V:1.0 精选试题
热力学统计物理试题
2 2 020- -4 4- -1 1
一. 填空题
1. 设一多元复相系有个 相，每相有个 k 组元，组元之间不起化学反应。此系统平衡时必同时满足条件：
、
、
。
2. 热力学第三定律的两种表述分别叫做：
和
。
3.假定一系统仅由两个全同玻色粒子组成，粒子可能的量子态有 4 种。则系统可能的微观态数为：
。
5.均匀系的平衡条件是
；平衡稳定性条件是
。
7.玻色分布表为
；费米分布表为
；玻耳兹曼分布表为
。当满足条件
时，玻色分布和费米分布均过渡到玻耳兹曼分布。
8. 热力学系统的四个状态量 V P T S、 、 、 所满足的麦克斯韦关系为
,
,
,
。
9. 玻耳兹曼系统粒子配分函数用1Z 表示，内能统计表达式为
， 广义力统计表达式为
，熵的统计表达式为
，自由能的统计表达式为
。
11.单元开系的内能、自由能、焓和吉布斯函数所满足的全微分是：
，
，
，
。
12. 均匀开系的克劳修斯方程组包含如下四个微分方程：
，
，
，
。
13. 等温等压条件下系统中发生的自发过程，总是朝着
方向进行，当
时，系统达到平衡态；处在等温等压条件下的系统中发生的自发过程，总是朝着
.
方向进行，当
时，系统达到平衡态。
14.对于含 N 个分子的双原子分子理想气体，在一般温度下，原子内部电子的运动对热容量
；温度大大于振动特征温度时，热容量为
；温度小小于转动特征温度时，热容量为
。温度大大于转动特征温度而小小于振动特征温度时，热容量为
。
15.玻耳兹曼系统的特点是：系统由
粒子组成；粒子运动状态用
来描写；确定
即可确定系统的微观态；粒子所处的状态
的约束。
16 准静态过程是指
的过程；无摩擦准静态过程的特点是
。
二. 简述题
1. 玻尔兹曼关系与熵的统计解释。
2. 写出系统处在平衡态的自由能判据。
3. 写出系统处在平衡态的熵判据。
4. 熵的统计解释。
5. 为什么在常温或低温下双原子分子的振动对热容量贡献可以忽略 6. 等概率原理。
7. 能量均分定理。
8. 为什么在常温或低温下原子内部的电子对热容量没有贡献 9．系统的基本热力学函数有哪些什么叫特性函数什么叫自然参量。
10. 熵的统计解释。
11 试说明，在应用经典理论的能量均分定理求理想气体的热容量时，出现哪些与实验不符的结论或无法解释的问题（至少例举三项）
12.最大功原理 13. 写出能斯特定理的内容 14．什么是近独立粒子系统 15．单元复相系达到平衡时所满足的相变平衡条件是什么如果该平衡条件未能满足，变化将朝着怎样的方向进行 16．写出吉布斯相律的表达式，并说明各物理量的含义。
17.写玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统的微观态数统计表达式，并说明它们之间的联系。
18. 为什么说，对于一个处在平衡态的孤立系统，可以将粒子的最概然分布视为粒子的平衡态分布
19．试说明，在应用经典理论的能量均分定理求固体热容量时，出现哪些与实验不符的结论或无法解释的问题 三. 选择题 1.系统自某一状态 A 开始，分别经两个不同的过程到达终态 B。下面说法正确的是 （A）在两个过程中吸收的热量相同时，内能的改变就一定相同 （B）只有在两个过程中吸热相同且做功也相同时，内能的改变才会相同 （C）经历的过程不同，内能的改变不可能相同 （D）上面三种说法都是错误的 2.下列各式中不正确的是 （A）, T PHn
（B）, T VFn
（C）, S VUn
（D）, T PGn
3.吉布斯函数作为特性函数应选取的独立态参量是 （A）温度和体积
（B）温度和压强 （C）熵和体积
（D）熵和压强 （D）孤立的系统 4.费米统计的巨配分函数用 表示，则熵的统计表达式是 （A）ln lnln S N （B）ln lnln S N （C）ln lnln S k
（D）ln lnln S k 5.自由能作为特性函数应选取的独立态参量是 （A）温度和体积
B）温度和压强
（C）熵和体积
（D）熵和压强 6.由热力学基本方程 dG SdT Vdp 可得麦克斯韦关系 （A）V Tp ST V
