指标，也是整个题库产品中最关键的数据。
为了让“预测分”数据更加准确，我们引入了能力评估模型，通过测算用户在所有知识点上的能力水平，并将其量化成为一个数值。能力评估模型中有两个重要参数：题目难度值、用户答题的正确率。简化为：
A＝f(an,d)其中A表示能力值，an表示所做n道题目的难度值，d表示用户做这n道题目的正确率。参数d的值是可轻易计算得出，而an的值决定于这n道题每一道题的难度值。于是，单题难度值的计算成为准确预测用户预测分的关键因素。
二、什么样的题目才算“难题”
我们这样定义“难题”：解题的逻辑、思路迂回复杂，所关联的知识点综合性强。有一些情形，表面上似乎能证明这是一道“难题”，但并不属于我们考虑的范围：
基础易错题：考察概念性、定义类的基础知识题目，但题目会设置若干干扰性强的易错项。
多知识点平行考查：考查多个知识点，但知识点之间的关联性小，在题目内的综合度低。
“超纲题”：答题者觉得“难”并不是因为这是一道逻辑复杂的题，而是解答此题需要用到的知识并不在答题者的所学范围以内；如二元一次方程的题目出现在一元一次方程的课后习题里。
这些因素会在后续计算难度系数时剔除掉。
三、如何给一道“难题”确定难度系数
难度系数反映题目的难易程度，描述考生在答题时的失分情况。一般地，难度系数的计算公式为：L=1-X/W其中，L为难度系数，X为样本平均得分，W为试卷总分（对于单题而言，W为该题的分值）。这是在有足够答题数据的前提下建立的难度计算公式，而题库类的产品中题目被作答的次数是有一个累积的过程，对于新入库的题目，这个计算公式并不适用。针对题库产品的特性以及题目难度系数计算公式的适用问题，我们按以下步骤来确定并校准题目的难度系数：
1.
人工标记题目初始难度新题目在录入、解析的环节中，由教研人员根据一定的标准（如上述第二部分中“难题”的标准），给题目录入一个初始难度值，难度值的范围为1～10共10个等级，这个值越大代表这道题的难度越大。
2.
数。
3.
比对步骤1和步骤2中产生的难度值，确定题目的最终难度系数如果难度值为1～3，而难度系数为～，则用人工初始难度值转化为该题的难度系数，并把这道题交由教研人员重新评估题目的难度值，并检查此题是否出现在了超纲的位置。此外的其他情形，都用新计算出来的难度系数来取代初始难度值。
4.
步骤3中教研人员重新评估题目难度值的环节中如果发现严重的偏差，则在修正后用难度系数来取代初始难度值。
题目被大量作答后，提取正确率并计算难度系数根据公式L=1-X/W计算该题难度系2四、小结
引入经典的难度系数计算公式，再通过与人工标记的难度值进行比对修正，使得题目的难度量化更加合理，为能力评估模型提供更准确的参数。
1．信度
试卷的信度是表示试卷作为测试工具的可靠程度的指标.试卷的信度高说明考生分数不易受偶然因素的影响,考生分数可以比较真实地反映考生的实际水平。
影响试卷信度的因素有:
①试题的难度.过难或过易的试题都会降低试卷的信度.
②题目的数量.试卷题目数量越多,信度越高,因为题目数量增多,尤其是同质题目增多,在每道题目上的随机误差将会互相抵消.虽然测评受到内容和时间的限制,题目数量不能太多,但可尽量把大题化小,增加题目数量,以提高信度.
③题目用语的准确性.题目用语不标准、不准确也会降低试卷的信度.试卷的信度值必须在考后才能计算出来,而且计算过程比较复杂,因此为提高试卷的信度,教师在命题时应尽量排除上述因素的干扰,使试卷的信度值尽可能高.
2．效度
试卷的效度是衡量考试结果与预定要达到的考试目标相符合的程度,效度反映了试卷的有效程度.如果测试的结果与学生平时学习的情况基本一致,这样的试卷有较高的效度,说明试卷内容恰恰是需要考查的内容；如果试卷的效度低,则说明所要考查的内容没有完全考查到.初学者数学学业考试中主要关注试卷的内容效度和结构效度,内容效度反映的是试卷是否按《数学课程标准》的要求,使各部分内容特别是教学重点内容得到合理的分配；结构效度反映的是试卷中的图文结构、题型结构和试卷的排版印刷质量是否合理等.
