第7章稳恒磁场

　第七章：稳恒磁场 【教学目的】让学生明确磁场的基本概念及其性质，掌握电流产生磁场的规律和磁场对载流导体及运动电荷作用的规律 【教学要求】

　一、理解磁场强度的概念； 二、了解毕奥-萨伐尔定律的内容及其应用； 三、理解磁场中的高斯定理； 四、理解磁场安培环路定理及其应用； 五、理解磁场对载流导体和运动电荷的作用力及其规律； 【教学重点】

　一、毕奥-萨伐尔定律的内容及其应用 二、磁场安培环路定理及其应用； 三、洛仑兹力、安培定律。

　【教学难点】毕奥-萨伐尔定律的应用 【教学方法】讲授、动画演示、视频片段 【教学过程】

　第一讲：（2 课时，共 5 讲）

　Chapter 7 稳恒磁场 引言: 磁体、电流周围存在磁场。磁场的分布不随时间变化时为稳恒磁场。

　本章内容：磁场的概念及其性质、电流产生磁场的规律、磁场的对电流及运动电荷作用、磁介质对磁场的影响。

　§7-1 磁感应强度、磁场的高斯定理 一、基本磁现象：

　磁石、电流间相互作用——通过磁场传递。

　磁场的方向：小磁针 N 极的指向

　磁场的强弱：磁力的大小

　自然界中无单独磁极存在（N、S 同时存在）

　磁场是一种物质——具有能量、动量等 二、磁性的本质 安培分子电流假说

　1822 年安培提出分子电流假说——解释了磁现象的本质 三、磁感应强度的定义 以磁场对运动电荷的作用定义 实验发现：试探电荷 q 0 以速率 v 在磁场中运动 （1）沿某一特定方向运动时所受磁力为零 （2）垂直于上述方向时所受磁力最大，且 F max ∝ q 0 v ⊥

　即比值 F max ／ q 0 v ⊥ 的大小反映了该点磁场的强弱 （3）磁力的方向垂直于 v 与场中特定方向组成的平面

　 方向:特定方向上小磁针 N 极的指向

　大小：max0FBqv

　单位：N·s/C·m=T(特斯拉),1T＝104Gs(高斯) 四、磁场的高斯定理 1.磁感应线 在磁场中引入以下磁感应线：

　（1）方向：任一点的切线方向与该点 B B 的方向一致; （2）量值：垂直于 B B 单位面积上磁感应线的条数等于 B B 的大小. 磁感应线特点：

　（1）无头无尾的闭合曲线; （2）与电流为右手螺旋关系 2.磁通量 定义：通过一给定曲面的总磁感应线条数,用m 表示。

　   s sm mS B Φ Φ d d

　单位：1Tm 2 =1Wb(韦伯）

　3.磁场的高斯定理 在磁场中通过任意闭合曲面的磁通量：

　s sd cos dmB S B S    ＝ ＝

　 规定：ne 的方向为曲面的外法线方向，所以通过任意闭合曲面的磁通量恒为零，即：

　sd = 0 B S  ——磁场中的高斯定理 说明：（1）用数学语言描述

　 线是无头无尾的闭合曲线

　（2）表明磁场是无源场——磁场的重要特性之一 （3）电磁场理论的基本方程之一 §7-2 毕奥—萨伐尔定律 电荷元的电场——叠加——带电体的电场 电流元的磁场——叠加——载流导体的磁场 一、毕奥—萨伐尔定律 电流元—载流的微小线元 d I l ，在 P 点的磁场大小 2d sind =I lB kr 在 SI 中04k ，其中0 ＝4×10 -7 Tm/A——真空磁导率，其方向如图。

　即

　03dd4I l rBr

　——毕奥—萨伐尔定律 一段载流导体在空间某点 P 产生的磁感应强度 Lrr l IB30d4 二、毕奥—萨伐尔定律应用 1.直线电流的磁场 由毕—萨定律，所选电流元在 P 处产生的磁场 02d sind4I lBr 

