现代控制理论试卷答案3套

时间：2022-07-11 08:20:09 浏览次数：

　现代控制理论

　试卷

　1 1

　题

　号

　一

　二

　三

　四

　五

　六

　七

　八

　总

　分

　得

　分

　一、(10 分)判断以下结论，若是正确的，则在括号里打√，反之打× (1)

　用独立变量描述的系统状态向量的维数是唯一。（

　）

　(2)

　线性定常系统经过非奇异线性变换后，系统的能观性不变。（

　）

　(3)

　若一个系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的。（

　）

　(4)

　状态反馈不改变被控系统的能控性和能观测性。（

　）

　(5)

　通过全维状态观测器引入状态反馈来任意配置系统的闭环极点时，要求系统必须同时能控和能观的。（

　）

　二、（12 分）已知系统 1 0 0 10 1 0 , (0) 00 1 2 1x x x                ，求 ( ) x t .

　三、(12 分) 考虑由下式确定的系统：2s+2(s)=4 3Ws s  ，求其状态空间实现的能控标准型和对角线标准型。

　四、（9 分）已知系统  2 1 0 0 2 0 , 0 1 10 0 3x x y       ，判定该系统是否完全能观？

　五、(17 分) 判断下列系统的能控性、能观性；叙述李亚普诺夫稳定性的充要条件并分析下面系统的稳定性.   x yu x x1 1103 21 1 

　六、（17 分）已知子系统 1

　 1 1 11 2 10 1 1x x u          ，  1 11 0 y x 

　2

　  2 2 2 2 21 1 0, 0 10 1 1x x u y x            求出串联后系统的状态模型和传递函数.

　七、（15 分）确定使系统2 0 0 10 2 0 2 40 0 2 1ax x ub                   为完全能控时，待定参数的取值范围。

　八、（8 分）已知非线性系统     2 1 1 22 1 1sin 2 x a x xx x x 试求系统的平衡点，并确定出可以保证系统大范围渐近稳定的1a 的范围。

　现代控制理论

　试卷

　1 1 参考答案

　题

　号

　一

　二

　三

　四

　五

　六

　七

　八

　总

　分

　得

　分

　一、(10 分)判断以下结论，若是正确的，则在括号里打√，反之打× (1)

　用独立变量描述的系统状态向量的维数是唯一。（√）

　(2)

　线性定常系统经过非奇异线性变换后，系统的能观性不变。（√）

　(3)

　若一个系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的。（×）

　(4)

　状态反馈不改变被控系统的能控性和能观测性。（×）

　(5)

　通过全维状态观测器引入状态反馈来任意配置系统的闭环极点时，要求系统必须同时能控和能观的。（√）

　二、（12 分）已知系统 1 0 0 10 1 0 , (0) 00 1 2 1x x x                ，求 ( ) x t

　解

　121 0 00 1 00 1 2A OAO A          1 21 01,1 2A A     1200AtAtA teee    1At te e  …………………………..……….（2 分）

　1121 0( )1 2ssI As       1011 1 12 1 2ss s s         ………..……….（3 分）

　   21122 20tA tt t tee L sI Ae e e     ………..……….（2 分）

　 112 20 00 00tAt tt t tee L sI A ee e e         ……….……….（3 分）

　( ) (0)Atx t e x 

　2 2 20 0 10 0 0 00 1t ttt t t te eee e e e                     ……………..……….（2 分）

　三、(12 分) 考虑由下式确定的系统：2s+2(s)=4 3Ws s  ，求其状态空间实现的能控标准型和对角线标准型。

　解：

　能控标准型

　 0 1 03 4 12 1x x uy x           

　 (5 分) 对角线标准型 2s+2 1 1 1(s)= ( )4 3 2 1 3Ws s s s     

　 (2 分)

　 1 0 10 3 10 . 5 0 . 5x x uy x           

　 (5 分)

