第十二章 稳恒磁场 前面我们研究了静电场的性质与基本规律。电荷是产生电磁场的源，电荷静止时激发静电场，电荷运动时，在运动电荷的周围空间，不仅存在电场，而且还存在磁场，磁场的产生与电荷运动形成的电流有关。我们把不随时间变化的电流称为稳恒电流，稳恒电流产生的磁场和永磁体周围的磁场一样，其空间分布不随时间变化，称为稳恒磁场或静磁场。实验证实：稳恒电流之间、磁极之间以及稳恒电流与磁极之间是通过稳恒磁场来传递相互作用的。
稳恒磁场和静电场是两种性质不同的场，但在描述方法、知识结构和数学工具上有很多相似的地方。本章我们研究稳恒电流产生的稳恒磁场的性质与规律。
§ §12.1 基本磁现象 一、磁现象的早期发现 人们最早发现并认识磁现象，是从天然磁石（含 Fe 3 O 4 的磁铁矿）能互相吸引的现象开始的。据史料记载，早在春秋时期(公元前 6 世纪)，我们的祖先就已有“磁石召铁”的记载，在东汉时期，发现了磁性指南器具-司南，宋朝就已制造了航海用的指南针，并且发现了地磁偏角，比哥伦布的发现早四百年。我国古代对磁学的建立和发展作出了很大的贡献。
人们对磁现象的早期认识包括一下几个方面：
1、天然磁铁具有吸引铁、钴、镍等物质的性质，这种性质称为磁性。
2、磁铁两端的磁性最强，磁性最强的部分称为磁极。在水平面内能自由转动的磁铁，在平衡时总是指向南北方向。人们把磁铁指北的一端称为指北极（用 N 表示），指南的一端称为指南极(用 S 表示)，磁铁的这种特性称为指向性。磁极具有指向性说明地球本身是一个巨大的磁铁，地磁的北极在地理南极的附近，它的南极在地理北极的附近。
3、磁极之间有相互作用，同名磁极相互排斥，异名磁极相互吸引。
4、将磁铁作任意分割，每个小磁铁仍具有 N 极和 S 极，即磁铁的 N、S 极总是同时存在的，自然界中没有单独存在的 N 极与 S 极。
5、某些原来不显示磁性的物体，在接近或接触磁铁后就有了磁性，称为磁化。
二、电流的磁效应 电现象和磁现象虽然早已被人们发现，但由于早期人们认识水平的限制，当时人们认为电和磁是两种互不相关的现象，因此彼此独立的发展着。直到 1819 年丹麦物理学家奥斯特(H.C.Oersted,1777—1851)发现电流的磁效应后，人们才认识到磁与电是不可分割地联系在一起的。1820 年，法国物理学家安培(A.M.Ampere,1775—1836)受奥斯特的启发，发现间距
很小的长直导线通上同向电流时相互吸引、而通反向电流时互相排斥的现象；接着又发现磁铁与电流之间也有相互作用、运动的带电粒子会在磁铁附近发生偏转等现象。
这些实验现象说明电流(或运动的电荷)之间的作用力和磁铁之间的作用力遵从相似的规律，揭示了电现象和磁现象之间有着不可分割的联系，事实上电流也能产生磁场，电流与电流、电流与磁铁以及磁铁与磁铁之间的相互作用是通过磁场来传递的，像电场一样，磁场是物质的一种存在形式。
三、分子电流假设 1822 年，安培为了解释物质的磁性和电流的磁效应的微观本质，提出了分子电流假设，即：一切磁现象都起源于电流(运动电荷)；一切物质的磁性都起源于构成物质的分子中存在的环形电流，这种环形电流称为分子电流。这种分子电流相当于最小的基元磁铁，物质的磁性就取决于这些分子电流的磁效应的总和。如果这些分子电流的取向毫无规则，它们对外引起的磁效应就会互相抵消，如图 12-1（a）所示，整个物体对外就不显示磁性，当物质中的分子电流的取向趋于沿着同一方向排列时，如图 12-1（c）所示，就会对外界产生一定的磁效应, 如图 12-1（b）所示。
图 12-1 安培 分子电流假设 当时，人们还不了解分子和原子的结构，因而不能解释物质内部的分子环流是怎样形成的，现在已经众所周知，任何物质都是由分子、原子构成的，而分子、原子内部的电子在绕核旋转的同时还存在自旋运动，电子的绕核运动和自旋运动形成了等效的环形电流，这便解释了物质的磁性的起源。近代关于物质磁性的量子理论表明，核外电子的运动对物质磁性有一定的贡献，但物质磁性的主要来源是电子的自旋磁矩。
可见，一切磁现象都起源于电荷的运动。可以说电流与电流、电流与磁铁以及磁铁之间的相互作用都可以归结为运动电荷（电流）之间的相互作用，这种相互作用是通过磁场来传递的。
S N 图 12-1(a) (b) (c)
电流 磁场 电流 无论电荷静止还是运动，它们之间都有库仑相互作用，但是只有运动电荷之间才有磁相互作用。
§ §12.2 磁场 磁感应强度 我们已经知道，静电荷在其周围能够产生电场，静电荷之间的作用力是通过电场来传递的，运动电荷之间以及运动电荷与磁铁之间是如何作用的? 一、磁场
关于运动电荷之间力的相互作用问题，在历史上曾经有两种观点。一种是超距观点，另一种是场的观点。人们经历了长期的研究认识到，运动电荷周围的空间除了产生电场，还产生磁场，运动电荷之间的作用是通过磁场来进行的。
磁场：运动电荷（或电流）周围空间存在的一种特殊形式的物质。
磁场是物质存在的一种形式。磁场的物质性表现在：（1）磁场对磁体、运动电荷或载流导线有磁力的作用；（2）载流导线在磁场中运动时，磁力要作功，从而显示出磁场具有能量。
二、磁感应强度 在静电学中，我们利用电场对静止电荷有电场力作用这一基本属性，引入电场强度矢量 E 来定量地描述电场的分布情况。与此类似，为了定量的描述磁场的分布状况，利用磁场对运动电荷有磁力作用这一性质，我们引入磁感应强度矢量 B 来定量地描述磁场的分布情况。
磁感应强度矢量 B 原则上可以用运动试探电荷、载流导线或者磁石在磁场中受力来描述磁场，此处我们选用运动试探电荷做为试探单元， ，根据进入磁场中的运动电荷所受的作用力来定义磁场强度。
将一个速度为 v 电量为 q 的试探电荷引入磁场，磁场对运动电荷的作用情况如图 12-2所示：
F + v B θ
(a) B F max
