概率论与数理统计 教学 教案
第 第 7 章 假设检验
授课序号 1 01 教
学
基
本
指
标
教学课题
第 7 章 第 1 节
假设检验的基本概念 课的类型
新知识课 教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段
黑板多媒体结合 教学重点 显著性检验的基本思想、假设检验的基本步骤、假设检验可能产生的两类错误 教学难点 假设检验的基本步骤 参考教材
浙江大学《概率论与数理统计》第四版 作业布置
课后习题 大纲要求
1．理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误。
教
学
基
本
内
容
一．假设检验的基本思想 1．假设检验的基本思想：假设检验规则的制定有多种方式，其中一种较为通俗易懂，该方式所依据的是人们在实践中普遍采用的一个原理——实际推断原理，也称小概率原理，即“小概率事件在一次试验中几乎不会发生”. 按照这一原理，首先需要依据经验或过往的统计数据对总体的分布参数作出假设0H ，称为原假设，其对立面称为备择假设，记为1H 。然后，在0H 为真的前提下，构造一个小概率事件，若在一次试验中，小概率事件居然发生了，就完全有理由拒绝0H 的正确性，否则就没有充分的理由拒绝0H ，从而接受0H ，这就是假设检验的基本思想。
2．拒绝域：在假设检验中，将小概率事件 {| | 1.96} U 称为拒绝域或者否定域。
二．假设检验的基本步骤 1. 建立假设 根据题意合理地建立原假设 H 0 和备择假设 H 1 ，如0 0 1 0:
, : H H
； 2. 选取检验统计量 选择适当的检验统计量 Q ，要求在 H 0 为真时，统计量 Q 的分布是已知的； 3. 确定拒绝域 按照显著性水平 ，由统计量 Q 确定一个合理的拒绝域； 4. 作出判断 由样本观测值，计算出统计量的观测值 q ，若 q 落在拒绝域内，则拒绝 H 0 ，否则接受 H 0
.
三．假设检验的两类错误 1．原假设0H 确实成立，而检验的结果是拒绝0H ，这类错误称为第一类错误或“弃真”错误； 2．原假设0H 确实不成立，而检验的结果是接受0H ，这类错误称为第二类错误或“取伪”错误．
四．例题讲解 例 1．设某种特殊类型的集成电路所用硅晶圆片的目标厚度为 245（单位：
m ），在正常情况下，产品厚度应该服从正态分布2(245,3.6 ). N
我们抽取了 50 个硅晶圆片样品，并测定了每个硅晶圆片的厚度，得到了样品的平均厚度为 246.18（ m ），这些数据是否表明实际的硅晶圆片平均厚度与目标值有显著差异?
例 2．设总体 X 服从正态分布2( ,1 ) N ，1 2 3 4, , , X X X X 是该总体的样本，对于检验假设 0 1 1 1: 0; : ( 0) H H ， 已知拒绝域为 0.98 X ，问此检验犯第一类错误的概率是多少？若11 ，则犯第二类错误的概率是多少？
授课序号 02 教
学
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指
标
教学课题
第 7 章 第 2 节
正态总体参数的假设检验 课的类型
新知识课 教学方法
讲授、 课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合 教学重点 单个正态总体及两个正态总体的均值和方差的假设检验 教学难点 单个正态总体及两个正态总体的均值和方差的假设检验 参考教材
浙江大学《概率论与数理统计》第四版 作业布置
课后习题 大纲要求
了解单个正态总体及两个正态总体的均值和方差的假设检验。
教
学
基
本
内
容
一．单个正态总体参数的假设检验 设总体2~ ( , ) X N ，1 2, , ,nX X X 是取自总体的一个样本，给定显著性水平为 （0<
<1），下面介绍几种常见的检验类型：
1．2 已知，关于 的检验 建立假设0 0 1 0:
,
: H H ，选取检验统计量0~ (0,1)XU Nn ，按照显著性水平 ，确定拒绝域2U u ，由样本观测值求出统计量的观测值 u ，然后作判断，由于我们选取的检验统计量为0XUn ，故称其为 U 检验法. 2.2 未知，关于 的检验 首先建立假设0 0 1 0:
,
: H H ，选取检验统计量 ,0nSXT 在 H 0 为真时，统计量 T t ( n -1)；按照显著性水平 ，确定拒绝域2{ ( 1)} T t n .由样本观测值求出统计量的观测值 t ，然后作判断，由于选取的检验统计量为 ,0nSXT
故该检验法称为 T 检验法. 3. 已知，关于2 的检验 检验假设 H 0 ：
2 = 02 ， H1 ：
2 02 ；
选取检验统计量为2212( )niiX ， 在 H 0 为真时，22 2120( )~ ( )niiXn ， 按照显著性水平 ，可得拒绝域2 2 2 212 2{ ( )
( )}. n n 或