　四、（9 分）已知系统  2 1 0 0 2 0 , 0 1 10 0 3x x y       ，判定该系统是否完全能观？

　解

　    3 2 03 0 00 2 00 1 2 1 1 0   CA ………..……….（2 分）

　    9 4 03 0 00 2 00 1 2 3 2 02  CA ……..……….（2 分）

　 9 4 03 2 01 1 0 2CACACU O ………………..……….（2 分）

　rank 2OU n   ，所以该系统不完全能观……..….…….（3 分）

　五、(17 分) 判断下列系统的能控性、能观性；叙述李亚普诺夫稳定性的充要条件并分析下面系统的稳定性.   x yu x x1 1103 21 1  解：能控性矩阵为  3 21 0AB B ，   2  AB B rank ，所以系统完全能控. (4分)

　能观性矩阵为2 11 1CAC， 2 CACrank ，所以系统完全能观.(4 分) 李亚普诺夫稳定性的充要条件：对任意给定的对称正定矩阵 Q，都存在一个对称正定矩阵 P，使得 Q PA P A T    .(4 分) 由李亚普诺夫方程 Q PA P A T    ，设1 00 1Q 和22 1212 11p pp pP ，由3 21 1A ，解得83858547P ，由 0 ) det( , 04711   P p ，知 P 正定，所以系统大范围渐进稳定.(5 分) 六、（17 分）已知子系统 1

　 1 1 11 2 10 1 1x x u          ，  1 11 0 y x 

　2

　  2 2 2 2 21 1 0, 0 10 1 1x x u y x            求出串联后系统的状态模型和传递函数.

　解组合系统状态空间表达式为  1 2 0 0 10 1 0 0 1, 0 0 0 10 0 1 1 01 0 0 1 0x x u y x                     

　（8 分）

　组合系统传递函数为 2 1( ) ( ) ( ) G s G s G s 

　（4 分）

　21 3 31 ( 1)( 1) ( 1)( 1)s ss s s s s       

　（5 分）

　七、（15 分）确定使系统2 0 0 10 2 0 2 40 0 2 1ax x ub                   为完全能控时，待定参数的

　取值范围。

　解：

　 22[ , , ]2 2 4 44 8 , 8 162 2 4 4cQ B AB A Ba aAB A Bb b                      

　 (7 分)

　1[2,4,2] 21ca arankQ rankb b  ，

　 (5 分)

　表明无论 a,b 取何值，系统都是不能控的。

　(3 分)

　解：显然原点为一个平衡点，根据克拉索夫斯基方法，可知     1 11111 12 cos 2 1cos 2 1 21cos 2 1cos 21 1a xxaxa xF

　因为 0 2   ；所以，当 0 ) cos 2 1 ( 42 cos 2 1cos 2 1 221 11 11     x aa xx 时，该系统在原点大范围渐近稳定。解上述不等式知，491 a 时，不等式恒成立。即491 a时，系统在原点大范围渐近稳定。

　现代控制理论

　试卷

　2 2

　题

　号

　一

　二

　三

　四

　五

　六

　七

　八

　总

　分

　得

　分

　一、(10 分) 判断以下结论，若是正确的，则在括号里打√，反之打× (1)

　如果从高阶微分方程或传递函数变换为状态方程, 则状态方程非唯一。（

　）

　(2)

　对一个给定的状态空间模型，若它是输出能控的，则也是状态能控的。

　（

　）

　(3)

　若一个系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的。（

　）

　(4)

　状态反馈不改变系统的能观性。（

　）

　(5)

　反馈控制可改变系统的稳定性、动态性能。（

　）

　二、(12 分) 线性连续系统 u x x 103 21 0

　 ), ( 1 ) ( , 0 ) 0 ( t t u x  

　试求系统响应 ) (t x .