q v (c) v⊥B
F = F max 图12-2 运动的带电粒子在磁场中的受力情况 q (b) v∥B
F = 0 B q v v
+ _ F m
θ
θ
v
v
B
B
F m
图 12-3 洛伦兹力的方向 实验发现：
(1) 运动电荷在磁场中任一点的所受到的磁场力 F m ，不仅与电荷的电量 q、经过该点时的速率 υ 以及该点磁场的强弱有关，还与电荷的运动方向有关，F m
的方向总是与电荷的运动方向垂直，即：F m
υ 。
(2) 在磁场中任意一点都有一个与试探运动电荷无关的特征方向。当电荷沿该方向及其反方向运动时，电荷所受到的磁场力为零（F m
=0），而且该方向也正是自由旋转的小磁针平衡时 N 极的指向，如图（b）所示，我们将这一方向规定为磁场中该点的磁场方向。
(3) 当试探电荷垂直于磁场方向运动时，所受到的磁场力最大（F m
= F max ），并且不管 q、υ 和电荷运动方向与磁场方向的夹角 θ 如何，对于磁场中确定的点， F max
与 qv 的比值是一个确定值，其值仅由磁场的性质决定，可随场点位置的改变而不同，是场中位置的函数。
根据运动试探电荷在磁场中的受力特征，比值 F max / qv 客观地反映了磁场在该点的强弱和方向特征。为了描述磁场的性质，可据此定义一个矢量函数-磁感应强度 B，即 以单位速率运动的单位正电荷所受到的磁磁场力。
其大小为：maxFBqv
（12-1）
其方向为放在该点的小磁针平衡时 N 极的指向。
磁感强度 B 的单位，取决于 F、q 和 v 的单位，在国际单位制中，F 的单位是牛顿(N)，q 的单位是库仑(C)，v 的单位是米／秒(ms -1) ，则 B 的单位是 特斯拉，简称为特，符号为 T。所以：1 1 1 11 1 1 T N C m s N A m 。
与电场中情况相似，如果磁场中某一区域内各点 B 的大小相等、方向一致，那么，该区域内的磁场就叫 均匀磁场。不符合上述情况的磁场就是非均匀磁场。长直螺线管内中部的磁场是常见的均匀磁场。
三、洛伦兹力 运动电荷在磁场中受到的磁场力称为力 洛伦兹力 F m 。
实验研究表明：
（1）运动电荷在磁场中受到的洛伦兹力F m 的方向总是垂直于由速度 v 和该点处的 B所决定的平面。当 q > 0 时，F m
与矢量积 v B 的方向相同，当 q < 0 时，方向相反，
如图 12-3 所示，可见，洛伦兹力对运动电荷不做功，不改变运动电荷的动能。
(2) 若运动电荷在磁场中某点处的速度 v 和该点处的 B 的夹角为 θ ，在 SI 制中，F m 的大小为：F m
= qvBsin θ ,刚好等于矢量积 q v B 的大小。
所以，洛伦兹力的矢量表示为 mq F v B
(12-2) 因此，我们还可以将满足洛伦兹力公式（12-2）的矢量 B 定义为磁感应强度。
当带电粒子在既有电场又有磁场的区域中运动时，作用在该粒子上的电磁场力为 = = ( ) q q q F E v B E v B
(12-2a) 此式是电磁学的基本公式之一，无论带电粒子的速度多大，无论电场是否变化，该公式都适用，因此，称为普遍情况下的洛伦兹力公式。
最后应该注意，对于由运动电荷产生的磁场，由于运动的相对性，只有当场点相对于场电荷具有相对运动时，才具有一定的磁感应强度 B，根据相对论原理，对于固定在运动电荷本身上的参考系中的场点来说磁感应强度为零。
§ §12.3 稳恒 电流的磁场 在计算带电体在空间某点的电场强度 E 时，我们可以把带电体分成无限多个电荷元，先求出每个电荷元在该点产生的电场强度 E i ，再按场强叠加原理就可以计算出带电体在该点产生的电场强度 E。对于稳恒电流产生磁场的计算问题，能否也用这种方法呢？ 一、磁场叠加原理
能够产生磁场的磁石、电流、运动电荷统称为磁场的源。设有 n 个磁场源，每个磁场源都会在空间某点处产生各自的磁感应强度，若第 i 个磁场源在某点产生的磁感应强度为B i ，实验表明，在由若干个磁场源共同产生的磁场中，某点的磁感应强度 B，等于各磁场源单独在该点产生的磁感应强度 B 1 、B 2 、 、B n 的矢量和。可以表示为 1=niiB B
(12-3) 这一结论叫做磁场的叠加原理，可见，对于磁场也可以像电场一样利用叠加原理来计算。
一个任意电流可以看成无数个小电流元 d I l 首尾相接而成的。根据叠加原理，任意电流在某点产生的磁感应强度 B，应该等于组成该电流的所有电流元 d I l 在该点产生的磁感应强度 dB 的矢量和。则整个电流在该点产生的磁感应强度为
I I P dB r θ
Idl
图12-4 毕奥-萨伐尔定律—电流元产生的磁场 L= dB B
(12-3a) 要利用式（12-3a）计算磁感应强度 B，就必须先知道电流元在某点处产生的 dB，19世纪 20 年代，毕奥（J. B. Biot，1774-1827），萨伐尔（F. Savart，1791-1841），和拉普拉斯（Laplace，1749-1827）等科学家，通过实验分析得出电流回路中任一电流元 d I l 在空间产生的磁感应强 dB 度所遵循的规律，称为毕奥-萨伐尔定律。
二、毕奥- 萨伐尔定律
毕奥-萨伐尔定律的内容是：
载流导线上任一电流元 d I l ，在空间某给定点 P 所产生的磁感应强度 dB 的大小与电流元的大小（ Idl ）成正比，与电流元和电流元到 P 点的矢径 r 之间的夹角的正弦（ sin ）成正比，并与电流元到 P 点的距离的平方（2r ）成反比； dB 的方向垂直于 dl 和 r 所决定的平面，与矢量积 d I l r 的方向相同，如图 12-4 所示。
在国际单位制中，真空中的毕奥-萨伐尔定律的数学表达式为 02sin4IdldBr
（12-4a）