提高试卷的效度要注意三个方面的问题:一是考试的目标要明确,明确是要考查学生对基础知识的掌握,还是要考查学生应用数学知识进行推理判断的能力,或是两者兼而有之；二是试题的设计要有效地体现考试目标,填空题、选择题一般用来考查学生对基础知识的掌握,解答题则用来考查学生的数学运用能力；三是试卷的要求与《数学课程标准》的要求要一致,试卷内容要涉及数学教科书中的重点部分,排除与考试无关的内容,试卷中不要出现偏题、怪题,试卷内容要兼顾知识与能力两个方面.
3．难度
难度是指试题或试卷的难易程度,是试题或试卷考查学生知识和能力水平适合程度的指标.
1.试题的难度
数学试题一般分为三种形式:选择题、填空题和解答题.计算试题难度的方法有两种:
①选择题、填空题的难度计算公式为P=.(P为某试题的难度,R为做对该题的人数,N为参加考试的总人数.)
②解答题难度的简易计算公式为P=.(P为某试题的难度,为参加考试的学生对该题的平均得分,X为该题的满分数.)
从上述的计算公式可以知道,试题难度过大或过小,都不能区分学生的学习水平,所以掌握试题的难易程度。
2.试卷的难度
全卷难度计算公式为P=.(为考生的总平均分,w为全卷满分.)
通常对难度范围的划分如表1所示.
试卷难度应该根据考试的目的来选定,单元测验、期中考试、期末考试等检查性的考试,难度不宜过大,一般控制在为宜；初中毕业学业考试全卷难度一般为左右；对于选拔性考试,全卷平均难度在左右能够产生较好的选拔效果；而数学竞赛试卷,难度应控制在为宜.
因为试卷的难度值要在考试结束后才能统计得到,所以命题时必须对试卷做出比较准确的估计.一方面教师要钻研课程标准,精通教材；另一方面要了解学生的学习情况,只有这样才能编制出难度适当的试卷.
一般地,难度适当的试卷分数的分布应呈近似正态分布。.
4．区分度
区分度是旨试题或试卷对学生实际水平的区分程度或鉴别能力.区分度是反映学生掌握知识水平差异能力的指标.区分度高的试卷能对不同知识水平和能力的学生加以区分,使能力强的学生得高分,能力弱的学生得低分.如果水平高和水平低的学生得分相差不大或没有规律可循,那么这样的试卷的区分度就低.
试卷的区分度和难度有着密切的关系,区分度的提高主要是通过控制试题难度来实现的.如果试题太难,优生和差生都答不出来,就没有区分度可言；如果试卷太容易,优生和差生都能答出来,同样没有区分度.只有合适的难度才会有很好的区分度.实践证明,难度值为的试题具有最好的区分度.但在实际编制试卷时,不可能要求所有题目的难度值均为.一般说来,较难的试题对高水平的考生区分度高,较易的试题对低水平的考生区分度高,中等难度的试题对中等水平的老先生区分度高.所以,当我们要求考生的成绩呈正态分布时,试题难度与特别容易的试题较少,接近中等难度的试题较多,此时全卷难度接近,这样的试卷才具有较高的区分度.
篇六：例题难度分析模型
第３８卷第３期教学研究Ｖｏｌ??３８Ｎｏ??３２０１５年５月ＲｅｓｅａｒｃｈｉｎＴｅａｃｈｉｎｇＭａｙ２０１５—初中数学教材习题综合难度的国际比较研究——以中国、美国、新加坡教材中“三角形有关的角”为例徐玉庆１（１．酒泉市第四中学，甘肃酒泉７３５０００；２．
兰州市第十四中学武小鹏２，甘肃兰州７３００００）
难度
［，摘本文利用一个综合难度模型
要］ 数学教材中的习题在数学教学中发挥着重要的作用，选取中国、美国、新加坡三套初中数学教材中，习题的难度在一定程度上反映了教材的“三角形有关的角”的内容，从习题的背景、数学认知、运算、推理、知识综合五个因素进行分析，为我国初中数学教材编写提供参考。
［［关键词中图分类号］ 教材比较］ Ｇ４２４；．初中数学７
［文献标识码；国际比较］ ；综合难度模型Ａ