（B）pST Vp S （C）S VT pV S
（D）pTV ST p
7.将平衡辐射场视为处在平衡态的光子气体系统，下面说法不正确的是 （A）这是一个玻色系统
（B）这是一个能量和粒子数守恒的系统 （C）系统中光子的分布遵从玻色分布 （D）这是一个非定域系统 8.封闭系统指 （A）与外界无物质和能量交换的系统 （B）能量守衡的系统 （C）与外界无物质交换但可能有能量交换的系统 9.下列系统中适合用玻尔兹曼分布规律处理的系统有 （A）经典系统 （B）满足非简并条件的玻色系统和费米系统 （C）满足弱简并性条件的玻色系统和费米系统 （D）非定域体系统 10. v 和r 分别是双原子分子的振动特征温度和转动特征温度，下面说法正确的是 （A）vT 时，振动自由度完全“解冻”，但转动自由度仍被“冻结”。
（B）rT 时，转动自由度完全“解冻”，但振动自由度仍被“冻结” （C）vT 时，振动自由度和转动自由度均完全“解冻”。
（D）rT 时，振动自由度和转动自由度均完全“解冻”。
11.气体的非简并条件是 （A）分子平均动能远远大于 kT
（B）分子平均距离极大于它的尺度 （C）分子数密度远远小于 1
（D）分子平均距离远大于分子德布罗意波的平均热波长 12.不考虑粒子自旋，在边长 L 的正方形区域内运动的二维自由粒子，其中动量的大小处在~ p p dp 范围的粒子可能的量子态数为 （A）224 Lpdph
（B）222 Lpdph
（C）222 Ldph
（D）222Lp dph 五. 推导与证明 1.试用麦克斯韦关系，导出方程VVpTdS C dT T dVT ，假定VC 可视为常量，由此导出理想气体的绝热过程方程1TV C （常量）。
解：∵V TS SdS dT dVT V ， ∴VV T TS S STdS T dT T dV C dT T dVT V V 由麦氏关系T VS pV T ，VVpTdS C dT T dVT 绝热过程 0 dS ，理想气体nRp TV ，Vp nRT V 0VdT dVC nRT V 积分得 ln lnVC T nR V C" （常量）
∵ /p VC C ， ( 1)p V VnR C C C
故：1lnTV C" ，即：1TV C （常量）
2. 证明: ,, T PT nVP n 证明：选 T, V 为独立变量，则 而 ,T nGVp， 故
,,T pT nVp n 3.证明焓态方程：pTH VV Tp T 。
证：选 T、p 作为状态参量时，有 pTH HdH dT dpT p （1）
pTS SdS dT dpT p （2）
而，
dH TdS Vdp
（3）
（2）代入（3）得：
pTS SdH T dT V T dpT p
（4）
比较（1）、（4）得：p pH STT T （5）
TTH SV TV p （6）
将麦氏关系pTS Vp T 代入（6），即得 4.导出含有 N 个原子的爱因斯坦固体的内能和热容量表达式：
3 321NU Ne
，
2/2/31EETEVTeC NkTe 解：按爱因斯坦假设，将 N 个原子的运动视为 3N 个线性谐振子的振动，且所有谐振子的振动频率相同。谐振子的能级为：
( 1/2) ( 0,1,2 ) n n
则，振子的配分函数为：/2( 1/2) /210 0( )1n nn neZ e e ee ∵11ln ln(1 )2Z e
∴1ln 3 3 3 332 1 2 1Z N e NU N N Ne e 引入爱因斯坦特征温度E ：Ek ，即得： 2/2/31EETEVTeC NkTe 5. 导出爱因斯坦固体的熵表达式： 3 11ln S Nk ee 解：设固体系统含有 N 个原子，按爱因斯坦假设，将 N 个原子的运动视为 3N 个线性谐振子的振动，且所有谐振子的振动频率相同。谐振子的能级为：
则，振子的配分函数为：
6.证明，对于一维自由粒子，在长度 L 内，能量在 ε ~ ε d ε 的范围内，可能的量子态数为 1/2 1/2(2 ) mLD dhd 。
证：由量子态与相空间体积元之间的对应关系，对于一维自由粒子，在相空间体积元xdxdp内的可能的量子态数为xdxdph。