矢量表达式为 024rddrI l eB
（12-4b）
式中，re 为电流元指向场点的单位矢量 /rr e r ；704 10 T m/A ，称为真空磁导率。
根据磁场叠加原理，将式（12-4b）对在载流导线 L 积分便得到整个载流导线在 P 点产生的磁感应强度 024rL Lddr I l eB = B
（12-5）
处在磁场中的物质称为磁介质，毕奥-萨伐尔定律在无限大的磁介质中任然成立，不过表达式中的系数0 要换成与介质性质有关的 ， 称为磁介质磁导率， 与0 具有相同的单位，即 Wb/ A m ,0/r 称为介质的相对磁导率，真空可看做 1r 的磁介质。
值得注意的是，由于试验中无法获得单独的电流元，所以毕奥-萨伐尔定律本身是不能用实验直接验证的。然而由定律推算出的结果与实验相符合的事实，就间接证明了它的正确性。
由于式（12-5）是矢量积分，在一般情况下，各电流元在某场点产生的 dB 的方向不同，所以积分时比较困难，实际中，在计算时可选取直角坐标系，先求出 dB 在坐标轴上的分量xdB 、ydB 、zdB ，再分别积分，即 x xLB dB 、y yLB dB 、z zLB dB ，然后得总磁感应强度为 x y zB B B B= i+ j k
（12-6）
三、毕奥- 萨伐尔定律的应用 1. 运动电荷的磁场 由于电流是电荷定向移动形成的，因此，载流导线产生的磁场实质上是运动电荷产生的磁场的宏观表现。
电流元中的电流可视为正电荷定向移动形成的。如图 12-5，设 S 为电流元的截面积，每个电荷 q 以速度 v 沿着电流方向匀速运动。若导体单位体积内的运动电荷数为 n，则每秒有 N（= nSv）个电荷通过截面 S，通过的电量为 Q = qnSv，单位时间通过导体横截面 S 的电量 qnSv 即为流过截面 S 的电流为 I。
I = qnSv, 将电流代入毕奥-萨伐尔定律得 02( )4rnqvS ddr l eB
由于电荷定向移动的速度 v 方向与 dl同向，于是，上式可写为 02( )4rnqSdldr v eB
长度为d l的电流元中运动电荷数为d N = nSdl，因此，每个电量为 q，以速度 v 运动的电荷在空间任意一点 P 处产生的磁感应强度 B 为 02= 4rq ddN r v e BB
(12-7) B 的方向垂直于 v 和 r 所决定的平面，当 q 为正电荷时，B 的方向为矢量积 v r 的方向，当 q 为负电荷时，B 的方向于矢量积 v r 的方向相反，如图 12-6 所示。
说明：
① 公式（12-7）成立条件：v << C； B v v 图12-5 运动电荷的磁场方向 B 垂直纸面向外 B 垂直纸面向里 B
② 用电场表示，则有0 021c ＝ B v E v E ，其中204rqr E e 。
2. 有限长直载流导线的磁感强度。
如图 12-6 所示，有限长直载流线 AB 的电流为 L，P 点到载流线距离为 a，电流元 Idl到 P 点的矢径为 r，距原点 O 的距离为 l，Idl 与 r 的夹角为 θ 。根据毕奥—沙伐尔定律，P点的磁感强度 dB 的大小为 02sin4IdldBr
dB 的方向为矢量积 d I l r 的方向，如图所示。由矢量积的性质和 L 上各电流元的方向不难看出，导线上任一电流元在 P 点产生的磁感应强度方向相同，因此，整个导线在 P 点产生的磁感应强度 B 的大小为 02L LsinB=4IdldBr 由图中的几何关系可知， sin( ) sin a r r ，则 cos r a ec ； cot( ) cot l a a ，则2cos dl a ec d
因此
210 02L LsinB= sin4 4I IdldB dr a 积分上式，得 01 2B (cos cos )4Ia
（12-8）
式中的 θ 1 和 θ 2 分别为载流导线两端点处的电流元到 P 点的矢径和电流元的夹角。
若导线为无限长，即导线的长度 L 远远大于导线到场点 P 的距离 a（a<<L）时，上式中1 20, ，则有
0 0B (cos0-cos )=4 2 a I I
（12-9）
若导线为半无限长，则1 2,2 ，所以 0B4 aI
（12-10）
这便是无限长载流导线附近一点的磁感应强度，与电流 I 成正比，与场点到导线的距离平方成反比，方向在以 a 为半径、垂足为圆心的圆周的切线上，并与电流方向服从右手螺旋图12-6 直线电流的磁场 z x y P r a O
dB θ 2
θ
θ 1
L l
关系。同时，该结论与无限长均匀带点导线产生的电场强度的分布0=2Ea非常相似。这种相似性也揭示了静电场和静磁场的内在联系。
3. 载流线圈轴线上的磁场分布 设一半径为 R 的圆线圈上的电流强度为 I。求轴线上任意一点 P 处的磁感应强度为 B。
如图 12-7 所示，以圆心为坐标原点，建立直角坐标系，则 OX 轴为圆形电流的对称轴。在圆形电流上任取电流元 d I l ， d I l 与其到 P 点的矢径 r 之间的夹角为 / 2 ，该电流元在 P点处产生的磁感应强度的大小为 024dldBr I，方向如图所示，即垂直于电流元 d I l 和矢径 r 所决定的平面。
圆周上不同位置处的电流元在 P 点处产生的 dB 的方向各异，由 d I l r 而定，但是各dB 与轴线成相同的夹角，将围成一个以 P 点为顶点的圆锥面，我们可以把 dB 分解成与轴线平行的分量 dB 和与轴线垂直的分量 dB 两部分，即 sin dB dB ，
cos dB dB
由对称性可知， 0LB dB ，因此，P 点的磁感应强度应是圆形电流上所有电流元的 dB 的代数和，即 02sin4L L LIdl RB dB dBr r
20324R Ir
因为2 2 2r R x ，所以