　三、(12 分) 考虑由下式确定的系统：23 2(s)=3 3s sWs s s  ，求其状态空间实现的能控标准型和对角线标准型。

　四、（9 分）已知系统  3 1 0 0 3 0 , 0 1 20 0 1x x y       ，判定该系统是否完全能观？

　五、(17 分) 判断下列系统的能控性、能观性；叙述李亚普诺夫稳定性的充要条件并分析下面系统的稳定性.  1 1 0 1 0 11 1x x uy x          

　六、（17 分）已知子系统 1

　 1 1 11 2 10 1 1x x u          ，  1 11 0 y x 

　2

　  2 2 2 2 21 1 0, 0 10 1 1x x u y x            求出并联后系统的状态模型和传递函数.

　七、（15 分）设系统的传递函数为10( )( 1)( 2) G ss s s ，设计状态反馈控制器，使闭环系统的极点为 2, 1    j 。

　八、（8 分）已知系统状态模型为

　  x yu x x1 1101 20 1   试求其传递函数。

　现代控制理论

　试卷

　2 2 参考答案

　题

　号

　一

　二

　三

　四

　五

　六

　七

　八

　九

　总

　分

　得

　分

　一、(10 分) 判断以下结论，若是正确的，则在括号里打√，反之打× (1)

　如果从高阶微分方程或传递函数变换为状态方程, 则状态方程非唯一。（√）

　(2)

　对一个给定的状态空间模型，若它是输出能控的，则也是状态能控的。

　（√）

　(3)

　若一个系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的。（×）

　(4)

　状态反馈不改变系统的能观性。（×）

　(5)

　反馈控制可改变系统的稳定性、动态性能。（√）

　二、(12 分) 线性连续系统 u x x 103 21 0

　 ), ( 1 ) ( , 0 ) 0 ( t t u x  

　试求系统响应 ) (t x . 解：           t t t tt t t tAte e e ee e e ee A2 22 22 2 223 21 0得，由（8 分）

　由

　， ), ( 1 ) ( , 0 ) 0 ( t t u x  

　得    t tt te ee et x222) ( （4 分）

　三、(12 分) 考虑由下式确定的系统：23 2(s)=3 3s sWs s s  ，求其状态空间实现的能控标准型和对角线标准型。

　解：

　能控标准型

　   x yu x x1 1 01003 1 31 0 00 1 0  (4 分) 对角线标准型

　 23 20 0.25 0.75(s)=3 3 1 1 3s sWs s s s s s       （4 分）

　x yu x x434101113 0 00 1 00 0 1

　(4 分) 四、（9 分）已知系统  3 1 0 0 3 0 , 0 1 20 0 1x x y       ，判定该系统是否完全能观？

　解

　   3 1 00 1 2 0 3 0 0 3 20 0 1CA        ………..……….（2 分）

　 d Bu e x e t xtt A At) ( ) (0) (0  

　   23 1 00 3 2 0 3 0 0 9 20 0 1CA        ……..……….（2 分）

　20 1 2 0 3 20 9 2OCU CACA                 ………………..……….（2 分）

　rank 2OU n   ，所以该系统不完全能观……..….…….（3 分）

　五、(17 分) 判断下列系统的能控性、能观性；叙述李亚普诺夫稳定性的充要条件并分析下面系统的稳定性.  1 1 0 1 0 11 1x x uy x           解：能控性矩阵为  0 11 0B AB   ，   2  AB B rank ，所以系统完全能控. (5 分)

　能观性矩阵为1 12 1CCA         ， 2 CACrank ，所以系统完全能观.(5 分) 李亚普诺夫稳定性的充要条件：对任意给定的对称正定矩阵 Q，都存在一个对称正定矩阵 P，使得 Q PA P A T    .(2 分) 由李亚普诺夫方程 Q PA P A T    ，设1 00 1Q 和22 1212 11p pp pP ，由1 11 0A   ，11 12 11 12 2111 21 22 12 212( ) 1 00 1p p p p pp p p p p                 ，不存在对称正定 P 矩阵，所以系统李亚普诺夫不稳定性定.(5 分) 六、（17 分）已知子系统 1

　 1 1 11 2 10 1 1x x u          ，  1 11 0 y x 

　2

　  2 2 2 2 21 1 0, 0 10 1 1x x u y x            求出并联后系统的状态模型和传递函数.