因此，在长度 L 内，动量大小在 ~ p p dp 范围内粒子的可能的量子态数为 而，212pm ，2mdp d
故，在长度 L 内，能量在 ε ~ ε d ε 范围内，可能的量子态数为 1/2 1/2(2 ) mLD dhd 。
7. 证明:① P SSVPT
② 0 UVS
①证明：
dH TdS VdP ， 由全微分条件得： S PT VP S ②证明：
由 dU TdS PdV ， 令 0 dU
得： US PV T 8.导出普朗克黑体辐射公式。
解：在体积 V 内，动量在 p ~ p+dp
范围的光子的量子态数为 因为，光子气体是玻色系统遵从玻色分布，由于系统的光子数不守恒，每个量子态上平均光子数为 又
= = pc c 所以，在体积 V 内，圆频率在 ~ +d 范围内的光子的量子态数为 在此范围内的光子数为 22 3 /( )1kTVN d f D d dc e 故，在此范围内的辐射能量为：
9.对于给定系统，若已知 vp R=T v-b ， 3p2a v-b T T=v v-b Rv ，求此系统的物态方程。
解：设物态方程为 ( , ) p p T v ，则 v Tp pdp dT dvT v
（1）
∵ 1v pTp T VT v p ∴T v pp p Tv T v
（2）
将vp R=T v-b 和 3p2a v-b T T=v v-b Rv 代入（2）得 2 3 3T v p2a v-b p p T R T 2a RTv T v v-b v-b Rv vv-b （3）
将vp R=T v-b 和（3）代入（1）得 积分得：
2RT apv-b v ，即：
2ap v-b RTv 11.已知气体系统通常满足经典极限条件且粒子动量和能量准连续变化，采用量子统计方法导出单原子分子理想气体的内能。
解：气体系统遵从玻耳兹曼分布，粒子配分函数为 1l sll sZ e e （对所有量子态 s 求和）
当粒子能量准连续变化时，上述对量子态求和可用 空间积分替代。因为，在 6 维 空间中， ~ d x x x ， ~ d y y y ， ~ d z z z ， ~ dx x xp p p ， ~ dy y yp p p ， ~ dz z zp p p 范围内的粒子，其可能的量子态数为 且，粒子的能量为：2 2 2 1= ( )x y zp p p2m 。所以 即 3/21 32 V mZh ， 而
1 23 2 3ln ln ln ln2 2mZ Vh
由内能的统计表达式 1lnZU N ，得：
3 32 2NU NkT
12. 证明: P VV PP VC C TT T 证：P VP VS SC C T TT T
（1）
∵ ( , ) ( , ( , )) S T p S T V T p
P V T PS S S VT T V T
（2）
（2）代入（1）
P VV PS VC C TV T
（3）
将麦氏关系：T VS PV T
代入（3）得
13. 证明，理想气体的摩尔自由能为：
证明：选 T, V 为独立变量，则 理想气体的物态方程为：
pv RT
VpRT v ， Vdu c dT ，Vcdvds dT RT v
故: 0 Vu c dT u ，0 0lnVcs dT R v sT
14.证明，对于二维自由粒子，在面积2L 内，能量在 ε ~ ε d ε 范围内，可能的量子态数为 222 mLD d dh 。
证：由量子态与相空间体积元之间的对应关系，对于二维自由粒子，在相空间体积元x ydxdydp dp 内的可能的量子态数为2x ydxdydp dph。
因此，在面积2L 内，动量大小在 ~ p p dp 范围内粒子的可能的量子态数为 而，212pm ， pdp md
故，在面积2L 内，能量在 ε ~ ε d ε 范围内，可能的量子态数为 222 mLD d dh 。
说明：上面给出的是往届出现过的考题，仅作为复习参考和题型示例（另外还有判断题未列出）。实际考试难度和内容与这些题类似，（注意是类似没说是相同！）。对于推到证明题给出解题示例，为的是规范解题步骤，答卷时一定要按照示例一步步求解，否则会扣分的。简答题一定要回答完整（参照笔记）。