［文章编号；三角形］ １００５?４６３４（２０１５）０３?０１２１?０４０ 引言１ 样本选取综合难度模型是一种利用等级权重来测量和考虑到购买教材的便利性，故选取了人教版统计难度的方法，该方法在国际比较教育领域发教材［５］挥着重要作用。目前我国与之相关的研究成果、美国ＧｌｅｎｃｏｅＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ．Ｇｅｏｍｅｔｒｙ［６］和中，代表性的有鲍建生、史宁中等在初中数学教材Ｎｅｗ量分析基础上建立了课程难度模（Ａｃａｄｅｍｉｃ）Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ本文中的习题包括ＳｉｎｇａｐｏｒｅＣｏｕｎｔｓ［７］来进行比较研究ｆｏｒＳｅｃｏｎｄａｒｙ。２Ｎｏｒｍａｌ难度进行定：中国教材“三角形的有关型［１］角”中的“合作探究”、“练习”、“复习巩固”、“综合教材进行了综合难度分析、朱娅梅在鲍建生的基础上对中美初中数学［２］应用”、“拓广探索”等；美国教材中的例题（Ｅｘａｍ?宁中建立的“由探究、背景、运算、贾随军在鲍建生、推理和知识含量、史五个因素的基础上进行了微调，同时对中国与美ｐｌｅ）、国的数学教材中的习题进行了难度模型比较［３］（Ｃｏｎｃｅｐｔ活动Ｃｈｅｃｋ）、（Ａｃｔｉｖｉｔｙ引导练习）、证明（Ｇｕｉｄｅ（ＰｒｏｏｆＰｒａｃｔｉｃｅ）、）、概念检应用查本文在贾随军教授的基础上，对中国、美国、新加。（Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ）坡三国初中数学教材中的“三角形的有关角”的习ｔｈｅ为下节课做准备（ＧｅｔｔｉｎｇＲｅａｄｙｆｏｒ角”Ｎｅｘｔ中的Ｌｅｓｓｏｎ）“例题（等Ｅｘａｍｐｌｅ）”、“；新加坡教材练习“三角形有关的（Ｅｘｅｒｃｉｓｅ６Ｃ、题进行难度模型比较。首先，统计各因素上每个水平层次中的习题题量及百分比；其次，根据等级６Ｄ）”。国教材的习题最多从表１中统计的习题数量上可以看出，其次是人教社教材，接下来是，美权重利用下面的公式计算中、美、新教材在每个因新加坡教材，中国和新加坡教材差别不大。素上的加权平均值：表１ 样本教材及习题总数ｄｊ国别教材样本出版年代习题数量ｉ＝∑ｎｉｊｎ（∑ｎｉｊ＝ｎ，ｉ＝１，２，３，４，５，ｊ＝１，２，…）中国人民教育出版社：义务教育课程其中ｄｉ（ｉ＝１，２，３，４，５），分别为“数学认知”、标准实验教科书数学七年级下册２００４３３“美国素上的取值背景”、“运算；ｄ”、“推理”、“综合知识”五个难度因Ｇｌｅｎｃｏｅｉｊ为第ｉ个难度因素的第ｊ个水平权ＭｃＧｒａｗ?ＨｉｌｌＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ．２００４７３重（以水平分别取１，２，３，…）；ｎｉｊ则表示这组题目ＮｅｗＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓＣｏｍｐａｎｉｅｓＧｅｏｍｅｔｒｙ．ＴｈｅＣｏｕｎｔｓｆｏｒ中属于第ｉ个难度因素的第ｊ个水平的题目的个新加坡ＳｅｃｏｎｄａｒｙＳｉｎｇａｐｏｒｅ：２２００７３１数，其总和等于该组题目的总数ｎ［４］。ｃａｔｉｏｎＭａｒｓｈａｌｌＮｏｒｍａｌＣａｖｅｎｄｉｓｈ（ＡｃａｄｅｍｉｃＥｄｕ?）
［［收稿日期作者简介］ ］ ２０１５?０３?２１徐玉庆（１９８５
－），［男基金项目，甘肃武威人］ 甘肃省教育科学规划。中学二级教师，硕士研究生“十二五”课题，主要研究方向为课程教学论ＧＳ［２０１４］（ＧＨＢ１３６０）、比较研究。.com.cn.AllRightsReserved.