　方向沿 z 轴负向。且 L 上所有电流元在 P 点的产生的场都在z 轴负向，所以 02L Ld sind4I lB Br    将 式 中 y 、 a 、 r 用 同 一 变 量 表 示 ：

　tan y a   ， 即

　I P r d I ldBO z y x I P  a

　 dBrL

　y

　dy

　d I l   

　2d sec d y a    ，而 sin sin( - ) cos2     ， sec r a  

　所以

　 02Ld sin4I yBr 202 2Lsec cos d4 secI aa      210cos d4Ia   即

　02 1sin -sin )4IBa  （

　方向沿 z 轴负向 注：1 、 2 的选取（顺电流方向）及其正负的确定（以垂直距离的连线为界）

　结果讨论：

　（1）无限长时1 ＝-90°, 2 =+90°即 02IBa （2）在导线及其延长线上, ＝0°或 180°即 d 0 I l r   ，所以 B = 0 2.载流圆线圈轴线上的磁场 圆上各电流元与 r 的夹角均为 90°,所以 0202d sind4d4I lBrI lr  方向如图。

　将 d B B 分解为 d B B ⊥ 和 d B B ∥ ，即 //L Ld d B B B   由对称性L d0 B B  ，所以 //L Ld d sin B B B    2 R01 202 22d4( )I l Rrx R 即

　2032 22 2( )R IBx R

　 方向：右手螺旋 O z y xx R xx d I ldB//dBdB rI

　结果讨论：

　（1）在圆心处（ x =0）：02IBR

　（2）定义: m np NISe  ——线圈的磁矩 在 x >> R 处：

　2032 22 2( )R IBx R 032SIx0 m32px

　——在 x >> R 处的磁矩称为 磁偶极矩 3.

　 圆形载流直螺线内部的磁场 取 d x 段螺线管,在其轴线的 P 处产生的场为 2032 22dd2( )R IBx R 方 向 如 图 。

　其 中d I = I d N = I·n d x ，由各 d x 在 P 处产生的 d B B 方向一致，所以 2032 22dd2( )R In xB Bx R   引入参量

　：

　cot x R   ，即2d - csc d x R    ，而2 2 2 2csc x R R    ，所以 2 2032 22- csc d2( csc )R RB InR  210-sin d2In   02 1(cos -cos )2In   结果讨论：

　(1)无限长时1 =，2 =0,则0B nI   ——均匀场 (2)在任一端口1 =/2，2

　=0,则012B nI  

　三、方法总结 （1）选元：选取电流元或典型电流 （2）分解：分析 d B B 分布，建立坐标，写出分量式； （3）积分：统一变量，积分求得各分量； （4）综合：综合分量求得 B B ——大小、方向 例题 7-1

　在半径为 R 的“无限长”半圆柱形金属薄片中，有电x dx R r P     dBB 0 nI012nI n

　I  0

　流 I 自下而上通过，试求圆柱轴线上任一点的磁感应强度。

　例题 7-2

　一边长为 2a 的载流正方形线圈，通有电流 I。试求轴线上距中心为 r 0 处的磁感应强度。

　本讲小节

　一、磁感应强度、磁场的高斯定理 1.磁感应强度的定义 2.磁感应线、磁通量 3.磁场中的高斯定理 二、毕奥—萨伐尔定律 1.电流元、毕奥—萨伐尔定律 2.直线电流的磁场02 1sin -sin )4IBa  （ ，无限长时02IBa