　解组合系统状态空间表达式为                       1 2 0 0 10 1 0 0 1, 1 0 0 10 0 1 1 00 0 0 1 1x x u y x

　（8 分）

　组合系统传递函数为  2 1( ) ( ) ( ) G s G s G s

　（4 分）

　       1 3 2( 2)1 ( 1)( 1) ( 1)( 1)s ss s s s s

　（5 分）

　七、（15 分）设系统的传递函数为10( )( 1)( 2) G ss s s ，设计状态反馈控制器，使闭环系统的极点为 2, 1    j 。

　解：依据已知条件，可求系统能控型状态方程:

　设状态反馈控制器矩阵为1 2 3[ , , ] F f f f 

　，则引入状态反馈后系统的系数矩阵为：

　对应的特征方程为：

　依据题意，期望系统的特征方程与反馈后获得的状态方程等价，则

　求得 [4,4,1] F 

　八、（8 分）已知系统状态模型为

　  x yu x x1 1101 20 1   试求其传递函数。

　解：   11) 1 )( 1 (2011) (1s s ssA sI

　（5 分）

　传递函数11) (1 sB A sI C

　（3 分）

　现代控制理论

　试卷

　3 3

　题

　号

　一

　二

　三

　四

　五

　六

　七

　八

　总

　分

　得

　分

　一、(10 分) 判断以下结论，若是正确的，则在括号里打√，反之打× (1)

　线性系统经线性非奇异变换后状态能控性不变。（）

　(2)

　对于非线性系统，只能分析某一平衡状态的稳定性，不能笼统的谈稳定性。（

　）

　(3)

　讨论系统的能观测性时，不仅需要考虑系统的自由运动，还必须考虑其输入控制作用才行。（

　）

　(4)

　对于定常系统，状态转移矩阵等价于矩阵指数。（

　）

　(5)

　反馈控制可改变系统的稳定性、动态性能。（

　）

　二、（10 分）已知高阶微分方程3 8 5 y y y u   ，试求系统的状态方程和输出方程.

　三、(13 分) 已知连续时间线性时不变系统 x Ax Buy Cx Du   

　试证明系统的传递函数为1( ) ( ) G s C sI A B D   .

　四、（10 分）已知系统状态方程如下， xd cyubaxxxxxx0 0 00001 22 0 00 1 00 1 1321321，

　试判断系统的状态能控性和能观测性，并分析系统中 a,b,c,d 的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何？

　五、(15 分) 叙述李亚普诺夫稳定性的充要条件，利用此条件分析系统x x3 21 1的稳定性，此外从特征根角度判断系统的稳定性，分析两者结果一致否.

　六、（17 分）已知子系统 1

　 1 1 11 2 10 1 1x x u          ，  1 11 0 y x 

　2

　  2 2 2 2 21 1 0, 0 10 1 1x x u y x            求出串联后系统的状态模型和传递函数.

　七、（12 分）已知系统 Ax x   的状态转移矩阵为

　试求系统矩阵 A.

　八、（13 分）已知系统的状态空间表达式为  2 1 11 1 21 0uy             x xx 试求使状态反馈系统具有极点为 1 和 2 的状态反馈阵 K.

　现代控制理论

　试卷

　3 3 参考答案

　题

　号

　一

　二

　三

　四

　五

　六

　七

　八

　总

　分

　得

　分

　一、(10 分) 判断以下结论，若是正确的，则在括号里打√，反之打× (1)

　线性系统经线性非奇异变换后状态能控性不变。（√）

　(2)

　对于非线性系统，只能分析某一平衡状态的稳定性，不能笼统的谈稳定性。（√）

　(3)

　讨论系统的能观测性时，不仅需要考虑系统的自由运动，还必须考虑其输入控制作用才行。（×）

　(4)

　对于定常系统，状态转移矩阵等价于矩阵指数。（×）

　(5)

　反馈控制可改变系统的稳定性、动态性能。（√）

　二、（10 分）已知高阶微分方程3 8 5 y y y u   ，试求系统的状态方程和输出方程.