１２２教学研究２０１５２ 综合难度模型根据分析和计算得到表２的分析数据。表２ 三国数学教材习题综合难度数据分析难度等级题量百分比加权平均因素水平人教新加坡美国人教新加坡美国人教新加坡美国数学理解０１３０％３．２３％５．２６％认知运用２１１８４４６３．６４％５８．０６％７７．２０％分析１２１２１０３６．３６％３８．７１％１７．５４％２．３６２．３５２．１２背景无背景２９３１４０８７．８８％１００．００％７０．１８％有背景４０１７１２．１２％０．００％２９．８２％１．１２１．００１．３无运算２１６６．０６％３．２３％１０．５３％运算数值运算２３１７４４６９．７０％５４．８４％７７．１９％简单符号运算８１３７２４．２４％４１．９４％１２．２８％２．１８２．３９２．０２无推理０１３０％３．２３％５．２６％推理简单推理２７２７５２８１．８２％８７．１０％９１．２３％复杂推理６３２１８．１８％９．６８％３．５１％２．１８２．０６１．９８综合知识１２个１８３６３个以上个１０１９５１０２２１５４．５５％６１．２９％６３．１６％０３０．３０％１５．１５％３２．２６％６．４５％３６．８４％０％１．６１１．４５１．３７２．１ 数学认知因素水平的综合难度分析由表２可得，三种教材在“理解”因素上差异较小，“运用”因素水平的习题数据表明，人教社教材比美国教材高了１３％，美国教材比新加坡教材５％；高出约对于１９％，“分析人”教因素水平的习题社教材比新加，坡美国教材比人教材高出约教社教材低了１８％，美国教材比新加坡教材低了近２１％，人教社教材比新加坡教材低了近２％。美国教材“运用”因素水平上的习题所占比例很高，是由于美国教材注重概念、公理、定理的直接转化。而美国教材“分析”水平的习题比例偏低，是由于美国教材对每题的处理都“碎片化”，如图１（美图１ 美国教材习题国教材１８９页）所示，都是让把题目“碎片化”，将每道题目分解成几步，引导学生去完成，所涉及的定理都是单一的，然后让学生计算∠２和∠３等。相反，人教社教材对于习题的处理更加“整体化”、“综合化”，如图２（人教版８２页）所示，直接给出所有的条件，计算∠ＡＣＢ的度数。学生在解决问题的过程中将问题“碎片化”，从而建立解题策略，“分析”水平相对很高，新加坡教材的“分析”水平相对也很高，如图３（新加坡教材１８９页）［７］材和美国教材有着共同的特点。但是新加坡教理“低起点”、“碎片化”［６，７］。———对于题目的处图２ 人教版教材习题.com.cn.AllRightsReserved.
徐玉庆
武小鹏第３期初中数学教材习题综合难度的国际比较研究———以中国、美国、新加坡教材中“三角形有关的角”为例
１２３图３ 新加坡教材习题２．２ 背景因素的水平综合难度分析有背景的习题比例，美国教材比人教社教材高出约１８％，美国教材比新加坡教材高出约３０％，人教社教材比新加坡教材高约１２％。在统计过程中发现，新加坡教材没有一道题目有背景，全部习题都是纯粹的数值和符号运算。同属亚洲的人教社教材和新加坡教材“有背景”的习题很少出现；美国教材习题则有着丰富的生活背景［７］如何制作风筝（Ｈｏｗａｒｅｔｈｅａｎｇｌｅｓｏｆ，ｔｒｉａｎｇｌｅｓ有现实生活中ｍａｋｅｔｈｅｋｉｔｅｓ）、跳台滑雪（ｓｋｉｊｕｍｐｉｎｇ）、ｕｓｅｓ速滑ｔｏ（ｓｐｅｅｄ２．３ 运算因素的水平综合难度分析ｓｋａｔｉｎｇ）等。在运算水平上，三种教材的主要运算形式是“值运算数值运算”美国教材比人教社教材高约”、“无运算”习题的比例都很低［８］５％，比新加坡。“数教材高约１３％；而在“简单符号运算”中新加坡教材比人教社教材高约１３％，比美国教材高约２９％。２．４ 推理因素的水平的综合难度分析三种教材在“无推理”因素水平的习题所占比例并没有明显的差异［９］理的题目，属于“简单推理，人教社教材中没有无推”水平的习题相差不大，美国教材和新加坡教材简单运算的所占比例都很高；属于“复杂推理”水平的习题比例，人教社教材比美国教材高约１５％，比新加坡教材高约８％，新加坡教材比美国教材高约７％。从统计中发现，同属亚洲的人教社教材和新加坡教材对于习题的推理要求都高于美国教材，人教社教材对习题的推理水平是三种教材中最高的。２．５ 综合知识因素的水平综合难度分析在综合知识方面，对于“１个知识点”和“２个知识点”，三种教材的要求基本一致，但是，对于“３个及以上知识点”习题的要求不同，美国教材要比人教社教材低近１５％，但是，美国教材比新加坡教材高了近６％。由于美国教材强调题目的“碎片化”处理，所以对于“３个及以上的知识点”要求不是很高，题目相对较少。２．６ 各因素水平综合难度的比较前面通过五个难度因素对三种教材进行了详细比较，在此基础上利用综合难度模型综合难度值［１０］面的雷达图。通过对表（图４）。２中加权平均值的统计，得到下图４ 三种教材综合难度的比较如图４所示，在认知水平方面，人教社教材和新加坡教材占据前两位；在背景方面美国教材最高，其次是人教社教材，新加坡教材第三；而且从图中发现三个五边形在背景方面都有向内倾的趋势，说明在教材习题的设计上关于实际背景的题目偏少；运算水平新加坡教材占据第一的位置；推理方面人教社教材占据第一，其次是新加坡教材，美国教材次之；在知识含量方面，人教社教材基本上每个题目都包含２个知识点，３个及以上的知识点习题也是远高于美国教材和新加坡教材的。３ 启示首先，中美新三国初中数学对于学生在“认知”、“运算”、“推理”中的能力要求都很高；而中国和新加坡教材对学生的综合推理能力要求相对较高；美国教材处理习题更加注重层次化、碎片化，即将一个综合问题分解成若干小问题，这和目前国内通用的导学案有相同之处，意在引导学生独立解决问题。同样，新加坡教材中的习题也有这个特点，将一个复杂问题分解成几个小问题，而且美国和新加坡教材在题目的设计结构上有共同之处；人教社教材更注重推理的综合化、模块化，对学生综合能力的要求相对较高。所以，美国和.com.cn.AllRightsReserved.