　3.圆电流轴线上的场2032 22 2( )R IBx R，圆心处02IBR

　4.载流螺线管内的磁场02 1(cos -cos )2B In   ，无限长时0B nI  

　作业 ：P254

　7 第二讲：（2 课时，共 5 讲）

　上讲内容回顾 本讲内容提要：

　一、安培环路定理：1.磁场的环流，2.安培环路定理； 二、安培环路定理的应用 d 0 E l  ——静电场是保守场，电势 d B l  ？

　§11-3 安培环路定理 一、长直电流磁场中 B B 的环流 1.环路 L 包围电流 I

　d B l Ld cos B l   0Ld2Irr  200d2I   L I I L dlBd r d cos d l r   

　0 I 

　即

　 d B l 0 I 

　讨论：

　（1）若 L 不是平面曲线——结果相同 （2）

　L 的绕向相反时——结果为负,表明 I 与 L 为右手螺旋关系时， I 为正 2.环路 L 不包围电流 I

　d B l 1 2d dL LB l B l      00 00d d2 2I I        =0

　结论：在直线电流的磁场中， B B 的环流等于闭合路径所围 I 的0 倍，与闭合路径的形状、回路以外的电流无关。

　二、安培环路定理 上述结果对任意形状的电流磁场都是适用的。

　在有若干个任意形状的电流的情况下，根据场的叠加原理：

　dLB l 1 2 1 2( ) dm nLB B B B B B l         外 外 外 内 内 内 0 1 0 2 0 nI I I       

　即

　 0diLiB l I     ——

　安培环路定理 ，表明在真空的稳恒磁场中，任一闭合路径上磁感应强度 B B 的环流等于该闭合路径所包围的各电流代数和的0 倍 说明：

　（1）稳恒磁场是涡旋场（有旋、非保守场）——磁场的重要性质之一 （2）定理中 B B 由内外电流产生 （3）∑ I ——代数和（ I 与 L 成右手螺旋时为正）

　若电流连续分布，则 0d dL SB l j S      S 为以 L 为周界的任意曲面 （4）电磁场理论的基本方程之一

　（5）用来计算“对称性电流磁场”的分布 三、安培环路定理的应用 1.长直圆柱形载流导体内外的磁场 1.长直圆柱形载流导线内外的磁场 对称性分析：轴对称 选取回路：过 P 点作圆形闭合路径(绕向如图) （1）导线内部 P 点（0< r < R ）

　dLB l dLB l  2 B r   

　2 22 2iI II r rR R    由安培环路定理得21 022IB r rR    

　所以

　0122IrBR

　（2）导线外部 Q 点（ r > R ）

　dLB l 22 B r   

　iI I  所以

　 022IBr

　讨论：

　若导体为一薄圆筒,则在 r < R 处

　0iI ，则10 B 

　若导体为一细长直导线，则02IBr

　2.载流长直螺线内部的磁场 对称性分析：螺旋管内为均匀场，方向沿轴向，外部磁感应强度趋于零。

　选取回路：

　过 P 点作闭合路径 abcda

　P 1BL 1

　r I

　dLB l ab bc cd dad d d d B l B l B l B l            ab dB l ab B  

　设单位长度上匝数为 n ，电流为 I ，则 abiI n I  由安培环路定理得 0ab ab B n I    

　所以 0B nI  

　——无限长载流螺线管内部磁场处处相等 ,

　外部磁场为零. 3.载流螺绕环内部的磁场 对称性分析：环内磁感应线为同心圆,同一圆上各点 B 值相等;

　外部 B趋于零. 选取回路：过 P 点作闭合路径 L

　dLB l abd B l 2 B r   

　设总匝数为 N ，电流为 I ，则 iI NI  所以

　 02NIBr 当孔径 d <<2 r 时，取平均周长 l ，即 00NIB nIl  

　——环内为均匀场，与螺线管内磁场相同 四、方法总结 （1）对称性：由电流分布分析场的对称性 （2）做回路：由场的对称性，过考察点 P 作一闭合路径 L

　（3）算环流：分别计算 B B 沿 L 的环流、 L 所包围电流的代数和 （4）求结果：用安培环路定理计算出 B B （方向由(1)中得出）

　本讲小节 一、长直电流磁场中 B B 的环流 d B l 0 I 

　二、安培环路定理 0diLiB l I     ——稳恒磁场为涡旋场（有旋场、非保守场）

　r d P L B

　三、安培环路定理的应用 1.无限长直圆柱形电流的磁场

　2.无限长直螺线管内的场 3.载流螺绕环内的 作业 ：P254

　14、15

　第三讲：（2 课时，共 5 讲）

　上讲内容回顾 本讲内容提要：

　一、洛仑兹力 1.洛仑兹力 2.带电粒子在磁场中的运动 二、洛仑兹力的应用 §7-4 磁场对运动电荷的作用 一、洛仑兹力 1.洛仑兹力—磁场力 实验规律：

　F = qvB sin ，方向为 B  v ，所以 F q B   v

　说明：（1）

　B B 的方向与 q 的正负有关

　（2）洛仑兹力做功恒为零 2.洛仑兹公式 ( ) F q E B    v

　二、带电粒子在磁场中的运动 1.在均匀磁场中

　（1）

　v v 0 与 B B 同向（或反向）:

　 ——匀速直线运动 （2）

　v v 0 与 B B 垂直：

　0F q B  v ，且0 F  v ——匀速圆周运动 轨道半径：200

　q B mRvv ，0

　 mRqB v （ q / m —荷质比）

　周期：02 2=R mTqB v

　 （与 v 0 无关）

　（3）

　v v 0 与 B B 斜交为

　：——螺旋运动 0 sinmRqBv，2 mTqB ，02 cos mhqB v 2.在非均匀磁场中（略）

　三、应用实例 1.磁聚焦 一束很窄（ 很小）、 v 近似相等的带电粒子流沿磁场方向运动：

　//cos    v v v

　sin    v v v

　由于所有粒子的 v // 相等，所以 A 点出发的粒子经一螺距后会聚于 A′—— 磁聚焦现象，磁透镜 2.质谱仪——测定离子荷质比

　荷质比：粒子的带电量与质量之比，即 q/m

　结构原理见右图:速度选择器，分离室。

　粒子在速度选择器中 qE ＝ qv 0 B ′ 以 v 0 进入分离室，即 0m mERqB qBB v

　 q Em RBB  3.回旋加速器(略讲) 4.霍尔效应 磁场中的板状载流导体 =H HIBU Rd A ′ B A 质谱仪的结构原理 离子源 狭缝 速度选择器 分离室

　R S 2

　S 1

　S 0

　 B E

　 v 0

　 B′ ′

　底片

　U H — 霍 尔 电 势 差 ，R H —霍尔系数（与导体材料有关），现象—霍尔效应经典解释：正电荷 q

　达动态平衡时 qE H

　= qvB

　即

　 E H

　= vB

　因 U H =E H

　a= vBa

　，而 I = q·n·vS= q·n·vad

　所以

　1=HIBUnq d，即

　1=HRnq 可见， R H 的正负由 q 的正负（电子型—N、空穴型—P）决定，R H 的大小与 n （金属、半导体）成反比。

　霍尔效应的应用：

　（1）测定半导体材料的 n ，判断 N、P 型 （2）制作传感器，如测 I 、 B

　（3）磁流体发电 经典理论的局限性：①锌 Zn、铍 Be、镉 C d 等 R H >0；②在即低温、强磁场下 U H — R 呈量子变化（量子霍尔效应）

　本讲小节: : 一、洛仑兹力 1.洛仑兹力 F q B   v

　2.带电粒子在均匀磁场中的运动 （1）

　v v 0 与 B B 同向——匀速直线运动 （2）

　v v 0 与 B B 垂直——匀速圆周运动（轨道半径、周期）

　（3）

　v v 0 与 B B 斜交——螺旋运动（轨道半径、周期、螺距）

　二、洛仑兹力的应用 1.磁聚焦 2.回旋加速器 3.质谱仪 4.霍尔效应 作业 ：16

　第四讲：（2 课时，共 5 讲）

　B I d F e

　F m

　v E H

　U H

　a

　上讲内容回顾 本讲内容提要：一、安培定律；二、安培定律的应用 §11-5 磁场对载流导体的作用 载流导体在磁场中受力——安培力 一、安培定律 （播放“安培力”视频短片）

　安培由实验总结出：一段电流元 I d l l 在磁场中受力 d d F I l B  

　—— 安培定律，表明电流元所受的磁力等于该电流元与所在位置处 B的矢积。

　 若长为 L 的载流导体 Ld F I l B    安培力的微观本质——洛仑兹力 自由电子与晶格相互作用，使导线在宏观上受到磁场的作用力 附：安培定律的推导：

　自由电子对晶格的作用力 mf e B   v

　设在 d l 内有 d N ＝ nS d l 个自由电子，则 d -d F Ne B   v - d nS le B   v

　而 I

　＝- nvSe ，即 - d d nS le I l  v

　所以

　 d d F I l B  

　二、安培定律应用 1.一段直载流导体在均匀磁场中所受的安培力 sin F IBL  

　2.无限长平行电流间的相互作用力 “安培”定义  相互作用力 0 121 2d d2IF I la

　 d F

　Bd

　I lX Y Z O m f

　B

　vI

　单位长度上受力

　 0 121 22If Ia

　 方向：指向 I 1

　 电流单位“安培”的定义 真空中相距 1 米的两无限长平行直导线中载以相等的稳恒电流，当每米长度导线上的相互作用力为 2×10 -7 N 时，则定义导线中的电流强度为 1 1 安培 (A) 。