202 2 3/22( )IRBR r
（12-11）
B 的方向沿 x 轴正方向，与圆形电流构成右手螺旋关系。
讨论：
（1）若 x = 0，即圆形电流在其圆心处的磁感应强度的大小为
02IBR
（12-12）
（2）若 x >> R，即在圆形电流的轴线上很远处，此时可近似认为2 2 3/2 3( ) R x x ，则I O r Idl x y z P 图12-7 圆电流的磁场 dB
dBdBx θ
θ
2032IRBr
（12-13）
（3）一段载流圆弧，若对圆心的张角为 θ ，则圆心处的磁感应强度的大小为 02 2IBR
（12-14）
（4）若圆形电流由 N 匝线圈组成，则圆心处的磁感应强度大小为 02NIBR
（12-15）
4. 载流螺线管轴线上的磁场 设半径为 R 总长度为 L 的螺线管单位长度内的匝数为 n，通有电流 I。若螺线管是密绕的，则可将其看成是一系列圆线圈并列在一起来组成的，如图 12-8 所示。
取螺线管的中心 O 为原点，轴线为 x 轴，场点 P 距原点 O 为 x。则在距 P 点 l 处的 dl 内共有 ndl 匝，每匝在场点 P 产生的磁场元沿轴线方向，大小为 202 2 3/22 [ ( ) ]R IdB ndlR x l 则整个螺线管在 P 点产生的总磁感应强度为 2/202 2 3/2/212 [ ( ) ]LLR dlB nIR x l 因2 2( )sinRr R x l ， cos x l r ，故有 cot x l R ，取微分得 2sinRddl
将上面的积分变量 l 换为，则有 212 202 31 sin2 sinr RdB nIr 213 302 31 sin2 sinr dnIr 0 2 11(cos cos )2nI
（12-16）
1 、2 分别为场点 P 到螺线管两端的连线与 x 轴正向的夹角。
x L dB β 1 l r dl β
β 2 R
P
O
图12-8
由（12-14）式可得如下结论：
（1）若 R<<L，即无限长载流直螺线管，此时1 ，20 ，则有 nI B0 0
（12-17）
上述结果表明，无限长载流直螺线管内轴线上个点处的磁场是均匀磁场。
(2) 对于半无限长螺线管的断点处，有 01 ， 2 /2 或 2 /1 ， 2，则有
nI B0 2 / 121
（12-18）
事实上，只要螺线管长度 L R ，上述两式亦都近似成立。也就是说，当 L R 时，螺线管内很大一个范围内的磁场近于均匀，只在端点附近 B 值才有所下降，如图 12-9 所示。
总之，利用磁场的叠加原理和毕奥-萨伐尔定律可以计算任意电流的磁场，应用毕奥-萨伐尔定律计算磁感应强度的步骤为：① 建立适当的坐标系，在载流导线上任选一电流元，标出电流元到场点的位矢，确定两者的夹角；② 根据奥-萨伐尔定律写出电流元在场点产生的磁感应强度 dB 的表达式；③ 对 dB 的方向进行分析，通常要写出 dB 在各坐标轴上的分量，当导线具有对称性时，进行对称性分析可使计算简化；④ 分别对 dB 的各个分量积分（求和），积分范围为整个载流导线；⑤ 将 dB 各分量积分的结果合成为矢量，即得到所求场点处的磁感应强度。
例 12．1 求氢原子的磁场 解：根据经典理论，H 原子中的电子在绕核做圆周运动，其运动速率保持为 62.2 10 m/s v ，稳态时的轨道半径 1115.3 10 m r ，计算出电子在运动时在轨道中心产生的磁感应强度 B。
如图 12-10，原子空间可视为真空，电子绕核匀速圆周运动的速度 v 与 r 垂直，因此，应用运动电荷产生的磁场公式，可得圆心处 B 的大小为 7 19 602 11 2sin 4 10 1.6 10 2.2 1012.5 (T)4 4 (5.3 10 )qvBr 由于电子带负电，所以 B 的方向为 v r 的反方向，即垂直于纸面向里。
例 12．2 一无限长载流导线弯曲成如图 12-11 所示的形状，导线中电流强度为 I,四分子三圆O x +l/2 - l/2 B 012nl 图12-9 B 0 r
v
θ
图12-10 氢原的磁场
弧的半径为 R。求圆心 O 处的磁感应强度 B。
解：将导线分为①、②、③段，其中①和③段为半无限长直导线，②为部分圆弧，设各段电流在 O 点产生的磁感应强度分别为 B B 1, B B 2 2 ,B 3 3 . . 根据叠加原理，O 点的磁感应强度为 1 2 3B B B B
由于 O 点在导线①的延长线上，所以，在 O 点产生的磁场的磁感应强度为零，既 10 B
导线②为四分子三圆弧，有圆点流的磁感应强度公式（12-14）,可得圆心处 O 点 0 023 34 2 8I IBR R
方向垂直纸面向外。
导线③是半无限长直导线，由公式（12-10）得 034IBR
方向垂直纸面向外。
所以，O 点总的磁感应强度为 0 0 01 2 33 20 ( 1)8 4 4 3I I IB B B BR R R
B 的方向垂直纸面向外。
例 12．3 如图 12-12 所示，有一宽为 a 的无限长薄铜片，其电流强度为 I。试求在铜片所在平面上，距铜片一边为 a 的 P 点的磁感应强度。
解：可以把薄铜片看做由无限多个有一定宽度的无限长载流直线条组成，每个直线条可以的等效为一直线电流，根据叠加原理，P 点的磁感应强度就是所有这些无限长直电流在该点的磁感应强度 dB 的矢量和。
建立如图所示坐标，对于宽度为 dx 的无限长细条导线，通过该导线的电流强度为
IdI dxa
它在 P 点产生的磁场为 0 02 2dI IdxdBa ax
图 12-11 O I R ① ② ③ a a x dI dx P 图 12-12 o
dB 的方向垂直纸面向外。