１２４教学研究２０１５新加坡教材对于习题的处理方面值得中国教材借鉴。参考文献其次，在背景因素水平方面，人教社教材和新加坡教材中含有背景的题目要远远低于美国教１王建磐Ｊ．全球教育展望
鲍建生．高中数学教材中例题的综合难度的国际比较材，美国教材对于题目的设计贴近于生活，包含了２朱娅梅．中美初中数学教材综合难度的比较研究
２０１４８
１０１?１１０．２０１３１０．Ｊ．数学教学
生活中的许多场景，呈现方式也很丰富［１０］教材习题所含的背景很少，且没有很好地和学生；人教社３贾随军的实际生活相联系，好多题目都是纯粹的推理计比较——
—吕世虎以??与
三李保臻角形．有中国与美国初中数学教材习题的个案关的角
为例
Ｊ．数学通报
２０１４算；新加坡教材完全是单一的数值符号运算，没有一道题目有实际背景；所以，在教材习题的设计过４９蔡庆有
１７?２３．学报
２０１３
邝孔秀５
９９?１０３．宋乃庆．小学数学教材难度模型研究Ｊ．教育程中，要更加注重教材和现实生活的联系，让学生５课程教材研究所中学数学课程教材研究开放中心感受到知识来源于生活，同时服务于生活，让学生程标准试验教课数·数学·七年级
下册
Ｍ．北京．义务教育课
人民教育学习有用的知识。出版社
２００４７８?８３．最后，同属亚洲的人教社教材和新加坡教材６ＣａｒｏｌＭ．ＴｈｅＢＪｅｒｒｙＭｃＧｒａｗＣ－ＣａｒｏｌＨｉｌｌＣｏｍｐａｎｉｅｓＭｅｔａｌ．Ｇｌｅｎｃｏｅ２００４１８４?１９１．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ．Ｇｅｏｍｅｔｒｙ在“运算”、“推理”方面有共同之处，更加强调学生解决问题的综合能力，更加注重学生的运算推７ＮｅｗＳｉｎｇａｐｏｒｅＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓＭａｒｓｈａｌｌＣｏｕｎｔｓＣａｖｅｎｄｉｓｈｆｏｒＳｅｃｏｎｄａｒｙＥｄｕｃａｔｉｏｎ２ＮｏｒｍａｌＡｃａｄｅｍｉｃ２００７１８４?１８９．Ｍ．理能力；美国教材则注重问题的引导及问题的生８张维忠活化，每道题目起点都比较低，学生可以利用简单教育学报
黄丽虹
２００９．新教材４
６１?６４．??三角形
课程难度的对比分析Ｊ．数学的计算和推理就能解决，对于复杂的题目也是同９孙露样的处理方式，新加坡教材的大部分题目起点也??图形与几何．初中数学形成性测试卷与课程标准的一致性分析
领域为例Ｄ．黄山
黄山学院
２０１２．———以比较低，易于学生尝试去解决，这些值得我国在编１０北师范大学张婷．高中数列不同版本教科书内容的比较研究
２００９．Ｄ．长春
东写初中数学教材时去借鉴。ＣｏｍｐａｒｉｓｏｎＴｈｅａｎｇｌｅｏｎｃｏｍｐｏｓｉｔｅｏｆｔｒｉａｎｇｌｅｆｒｏｍｄｉｆｆｉｃｕｌｔｉｅｓＣｈｉｎａｔｈｅｏｆＵｎｉｔｅｄｐｒｏｂｌｅｍＳｔａｔｅｓｓｅｔｓａｎｄｉｎＳｉｎｇａｐｏｒｅｊｕｎｉｏｒｓｃｈｏｏｌＸＵＹｕ?ｑｉｎｇ１
ＷＵＸｉａｏ?ｐｅｎｇ２
１．ＴｈｅＪｕｎｉｏｒＦｏｒｔｈＳｃｈｏｏｌｏｆＪｉｕｑｕａｎＪｉｕｑｕａｎＧａｎｓｕ７３５０００
Ｃｈｉｎａ２．ＬａｎｚｈｏｕＦｏｕｒｔｅｅｎｔｈＨｉｇｈＳｃｈｏｏｌＬａｎｚｈｏｕＧａｎｓｕ７３００００
Ｃｈｉｎａａｎｄ
ｔｈｅＡｂｓｔｒａｃｔｄｉｆｆｉｃｕｌｔｙＴｈｅｏｆｐｒｏｂｌｅｍｐｒｏｂｌｅｍｓｅｔｓｓｅｔｓｉｎａｆｆｅｃｔｓｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｔｈｅｄｉｆｆｉｃｕｌｔｙｔｅｘｔｂｏｏｋｓｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｐｌａｙａｍｕｌｔｉｔｅｘｔｂｏｏｋｓ．－ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌＷｉｔｈｒｏｌｅｔｈｒｅｅｉｎｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｓｅｔｓｏｆｊｕｎｉｏｒｔｅａｃｈｉｎｇｓｃｈｏｏｌａｎｄｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｌｅａｒｎｉｎｇｔｅｘｔｂｏｏｋｓｆｒｏｍＣｈｉｎａＳｉｎｇａｐｏｒｅａｎｄｔｈｅＵｎｉｔｅｄＳｔａｔｅｓａｂｏｕｔｔｈｅａｎｇｌｅｏｆｔｒｉａｎｇｌｅｔｈｅｐｒｅｓｅｎｔｐａｐｅｒｕｓｅｓａｃｏｍｐｏｓｉｔｅｄｉｆｆｉｃｕｌｔｙｍｏｄｅｌｔｏａｎａｌｙｚｅｔｈｅｄｉｆｆｉｃｕｌｔｙｌｅｖｅｌｓｏｆｐｒｏｂｌｅｍｓｅｔｓｉｎｔｈｅｔｅｘｔｂｏｏｋｓｗｉｔｈｒｅｓｐｅｃｔｔｏ５ｆａｃｔｏｒｓ—ｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｃｏｎｔｅｘｔｔｈｅｍａｔｈｅ?ｍａｔｉｃａｌｃｏｇｎｉｔｉｏｎｔｈｅｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙｔｈｅｒｅａｓｏｎｉｎｇｄｉｆｆｉｃｕｌｔｙａｎｄｔｈｅｔｏｐｉｃｃｏｖｅｒａｇｅｏｆｔｈｅａｎｇｌｅｏｆｔｒｉａｎｇｌｅ．Ｉｔｍａｙｐｒｏ?ｖｉｄｅｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓｆｏｒｔｈｅｃｏｍｐｉｌａｔｉｏｎｏｆｊｕｎｉｏｒｓｃｈｏｏｌｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｔｅｘｔｂｏｏｋｓｉｎｏｕｒｃｏｕｎｔｒｙ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓｔｅｘｔｂｏｏｋｓｃｏｍｐａｒｅｊｕｎｉｏｒｓｃｈｏｏｌｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅｄｉｆｆｉｃｕｌｔｙｍｏｄｅｌｔｒｉａｎｇｌｅ.com.cn.AllRightsReserved.
篇七：例题难度分析模型
三角形五大模型
【专题知识点概述】
本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识，旨在提高学生对该部分知识的综合运用能力。
重点模型重温
一、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
如右图S1:S2?a:b
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图S△ACD反之，如果S△ACD?S△BCD，则可知直线s1aAs2bB?S△BCD；
CD平行于CD．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
二、等分点结论（“鸟头定理”）
如图，三角形AED占三角形ABC面积的211×=
3461三、任意四边形中的比例关系
（“蝴蝶定理”）
①S1︰S2=S4︰S3或者S1×S3=S2×S4②
②AO︰OC=（S1+S2）︰（S4+S3）
As2Bas1s2Ds1OS3CS4梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）
①S1︰S3=a2︰b2②S1︰S3︰S2︰S4=a2︰b2︰ab︰ab;③S的对应份数为（a+b）2S4S3b模型四：相似三角形性质
如何判断相似
(1)相似的基本概念：
两个三角形对应边城比例，对应角相等。
(2)判断相似的方法：
①两个三角形若有两个角对应相等则这两个三角形相似；
②两个三角形若有两条边对应成比例，且这两组对应边所夹的角相等则两个三角形相似。
ahbBhacCHbCcBHAA①abch???;ABCH②
S1︰S2=a2︰A2模型五：燕尾定理
S△ABG：S△AGC＝S△BGE：S△GEC＝BE：EC；S△BGA：S△BGC＝S△AGF：S△GFC＝AF：FC；
S△AGC：S△BCG＝S△ADG：S△DGB＝AD：DB；
【重点难点解析】
1.