　解：选取状态变量1x y  ，2x y  ，3x y  ，可得

　1 22 33 1 318 3 5x xx xx x x uy x   

　（5 分）

　写成 0 1 0 00 0 1 08 0 3 5x x u                  

　（3 分）

　  1 0 0 y x 

　（2 分）

　三、(13 分) 已知连续时间线性时不变系统 x Ax Buy Cx Du   

　试证明系统的传递函数为1( ) ( ) G s C sI A B D   . 证明：

　：

　依据传递函数的定义，在零初始条件下，对状态方程两端同时进行拉氏变换有：1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sX s AX s BU s X s sI A BU s    

　（5 分）

　对输出方程两端同时进行拉氏变换有 ( ) ( ) ( ) Y s CX s DU s  

　（3 分）

　消去中间变量 ( ) X s

　1( ) ( ) G s C sI A B D   

　（5 分）

　四、（10 分）已知系统状态方程如下，

　xd cyubaxxxxxx0 0 00001 22 0 00 1 00 1 1321321，试判断系统的状态能控性和能观测性，并分析系统中 a,b,c,d 的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何？解：可见，A 为约旦标准形。

　要使系统能控，考系统矩阵 A 与控制矩阵 B 的对应关系，要求 B 中相对于约旦块的最后一行元素不能为 0，故有 0 , 0   b a

　。(5 分) 要使系统能观，考虑系统阵 A 与输出阵 C 的对应关系，则 C 中对应于约旦块的第一列元素不全为 0，故有 0 , 0   d c 。（5 分）

　解：李亚普诺夫稳定性的充要条件：对任意给定的对称正定矩阵 Q，都存在一个对称正定矩阵 P，使得 Q PA P A T    .(5 分) 由李亚普诺夫方程 Q PA P A T    ，设1 00 1Q 和22 1212 11p pp pP ，由3 21 1A ，解得83858547P ，由 0 ) det( , 04711   P p ，知 P 正定，所以系统大范围渐进稳定.(7 分) 求得系统的特征方程为24 1 0     

　特征根为：

　2 3 0   

　（3 分）

　可知系统稳定，两种分析结果的稳定性结论一致。

　（2 分）

　六、（17 分）已知子系统 1

　 1 1 11 2 10 1 1x x u          ，  1 11 0 y x 

　2

　  2 2 2 2 21 1 0, 0 10 1 1x x u y x            求出串联后系统的状态模型和传递函数.

　解组合系统状态空间表达式为                         1 2 0 1 10 1 0 1 1, 1 0 0 00 0 1 1 01 0 0 1 0x x u y x

　（10 分）

　组合系统传递函数为  11 2 1( ) ( ) ( ) G s I G s G s

　（2 分）

　 23 212ss s

　（5 分）

　七、（12 分）已知系统 Ax x   的状态转移矩阵为

　试求系统矩阵 A. 解：依据状态转移矩阵的特性，在 t=0 时也成立， ( ) ( ) t A t    （3 分）

　则有2 22 22 2 2 4( )2 4t t t tt t t te e e ete e e e              （3 分）

　求得0 21 3A    

　 (3 分)

　解：由于  1 4rank rank 22 1n     B AB ，可知原系统是完全能控的，通过状态反馈可以实现任意的极点配置。

　（3 分）

　设状态反馈矩阵 K = [ k 1

　k 2 ]，则状态反馈闭环系统的特征多项式为：

　1 21 221 2 1 2 1 22 1( )1 2 1 2( 3 2 ) ( 2 )( 1 2 ) (1 2 )( 1 )s k ksk s ks k k s k k k k- - - -- - =- - -= + - - - + - - - - - - - -I A BK（4 分）

　而期望的特征多项式为：

　(s+1) (s+2) = s 2

　+ 3s + 2

　（3 分）

　依据期望的特征多项式确定状态反馈阵系数，得：K = [ 4

　 1 ]

　（3 分）

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