因所以长直导线在 P 点产生的 dB 的方向都相同，所以，P 点的磁感应强度为 20 00ln22 2aIdx IB dBax a B 的方向垂直纸面向外。
§ §12.4 磁场的 高斯定理 静电场的高斯定理表明，静电场是有源场，电荷是电力线的源。与此相似，恒定电流的磁场也有一个相似的定理-磁场的高斯定理，它将揭示出磁场的什么性质呢？恒定电流的磁场和静电场在这一方面有什么本质上的区别？本节将专门讨论这一问题。
一、磁感应线 为了直观、形象化的描述磁场在空间的分布情况，我们像在电场中引入电场线来描述电场的分布那样，引入磁感应线来描述磁场的分布。为此，我们在磁场中作一系列曲线，并规定：曲线上任意一点的切线方向与该点的磁感应强度 B 的方向一致；曲线的疏密程度表示所在空间磁感应强度矢量的大小分布，即通过某点处垂直于 B 的单位面积上的磁感应线条数越多，该处的 B 就越大，否则越小。因此， B 大的地方，磁感应线就密集； B 小的地方，磁感应线就稀疏。像这样的曲线族称为 磁感应线。
磁感应线的分布可以用实验的方法显示出来，通常是利用细铁粉在磁场中的取向来显示磁感应线的分布。图 12-13 给出了几种典型磁场磁感应线的分布情况。
引入磁感应线以后，在国际单位之中，磁感应强度 B 的大小可用下式来表示 = =dNBdS B
(12-19) 式中，dN 表示通过面积微元的磁感应线的条数； dS 为面积微元 dS 在垂直于该店出磁感应强度方向的投影。若面积元矢量 dS = dS n，n 为该面积元外法线方向的单位矢量，(a) 直电流的磁感应线
(b) 圆电流的磁感应线
(c) 螺线管电流的磁感应线 图 12-13 几种典型磁场磁感应线的分布 B n θ
dS S 图12-14
则 sin dS dS ，θ为 n 和该店出的 B 方向之间的夹角。如图 12-14 所示。
通过分析各种磁场磁感应线的分布情况，可以得出磁感应线具有以下特点：
① 磁感应线是一系列闭合曲线，没有始点和终点。
② 磁场中任意两条磁感应线不相交。
③ 磁感应线的环绕方向和电流方向之间服从右手螺旋关系。
二、磁通量 事实上，对于任何矢量场我们都可以像电场一样引入通量的概念。磁感应强度 B 是空间位置的矢量函数，磁场是矢量场，我们可以引入相应的磁通量。
通过磁场中某一曲面的磁感应线的条数称为通过该曲面的 磁通量，简称为磁通，用 Φ m 。磁通量是标量，但它可有正、负之分。磁通量 Φ m 的计算方法与电通量 Φ e 的计算方法类似。如图 12-14 所示，在磁场中任一给定曲面 S 上取面积元 dS ，若 dS 的法线 n 的方向与该处磁感应强度 B 的夹角为 θ ，则通过面积元 dS 的磁通量为
mdΦ d BcosθdS B S
(12-20) 式中， dS 是面积元矢量，其大小等于 dS，其方向沿法线 n 的方向。
通过整个曲面 S 的磁通量等于通过此面积上所有面积元磁通量的代数和，即
m mS S SΦ dΦ d BcosθdS B S
(12-21) 在 SI 制中，磁通量的单位是 Wb(韦伯)，1 Wb = 1Tm 2 。由磁通量的定义可知 B 就是单位面积上的磁通量，因而 B 又称为磁通量密度，其单位又可以写成 Wb/m，1Wb/m=1T。
对于闭合曲面 S，规定由里向外为法线的正方向，磁感应线由闭合曲面穿出时磁通量为正，反之为负。则总的磁通量为 SmΦ d B S
(12-22) 数值上等于从闭合曲面 S 上穿出与穿入的磁感应线条数之差。
三、磁 场的高斯定理 由于磁感应线是无头无尾的闭合线，所以穿入闭合曲面的磁感应线的条数必然等于穿出闭合曲面的磁感应线数。因此，通过磁场中任一闭合曲面的总磁通量是恒等于零。这一结论称作 磁场的高斯定理。数学表达式为 0Sd B S
(12-23)
磁场的高斯定理是电磁场的一条基本规律。大量的实验事实证明，这一结论对于变化的磁场亦然成立。
上式与静电场中的高斯定理相对应，但两者有本质上的区别。静电场的高斯定理为0SS01d q 内部E S ，由于自然界有独立存在的自由电荷，所以通过某一闭合曲面的电通量可以不为零，静电场的高斯定理说明静电场是有源场。磁场的高斯定理 0Sd B S 表明，通过任一闭合面的磁通量必恒等于零。两者比较可以看出静电场和磁场本质上的区别，电场线是由电荷发出的，总是始于正电荷而终于负电荷或无穷远处，因此，静电场是有源场，电荷为静电场的源；磁感应线都是环绕电流且无头无尾的闭合曲线，自然界不存在磁单极子，说明了磁场是是一个无源场。
例 例 12．4 真空中一无限长直导线通以电流 I，若一矩形 ABCD 与导线共面，如图 12-15 所示。求通过矩形 ABCD 面积 S 的磁通量。
解：建立图示的坐标系，由于无限长直线电流在面积 S 上各点所产生的磁感强度 B 的大小随 x 的改变而变化，所以计算通过 S 面的磁通量 Φ m 时要用积分。
在矩形面积 S 上取宽度为 dx、平行于直线电流 I 的面积微元 dS，则 dS = bdx，设面积元 dS 的位置坐标为 x。
面积微元 dS 上各点 B 的大小相等，B 的方向均垂直纸面向里。取 dS 的方向也垂直纸面向里，则 dS 上各点处的 B 和 dS 的法线方向之间的夹角为 θ = 0 。
由磁场的高斯定理得 00S=22l amS lμ IΦ d BdScosθ bdxπxμ Ib l alnπ l B S § §12.5 安培环路定理 由于静电场中的电场线不是闭合曲线，电场强度沿着任一闭合路径的线积分（环流）恒等于零，即L0 d E l 。这是静电场的一个重要性质，说明静电场是一个保守场，并由此引入电势这个物理量来描述静电场。
对于恒定电流的磁场，也可以用磁感应强度 B 沿任一闭合路径的线积分Ld B l 来反映它的性质。但是在磁场中，磁感应线都是环绕电流并且无头无尾的闭合曲线，在沿某一条磁I B C D a A b l dS x x O 图12-15