模型一与其他知识混杂的各种复杂变形
2.
在纷繁复杂的图形中如何辨识“鸟头”
【竞赛考点挖掘】
1.三角形面积等高成比2.“鸟头定理”3.“蝴蝶定理”
【习题精讲】
【例1】（难度等级
※）
如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积.
EBGCAHDF【例2】（难度等级
※）
如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是____平方厘米．
【例3】（难度等级
※）
如图，在三角形ABC中，BC=8厘米，AD=6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？
AFAEDBCDBC【例4】（难度等级
※※※）
如图，在面积为1的三角形ABC中，DC=3BD,F是AD的中点，延长CF交AB边于E,求三角形AEF和三角形CDF的面积之和。
E【例5】（难度等级
※※）
如右图BE=
BC，CD=AC，那么三角形AED的面积是三角形ABC面积的几分之几？
【例6】（难度等级
※）
如图所示，四边形ABCD与AEGF都是平行四边形，请你证A明它们的面积相等．
BEFFABGCD
DEC4【例7】（难度等级
※）
如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB=24厘米，BC=8厘米，求三角形ZCY的面积．
DZAYCB【例8】（难度等级
※※）
如图，正方形ABCD的边长为4厘米，EF和BC平行，ECH的面积是7平方厘米，求EG的长。
3223acdxb12【例10】（难度等级
※※）
如图已知四边形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD的面积为多少平方厘米?
【例11】（难度等级
※※）
如图，一个长方形被切成8块，其中三块的面积分别为12，23，32，则图中阴影部分的面积为?
AEHGDFBC5【例12】（难度等级
※※※）
如图，平行四边形ABCD周长为75厘米，以BC为底时高是14厘米；以CD为底时高是16厘米。求平行四边形ABCD的面积。
【例13】（难度等级
※※※）
如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.
BEFADC【例14】（难度等级
※※※）
如图，三角形ABC被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD=DC=4，BE=3，AE=6，甲部分面积是乙部分面积的几分之几？
FBECAD
【例15】（难度等级
※）
某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？
【例16】（难度等级
※※）
图中是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少平方厘米?
【作业】
1.如图，三角形ABC中，DC?2BD，CE?3AE，三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形ABC的面积是多少？
2.如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49．那么图中阴影部分的面积是多少？
3.右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积。
4.
如图，平行四边形ABCD，BE=AB，CF=2CB，GD=3DC，HA=4AD，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比.
5.
如图，在△ABC中，延长BD=AB，CE=BDCAEHAGDFCBE1BC，F是AC的中点，2AFBDCE若△ABC的面积是2，则△DEF的面积是多少？
【例1】（难度等级
※）
如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积.【分析与解】
如右图，连接BH、HC，由E、F、G分别为AB、BC、CD三边的中点有AE=EB、BF=FC、CG=CD.因此S1=S2，S3=S4，S5=S6,而阴影部分面积=S2+S3+S6，空白部分面积=S1+S4+S5.所以阴影部分面积与空白部分面积相等，均为长方形的一半，即阴影部分面积为28.
【例2】（难度等级
※）
如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是____平方厘米．
【分析与解】
上排4个阴影三角形的高都等于BF，底边之和恰好为AB，他们的1BF?AB；下排4个三角形的高都等于CF，底边之和恰好为CD，他们的面积
211之和为CF?CD?CF?AB.所以阴影部分面积为:221111BF?AB?CF?AB?BC?AB??3?4?6(平方厘米).2222面积之和为
【例3】（难度等级
※）
如图，在三角形ABC中，BC=8厘米，AD=6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？
【分析与解】
AFED1首先，S?ABC?BC?AD?24平方厘米，而F是AC中点，所2111以S?ABF?S?ABC.又E是AB中点，所以S?EBF?S?ABF?S?ABC?6平方厘米.224BC【例4】（难度等级
※※※）
如图，在面积为1的三角形ABC中，DC=3BD,F是AD的中点，延长CF交AB边于E,求三角形AEF和三角形CDF的面积之和。
【分析与解】
连接DE,于是三角形AEF的面积=三角形EFD的面积，所求被转化为三角形EDC的面积。因为F是AD中点，所以三角形AEC的面积和三角形EDC的面积相等，设S?BDE为1份,则S?AEC=S?EDC为3份
因此S?ABC一共7份，每份面积为EFA13所以S?EDC占3份为。
77BDC
【例5】（难度等级
※※）
如右图BE=BC，CD=AC，那么三角形AED的面积是三角形ABC面积的几分之几？
【分析与解】
上图中，三角形AEC与三角形ABC的高相等，而BE=BC，于是EC=BC，ASAEC2?