　3.磁场对载流线圈的作用 磁矩  受力分析 1 1 1sin( - ) sin F BIl BIl      —方向向上 1 1 sinF BIl —方向向下 ——竖直方向合力为零，线圈不动 2 2F BIl  —向前；2 2F BIl —向后 ——水平方向合力为零，但形成一力偶—转动  在磁场中的磁力矩 2 1 cosM F l  2 1 cosBIl l  

　2 1 sinBIl l   sin BIS  

　m sinBP  

　即

　 mM P B  

　说明：

　（1）上式适用于匀强磁场中任意形状的刚性平面线圈，甚至带电粒子沿闭合路径运动和本身自旋所具有的磁矩 （2）在匀强磁场中的刚性线圈，仅发生转动 （3）是制造各种电动机、磁电式仪表的原理

　例题 11-3

　试求图中导线2 所受的安培力 解：在所取电流元处，导线 1 产生的磁场为 0 12IBx

　 Bl 1 l 2 1 FI

　1 F2 F2 F  a

　b

　d

　c

　 2 F2 Fl 1

　B l 1 cos mP0n a(b)d(c)Md L

　d Fx dx X O I 1 I 2

　其方向如图，由安培定律得

　 sin d d2x BI F  x IxId221 0 其方向垂直于导线 2 向下。分析各电流元受力方向均相同，所以 L dFFL ddx IxId221 0dL dI I ln22 10 方向垂直于导线 2 向下。

　例题 7-4 半圆形刚性载流导线放在均匀磁场中(如图)。试计算导线所受的安培力。

　解：任取一电流元，受安培力方向如图，大小为 d d F BI l 

　分析各电流元受力方向，取如图坐标，则 d d cosxF BI l  

　d d sinyF BI l  

　上式中 l ， 均为变量，为便于积分统一变量：

　d d l R   ，所以 d d cosx xL LF F BI l    0cos d BI R   sin0BIR  0  d d siny yL LF F BI l    0sin d BI R   cos0BIR 2BIR 

　即

　2

　x yF F F BIR j   

　——与载流直导线 2R 在均匀场中受力相同

　三、磁力的功 1. 载流直导线在磁场中运动时,磁力的功 在匀强磁场中从 A 移到 A " ，磁力所作的功 A F aa   BILaa  BI S  

　而 B S   ——回路 abcd 上磁通量的增量，所以

　A I  

　 d FI 1 R B dxF dyFd I ld O X Y

　表明磁力对直线电流的功等于 I 与通过回路所围面积的磁通量增量的乘积。

　2. 载流线圈在磁场中转动时,磁力的功 d d A M  －msin d p B   －

　sin d BSI   － d( cos ) I BS   d I  

　212 1

　d ( - ) A I I I        与磁力对直线电流做功的形式相同。

　3. 磁力做功的一般表式 可以证明，一个任意闭合电流回路在磁场中改变位置或形状时，磁力所作的功 d d A I   或21d A I  说明：

　（1）为一普遍适用的关系式（ I ( t )、 B ( t )）

　（2）A>0—电动机原理，A<0—发电机原理 （外界做功（A<0）—导体中产生电动势—而未转化为磁场能—与静电场中外界对电荷作功转化为电场能不同）

　例题 11-5

　均匀磁场中有一载流圆形线圈，其磁场方向与线圈平面平行。试求：（1）线圈所受的磁力矩；（2）线圈转过 90°时磁力的功。

　解：（1）线圈的磁矩 p m = IS = R 2 I ，方向如图 m

　 M p B   msin90 p B  

　2R IB  

　方向垂直 B B 指向上方 （2）线圈在初始位置时 m1cos BS   2 cos90B R    0 

　到平衡位置时 m2cos BS   2 cos0B R   2B R  

　m2m1m

　 d

　A I  m2 m1( - ) I   2IB R  

　本讲小结

　BI R mpM

　一、安培定律 d d F I l B   ，L dF F  Ld I l B   二、安培定律的应用 1.一段载流导体在磁场中受力 2.两平行电流间的相互作用，“安培”的定义 3.磁场对载流线圈的作用，磁力矩mM P B  

　三、磁力的功 d d A I   或21d A I  作业 ：

　-18

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