感应线的线积分Ld B l 中，由于在每一线段元上的 B 与 d l 方向相同，标量积 > d 0 B l ，所以，B 的线积分Ld B l 一般不为零。这一性质决定了恒定电流的磁场不是保守场，不能引入类似电势的概念。
磁感应强度 B 的线积分Ld B l 究竟与什么有关呢？下面的定理将给出它们之间十分简单的定量关系。
一、安培环路定理 首先，我们以长直载流导线产生的磁场为例，计算沿任意路径的线积分ld B l 的值，然后再介绍安培环路定理。
1. 取对称闭合环路 L 环绕一长直载流导线 真空中的长直载流导线所形成的磁场的磁感应线是一组以导线为轴线的同轴圆，圆心在导线上，圆面与导线垂直。以载流导线为圆心作一个半径为 r 的圆形环路 L 作为积分的闭合路径，如图 12-16 所示。
在环路 L 上任一点处磁感应强度 B 的大小为02IBr ，方向为曲线的切线方向。若取环路的绕行方向为逆时钟方向，则环路上任一线元矢量 dl 的方向于该处 B 的方向一致，即B 与 dl 的夹角 θ = 0，则 002L L LId Bdl dl Ir B l
如果积分路径的绕行方向或电流的方向有一个发生改变，由于每个线元 dl 与 B 的夹角θ π ，则 0L L= d Bdl I B l cos
上述结果说明：磁感强度 B 的环路积分等于该路径所环绕的电流与真空磁导率的乘积，积分路径的绕行方向与所包围的电流方向有关，而与积分路径的圆半径 r 无关。
2. 取任意闭合环路 L 环绕一长直载流导线 在垂直于载流导线的平面内围绕导线作任一闭合环路 L，环路的绕行方向取逆时钟方向如图 12-17 所示。在环路 L 上任一环路上任一线元矢量 dl 处磁感应强度 B 的大小为02IBr ，若 B 与 dl 的夹角 θ ，则 cos d Bdl B l = ，设线元对导线的张角为 d Φ , cos rd dl ，因此 I B dl r 图12-16 对称环路包围电流
20 00cos cos cos2 2L L LI Id Bdl dl dr B l
由此得
0Ld I B l
若环路的绕行方向或电流方向之一发生变化，重复上述相关计算过程即可得 0cos( )L Ld Bdl I B l
得到与对称闭合环路相同的积分结果。
3. 取任意环路不环绕电流 如图 12-18 所示，电流 I 在闭合环路 L 之外，在环路上任取一线元 dl 1 ，对电流所张的圆心角为 dφ，同一张角dφ在闭合环路的另一侧对应有另一线元dl 2 。
设线元 dl 1 处的磁感应强度为 B 1 ，dl 1 和 B 1 的夹角为 θ 1 ；dl 2 处的磁感应强度为 B 2 ，dl 2 和 B 2 的夹角为 θ 2 。
由图可知，1/2 ，2/2 ，又有几何关系 cos dl rd ，所以 01 1 1 12Id B rd d B l ；02 2 2 22Id B r d d B l
因此有
1 1 2 20 d d B l B l
闭合环路总可以分为一对对这样的线元，而磁感应强度与每对线元的标量积之和都是零，故得 =0Ld B l
即环路外的电流对环路上各点的磁场 B 有贡献，但对积分Ld B l 无贡献。
4. 闭合环路环绕多根长直载流导线 设有n根电流为I
i (j = 1,2,…n)的载流导线穿过以闭合环路L， m根电流为I
j
(j=1,2, …m)的载流导线未穿过该环路，根据磁场的迭加原理，可得到该闭合路径的环流 ld B l01niiI
式中 B 是由 12iI (i n) ， 、 12jI ( j m) ， 共（n+m）个电流共同产生的。
上述结果表明：在真空中，稳恒磁场的磁感强度 B 沿任一闭合路径的线积分，等于穿过该环路的所有电流的代数和的 μ 0 倍。这就是 稳恒磁场的安培环路定理，其数学表达式为
I dI B P r d θ
图12-17任意环路L包围电流 dl 1 L B 1 B 2 dl 2 12r 1 r 2 图 12-18 任意环路不包围电流 I
0Liid I B l
(12-24)
有关安培环路定律的普遍证明，可以从毕奥—萨伐尔定律出发来证明，此处从略。安培环路定理反映了磁场的基本规律。与静电场的环路定理 0ld E l 相比较，稳恒磁场中 B的环路积分 0ld B l ，说明稳恒磁场的性质和静电场不同，静电场是保守场，稳恒磁场是非保守场。
二、安培环路定理的应用 正如静电场的高斯定理可以方便的计算具有对称性的带电导体的电场强度一样，安培环路定理是磁场的一个普遍定理，可以用它方便地计算某些有对称性的载流导线的磁感强度。
下面我们利用安培环路定理来讨论几个具有一定对称性的电流所产生磁场的分布。
1.长直载流螺线管内的磁场 设密绕长直螺线管长度为 L、半径为 R、单位长度的导线匝数为 n，导线中的电流强度为 I。
首先作对称性分析：长直密绕载流螺线管可以看作由无穷多个共轴的载流圆环组成，其产生的磁场是各匝圆电流所激发磁场的叠加。在长直载流螺线管的中部任选一点 P，在 P 点两侧对称性地选择两匝圆电流，由圆电流的磁场分布可知，二者磁场叠加的结果，磁感强度B 的方向与螺线管的轴线方向平行。由于满足 L>>R，可以忽略边沿效应，螺线管可以看成是无限长，所以，只要 P 点不是太靠近两端，就可以在其两侧找到许多对对称的圆电流，每一对圆电流在 P 点处的磁场都与轴线方向平行且方向相同。由于 P 点的任意性，可以推知管内每一点的磁场几乎都平行于轴线，且其大小亦都相等。而在管的外侧，磁场很微弱，可忽略不计，即 B = 0 。磁场分布如图12-19 所示。