SABC3BEADCA1又由于三角形AED与三角形AEC的高相等，而CD=AC,于是4AD=S33AC,AED?
SAEC44DBDCBEEC所以，三角形AED的面积=形ABC的面积=
332×三角形AEC的面积=××三角4431×三角形ABC的面积
2【例6】（难度等级
※）
如图所示，四边形ABCD与AEGF都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．
【分析与解】
连接BE
显然有S?ABE?11SABCD，S?ABE?SAEGF
22所以SABCD?SAEGF
【例7】（难度等级
※）
如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB=24厘米，BC=8厘米，求三角形ZCY的面积．
【分析与解】
DZAYCSABCD?AB?BC?192平方厘米
因为Y是BD中点，Z是DY中点，所以
S?ZCY
111111?(S?CDB)?[(SABCD)]?SABCD?24222228B【例8】（难度等级
※※）
如图，正方形ABCD的边长为4厘米，EF和BC平行，ECH的面积是7平方厘米，求EG的长。
【分析与解】
11×EG×AE+×EG×EB=7平方厘米
22即
1×EG×AB=7平方厘米；EG=3.5厘米
2AEHGDF【例10】（难度等级
※※）
如图已知四边形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD的面积为多少平方厘米?【分析与解】
连接CF由ABCD和CEFG都是正方形有?BDC??DCF?45?
所以BDCF.由平行线间距离相等知三角形BDF和三角形BDC同底等高
所以S?BFD?S?BCD?
BC1SABCD?5211【例11】（难度等级
※※）
如图，一个长方形被切成8块，其中三块的面积分别为12，23，32，则图中阴影部分的面积为?【分析与解】
如右图，已知
a+b+x=23+a+32+12+b所以x=23+32+12x=67.
【例12】（难度等级
※※※）
d如图，平行四边形ABCD周长为75厘米，以BC为底时高是14厘米；以CD为底时高是16厘米。求平行四边形ABCD的面积。
【分析与解】
BC×14=CD×16，BC：CD=16：14，BC+CD=23a32cxb12757516，BC=×=202216?14ABCD面积=14×20=280（平方厘米）
AD【例13】（难度等级
※※※）
如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.【分析与解】
因为△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，所以四边形AECF的面积与△ABE、△ADF的面积都等于正方形面积的三分之一，也就是：
S四边形AECF?S△ABE?S△ADF?AFBECDF1?6?6?123BEC在△ABE中，因为AB＝6.所以BE＝4，同理DF＝4，因此CE＝CF＝2，∴△ECF的面积为2×2÷2＝2．
所以S△AEF?S四边形AECF?S△ECF=12?2=10（平方厘米）．
12【例14】（难度等级
※※※）
如图，三角形ABC被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD=DC=4，BE=3，AE=6，甲部分面积是乙部分面积的几分之几？
【分析与解】
由BD?DCBD=DC有BD?1BC；由BE?3，AE?6，有211115BE?AB.由鸟头定理有S甲???S?ABC?S?ABC，S乙?S?ABC?S甲?S?ABC，故332661S甲?S乙.
【例15】（难度等级
※）
某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？
【分析与解】
由任意四边形的蝴蝶定理有S?AOB?S?COD?S?AOD?S?BOC
所以S?AOD?1?3?2?1.5平方千米，故公园总面积为
1?3?2?1.5?7.5平方千米，人工湖面积为7.5?6.92?0.58平方千米
【例16】（难度等级
※※）
图中是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少平方厘米?
【分析与解】
如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接BG．
设△AEG的面积为x，显然△EBG、△BFG、△FCG的面积均为x，则△ABF的面积为3x，1100，那么正方形内空白部分的面积为S?ABF??20?10?100即x?32400.4x?313所以原题中阴影部分面积为20?20?
400800(平方厘米)．
?3314【作业】
1.如图，三角形ABC中，DC?2BD，CE?3AE，三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形ABC的面积是多少？
【答案】122.如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49．那么图中阴影部分的面积是多少？
【答案】93.右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积。
【答案】4.
如图，平行四边形ABCD，BE=AB，CF=2CB，GD=3DC，HA=4AD，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比.【答案】1：16.
如图，在△ABC中，延长BD=AB，CE=则△DEF的面积是多少？
【答案】3.5BDCAEHAGDFCBE1BC，F是AC的中点，若△ABC的面积是2，2AFBDCE15