4. 未知，关于2 的检验 检验假设 H 0 ：
2 = 02 ， H1 ：
2 02 ，在H 0 为真时， 检验统计量为22 220( 1)~ ( 1)n Sn ， 按照显著性水平 ，可得拒绝域2 2 2 212 2{ ( 1)
( 1)}. n n 或
上述两种检验法选取的检验统计量都是2 ，称为 2 检验法. 二．两个正态总体参数的假设检验 设总体21 1~ ( , ) X N ，总体22 2~ ( , ) Y N ， X 与 Y 独立，样本11 2, , ,nX X X 来自总体 X ，样本21 2, , ,nY Y Y 来自总体 Y
，给定显著性水平为 0 1 ，下面给出三种最常见的检验类型：
1.2221 , 已知，关于均值差1 2 的检验 检验假设：H 0 ：1 2 ，H 1 ：1 2 . 选取检验统计量为1 22 21 21 2( ) X YUn n ， 当 H 0 为真时，2 21 21 2~ (0,1)X YU Nn n ， 显著性水平为 的拒绝域为2{ } U u . 2.2221 , 未知，但2221 ，关于均值差1 2 的检验 检验假设：
H 0 ：1 2 ， H 1 ：1 2 .
选取检验统计量为 T 1 21 2( )1 1wX YSn n ，其中2 221 1 2 21 2( 1) ( 1)2wn S n SSn n ， 当 H 0 为真时，统计量1 21 2~ ( 2)1 1wX YT t n nSn n ， 可得显著性水平为 的拒绝域为1 22{ ( 2)} T t n n . 3.2 1 , 未知，关于方差比2221的检验 检验假设：2221 12221 0: , : H H . 选取统计量为2221222122222121 SSSSF ， 在 H 0 为真时,211 222~ ( 1, 1)SF F n nS ，可得显著性水平为 的拒绝域为 21 21( 1, 1) F F n n 21 2( 1, 1) F F n n 或 . 三．单侧检验 设总体2~ ( , ) X N ，1 2, , ,nX X X 是取自总体的一个样本，给定显著性水平为 （0< <1），若 2 已知，检验 是否增大？ 首先建立假设0 0 1 0:
,
: H H ,或者 , :0 0 H , :0 1 H 选取检验统计量0~ (0,1)XU Nn ，当0H 为真时，0XUn 不应太大，则 U 偏大时应拒绝0H ，故按照显著性水平 ，如下图，构造小概率事件为 { } P U u ，即拒绝域 { } U u .
由样本观测值求出 U 的观测值 u ，然后作判断. u
以上关于正态总体参数假设检验的讨论可以列表 7.1 和表 7.2 如下：
表 7.1 单个正态总体参数的假设检验表 条件 原假设0H
备择假设1H
检验统计量 拒绝域
2 已知 0
0
0/~ (0,1)XUnN 2U u
0 0 U u
0 0 U u
2 未知 0
0
0~ ( 1)XTSnt n 2( 1) T t n
0 0 ( 1) T t n
0 0 ( 1) T t n
已知 2 20
2 20
221202( )~ ( )niiXn 222 212 2( )( )nn 或 2 20
2 20
2 2 ( )n
2 20
2 20
2 21( ) n
未知 2 20
2 20
22202( 1)~ ( 1)n Sn 222 212 2( 1)( 1)nn 或 2 20
2 20
2 2 (1) n
2 20
2 20
2 21( 1) n
表 7.2 两个正态总体参数的假设检验表 条件 原假设0H
备择假设1H
检验统计量 拒绝域
2221 , 已知 1 2
1 2
2 21 21 2~ (0,1)X YUn nN
2U u
1 2 1 2 U u
1 2 1 2 U u
2221 , 1 2
1 2
1 21 21 1~ ( 2)wX YTSn nt n n 1 22( 2) T t n n
未知，但2221 1 2 1 2 其中2 221 1 2 21 2( 1) ( 1)2wn S n SSn n 1 2( 2) T t n n
1 2 1 2 1 2( 2) T t n n
2 1 ,
已知 2 21 2
2 21 2
1221 1122 211 2( ) /( ) /~ ( , )niinjjX nFY nF n n 21 21( , ) F F n n21 2( , ) F F n n 或
2 21 2
2 21 2
1 2( , ) F F n n
2 21 2
2 21 2
1 1 2( , ) F F n n
2 1 , 未知 2 21 2
2 21 2
21221 2~ ( 1, 1)SFSF n n 21 21( 1, 1) F F n n 21 2( 1, 1) F F n n 或 2 21 2
2 21 2
1 2( 1, 1) F F n n
2 21 2
2 21 2
1 1 2( 1, 1) F F n n
四． p 值检验法 1.