其次，选取适当的闭合环路：既然在管内的磁场是均匀的，其方向与轴线平行，并可按右手螺旋法则判定其指向（与每一元电流的磁场方向相同）；而在管的中央部分外侧，磁场很微弱，可忽略不计，即 B = 0 。据此，选择如图 12-19 所示的过管内任意场点 P 的一矩形闭合曲线 abcda 作为积分路径 L 。设矩形环路的长和宽分别为 l 1 和 l 2 ，且环路沿逆时钟方向绕行。
再次，计算磁感应强度 B 的环路积分：如图所示，环路 ab 段的 dl 方向与磁场 B 的方向一致，故在 ab 段上， d Bdl B l ；在环路 cd 段上，B = 0，则 0 d B l ；在环路 bc 段和图12-19 长直载流螺线管的磁场
l 1B Pacdbl 2
da 段上，管内部分 B 与 dl 垂直，管外部分 B = 0，都有 0 d B l ，因此，沿此闭合路径 L，磁感强度 B 的环路积分：
l ab bc cd da abd d d d d Bdl = B l B l B l B l B l
由对称性分析可知 ab 段的磁场是均匀的，故上式积分的结果为 1l abd Bdl Bl B l
最后，由安培环路定理求磁感应强度 B：螺线管上每单位长度有 n 匝线圈，通过每匝的电流是 I，则闭合环路所包围的总电流为1nl I ，根据右手螺旋法则，其方向是正的。由安培环路定理有 1 0 1Bl nl I
于是得
B = μ 0 n I
(12-25) 此式表明：对于长直密绕螺线管，其管内的磁场是均匀的。螺线管为在实验上建立一已知的均匀磁场提供了一种方法，正如平行板电容器提供了建立均匀电场的方法一样。
当然，由于数学上的困难，用毕奥—萨伐尔定律只能求出长直螺线管轴线上的磁场，而用安培环路定理则可求得管内任一点的磁场，且计算过程较为简单。但利用毕奥—萨伐尔定律可求出短直载流螺线管轴线上的磁场，而用安培环路定律则不能。
2. 均匀密绕螺绕环的磁场 设均匀密绕螺绕环的总匝数为 N，内侧和外侧的半径分别为 r 1 和 r 2 ，导线中的电流为 I。
绕在环面上的螺线形线圈称为螺绕环。若利用毕奥—萨伐尔定律是无法求得的，但用安培环路定理则相当简单。
由于电流的分布具有中心轴对称性，因而磁场的分布也具有轴对称性。根据对称性，可以断定螺绕环内部某一圆周上每一点磁感应强度 B 的大小相等，方向都沿该圆周的切向并与电流方向遵守右手螺旋关系，如图 12-20 所示。在环内作半径为 r 的圆形环路，绕行方向如图所示，则磁感应强度 B的环路积分为 2L LB dl B dl rB 由于环路内所包围电流的代数和为iiI NI ，由安培环路定理得 图12-20 密绕螺绕环的磁场 O r 1 rr
L
2Ld rB NI B l
于是
002N IB nIr
(12-26) 此式表明：对于均匀密绕螺绕环，环内的磁场是均匀的。
以上两种情况说明，长直螺线管、均匀密绕螺绕环的内部磁场都是均匀磁场，事实上，短直螺线管在其内部中央区域也是均匀磁场。这说明螺线管具有很好的磁屏蔽、磁约束、磁聚焦（带电粒子在磁场中的运动）性能，技术应用也正源于此。
3. 无限大均匀载流平面的磁场 设电流在无限大平面上均匀分布，单位宽度上的电流为 j，如图 12-21（a）所示。
首先，我们对该电流及其磁场进行对称性分析：如图 12-21（b）所示，将无限大均匀载流平面的磁场看成是由无穷多个相互平行的长直载流导线的磁场叠加成的。关于场点两侧对称的每一对长直载流导线的磁场叠加，结果是垂直于载流平面的磁场分量互相抵消，只剩下平行于平面的分量，因此，无限大均匀载流平面的在其两侧的磁场方向与平面平行，方向与平面电流成右手螺旋关系，由电流分布的对称性可知，距平面距离相等的点处的磁感应强度相等。
其次，选取适当的闭合环路：根据无限大均匀载流平面的磁场的分布，我们可选图 12-21（b）所示的举行环路 abcd 作为积分环路，其中 ad 段和 bc 段与平面平行，取环路的绕行方向与磁场方向一致。
然后，我们计算磁感应强度 B 的环路积分：由于环路的绕行方向与磁场方向一致，ab段和 cd 段与磁场 B 的方向一致，即 d Bdl B l ；环路的 ab 段和 cd 段与磁场 B 的方向垂直，即 0 d B l = ，于是，磁感应强度 B 的沿环路 L 的积分为 0 2b c d aL a b c dc a cb d bd d d d dB dl B dl B dl B l B l B l B l B l 最后，根据安培环路定理计算磁场：该闭合环路包围的电流为cibiI j dl ，于是，由安培环路定理有 图12-21 密绕螺绕环的磁场 I (a) (b) B j P b c d L a B P`
0 02c cib biB dl I j dl 所以
012B j
(12-27) 综合以上几个例子，我们可以归纳出利用安培环路定理求磁感应强度 B 的方法与步骤。
安培环路定理是磁场的一个普遍定理，但要用它直接计算磁感强度，只限于电流分布具有某种对称性，即利用安培环路定理求磁场的前提条件是：如果在某个载流导体的稳恒磁场中，可以找到一条闭合环路 L，由于对称性使该环路上各点处的磁感强度 B 大小相等，环路的绕行方和电流方向满足右手螺旋关系，这样利用安培环路定理求磁感强度 B 的问题，就简化为求环路长度，以及求环路所包围的电流代数和的问题，即
L Ld B dl B l01iiI
，
0LiiIBdl 所以，利用安培环路定理求磁场的适用范围是，在磁场中能否找到满足以上特点的环路。这一点取决于磁场分布的对称性，而磁场分布的对称性又来源于电流分布的对称性。应用安培环路定理，计算一些具有一定对称性的电流分布的磁感应强度十分方便，解题步骤如下：
① 首先分析电流的分布及其对称性，从而利用磁场的叠加原理分析磁场分布的对称性； ② 根据磁场分布的对称性，选择适当形状的闭合环路，并计算积分ld B l ； ③ 计算所选闭合环路所包围电流的点数和iiI ； ④ 最后，利用安培环路定理0Liid I B l ，求出磁感应强度 B。
§ §12.6 磁场对电流的作用 前面我们讨论了稳恒电流的磁场，知道了电流的磁场的闭合环路积分与环路所包围的电流有关。其实，这只是电流和磁场二者之间相互关系中的一个方面。本节我们将讨论问题的另一个方面，即磁场对电流的作用。
一、磁场对载流导线的作用力 1. 安培力 放置在磁场中的载流导线，将受到磁场力的作用。磁场对载流导线作用力的基本规律是由法国物理学家安培于 1820 年 12 月通过大量实验总结出来的，称为安培定律，磁场对载流导线的作用力又叫做 安培力。
安培定律：位于磁场中的电流元 Idl 将受到磁场的作用力 dF，dF 的大小与电流元所在处磁感应强度 B 的大小，电流元（Idl）的大小以及 Idl 和 B 之间夹角的正弦 sinφ 的乘积成
正比。数学表达式为 sin dF kBIdl
在国际单位制中，比例系数 k = 1，所以上式简化为 sin dF BIdl
（12-28）
dF 的方向垂直于由 Idl 和 B 所决定的平面，并且三者的方向服从右手螺旋法则，如图12-22 所示。因此上式可写为矢量式 d d F I l B
（12-28a）
知道了电流元所受到的磁场力，根据磁场的叠加原理，就可以计算一段给定长度的载流导线所收到的安培力，又因为电流是连续的，实际上用积分来求 dF 的矢量和。即 Ld F I l B
(12-29) 2. 安培力与洛伦兹力 事实上，安培力是洛伦兹力的宏观表现。导线中的自由电子受到外磁场的洛伦兹力，使其动量增大，电子增加的动量最终又传递给导线上的正离子结构，宏观上就表现为导线受到磁场的安培力。
若电流元 Idl 中，载流子电荷为 q，漂移速度为 v，载流子数密度 n，则载流子所受洛伦兹力为 q v B ，整个电流元内载流子所受洛伦兹力的总和为 ( ) d nsdl q F v B ，由于 qv与 dl 的方向相同，则 d nSv q d F l B ，又由于 I nSv q ，所以有 d Id F l B 。可见，电流元所受安培力本质上是洛伦兹力的宏观表现。
例 例 12．5 如图 12-23 所示，电流 I 1 和 I 2 的长度分别为 l 1 和 l 2 ，相互垂直并且在同一平面内，I 2 的始段到 I 2 的距离为 a，求 I 2 所受安培力。
解：
：
以 I 2 为 x 轴，坐标原点在 I 1 上建立坐标系。I 2 处在 I 1 产生的磁场中，B 方向垂直于纸面向里。在 I 2 上 x 处的电流元 I 2 dl 中 B 可视为均匀的，大小为 0 1=2IBx 则电流元 I 2 dl 所受磁场力为 0 1 22sin2 2I IdF BI dx dxx
根据右手螺旋关系，力的方向在平面内向上，根据磁场B Idl dF θ
图12-22电流元所安培力方向
图12-23 O1I2I2ladFx
的叠加原理，整个电流 I 2 所受安培力为 20 1 2 0 1 2 2ln2 2a laI I I I a lF dxx a 求解载流导线在磁场中受到的安培力，一般是先根据题意确定磁场方向，然后，在载流导线上选取电流元，由安培力公式 d d F I l B 写出力的表达式，最后，根据磁场的叠加原理求出安培力 F。
例 12．6 有一半径为 R 的半圆形导线，通有电流为 I，处在均匀磁场 B 中，若导线所在平面与 B 垂直，求作用在导线上安培力。
解：在导线上任意取一电流源 Idl，由安培定律可知，该电流元受力的大小为 dF = IBdl
dF 的方向沿半径向外。由于各电流元受力方向不同，求整段导线上的受力要计算矢量积分。
选取如图 12-24 所示坐标系。求 F 可将 dF 分解为 dF x和 dF y ，即 cosxdF dF ，sinydF dF 由于电流元的分布对称于 y 轴，故在对称点处的电流元所受安培力的 x 分量互相抵消，而只有 y 分量的分力对合力有贡献，即 0x xF dF ， 00sin sin[ cos ]y yLF dF IBdl IBR dIBR ΙΒR 所以，y= =2 F IBR F j j
由上述计算结果可见，在于均匀磁场垂直的平面内，半圆形载流导线所受磁力的大小，正好等于长度为 2R 的载有同样电流的直导线所受的力。
例 例 12．7 两条相互平行的无限长直载流导线上的电流分别为 I 1 ，I 2 相距为 a。求：每条导线上每单位长度所受的安培力。
解：如图 12-25 所示，首先计算导线 2 上每单位长度所受到的安培力。
在导线 2 上任取一电流元 I2dl2，根据毕奥-萨法尔定律，可求得导线 1 中的电流 I1 在导线 2 上个点，所产生的磁感应强度的大小为 图 12-24 o dθ dF x
dF y
dF x y Idl I I 2 I 1 B 1 B 2 dF 1 dF 2 I 1 dl 1 I 2 dl 2 图 12-25
0 112IBa
B 1 的方向与导线 2 垂直。
由安培定律可知，电流元 I 2 dl 2 所受安培力的大小为 0 12 1 2 2 2 22IdF B I dl I dla
dF 2 的方向在纸面内垂直于导线 1。
因为导线 2 上各电流元的安培力方向相同，所以导线 2 上单位长度受安培力为 0 1 2 222I I dFdl a
同理，可求导线 1 上单位长度所受的安培力为 0 1 2 112I I dFdl a 方向与 dF2 方向相反。
可见，同向平行电流元之间互相吸引。不难看出，反响平行电流元之间互相排斥，请读者自己证明。
在国际单位制中，电流的单位 “安培”，就是用量平行长直导线间的作用力来定义的。安培的定义为：真空中相距 1 米、电流大小...