p 值检验法：假设检验问题的 p 值(probability Value)是由检验统计量的样本观测值得出的原假设可被拒绝的最小显著性水平． 按照 p 值的定义，对于任意指定的显著性水平 ，有
(1)当 p 值 时，则在显著性水平 下拒绝0H ．
(2)当 p 值 时，则在显著性水平 下接受0H ． 这种利用 p 值来进行检验的方法，称为 p 值检验法.
五．例题讲解 例 1．某仪器厂生产的仪表圆盘，其标准直径应为 20（mm），在正常情况下，仪表圆盘直径服从正态分布N (20，1)。为了检查该厂某天生产是否正常，对生产过程中的仪表圆盘随机的抽查了 5 只，测得直径分别为 19，19.5，19，20，20.5， 若显著性水平 0.05 ，问该天生产是否正常? 例 2．葡萄酒中除了水和酒精外，占比最多的就是甘油。甘油是酵母发酵的副产品，它有助于提升葡萄酒
的口感和质地，因而经常需要对葡萄酒中的甘油含量进行检测。假设某品牌葡萄酒的甘油含量 X （mg/mL）服从正态分布，现随机抽查了 5 个样品，测得它们的甘油含量分别为 2.67,4.62,4.14,3.81,3.83 ，若显著性水平0.05 ，问是否有理由认为该品牌葡萄酒的平均甘油含量为 4（mg/mL）? 例 3．某供货商声称，他们提供的金属线的质量非常稳定，其抗拉强度的方差为 9，为了检测其抗拉强度，在该种金属线中随机地抽出 10 根，测得样本标准差 4.5 s (kg)，设该金属线的抗拉强度服从正态分布2( , ) N ，若显著性水平为 =0.05，问是否可以相信该供货商的说法？ 例 4．在某种制造过程中需要比较两种钢板的强度，一种是冷轧钢板，另一种双面镀锌钢板。现从冷轧钢板中抽取了 20 个样品，测得强度的均值为 20.5(GPa) x ， 从双面镀锌钢板中抽取了 25 个样品，测得强度的均值为 23.9(GPa) y ， 设两种钢板的强度都服从正态分布，其方差分别为2 212.8 ，2 223.5 ，试问两种钢板的平均强度是否有显著性差异？（ 0.01 ）
例 5．有两种灯泡，一种用 A 型灯丝，另一种用 B 型灯丝。随机抽取两种灯泡各 10 只做试验，测得它们的寿命（单位: 小时）为：
A 型：1293
1380
1614
1497
1340
1643
1466
1677
1387
1711 B 型：1061
1065
1092
1017
1021
1138
1143
1094
1028
1119 设两种灯泡的寿命均服从正态分布且方差相等，试检验两种灯泡的平均寿命之间是否存在显著差异？ ( 0.05)
例 6．某一橡胶制品配方中，原配方用氧化锌 5 克，现配方减为 1 克。今分别对两种配方作一批试验，分别测得橡胶制品伸长率如下：
现配方
565
577
580
575
556
542
560
532
470
461
原配方
540
533
525
520
545
531
541
529
534
设橡胶制品的伸长率服从正态分布，问两种配方橡胶制品的伸长率的方差有无显著差异?
( 0.05)
例 7．某地区的物价部门对当前市场的大米价格情况进行调查，共调查了 30 个集市上的大米售价，测得它们的平均价格为 2. 21 元/500 g，已知以往大米平均售价一直稳定在 2 元／500 g 之内．如果该城市大米售价服从正态分布 ( ,0.18) N ，假定方差不变，能否根据上述数据认为该地区当前的大米售价明显高于往年？( 0.05)
例 8．现有甲、乙两台车床加工同一型号的螺钉。根据经验认为两台车床加工的螺钉长度都服从正态分布。现从这两台车床加工的螺钉中分别抽出 11 个和 9 个，测得长度(单位:mm)分别为
甲
6.2，5.7，6.0，6.3，6.5，6.0，5.7，5.8，6.0，5.8，6.0 乙
5.6，5.7，5.9，5.5，5.6，6.0，5.8，5.5，5.7 试问：乙车床的加工精度是否高于甲车床，即乙车床螺钉长度的方差是否比甲车床的小?
( 0.05)
例 9．用 p 值检验法检验第一节例 1 的检验问题.