摘要：该文在对数学史中两种分别在不同时期占据主流位置的无穷观加以分析与比较的基础上，纵向梳理了无穷观的历史发展脉络，并以此为参考系，提出一些面对不同阶段教学任务时应有所不同侧重的启示点。
关键词：实无穷；潜无穷；悖论；对比教学
1.前言
“无穷”这一概念自古以来在数学中一直占据着重要的位置，与其有关的运算法则也无时不受到的争计。从某种意义上说，“无穷”可算是数学当中最迷人的概念之一。
事实上，在数学发展过程中一直存在着两种针锋相对的“无穷”观：实无穷与潜无穷。简而言之，实无穷是把“无穷”看作一个既存的现有实在，是一个稳定的无限整体；而所谓潜无穷是把“无穷”当成一个不断发展不断延续的过程，并非一个现成的固定不变的存在，与之相反恰恰是永远不能够终结的过程，所以只能是“潜在的”无穷。数学史当中，这两种无穷观时而分庭抗礼，时而不加区分地交织在一起，在数学发展的同时，也反映出人的自身思维层次的不断发展。
2.历史发展轨迹
2.1“无穷”思想的起源
关于“无穷”思想的萌芽直可追至两千多年前。在中国《庄子》一书中有言：“一尺之棰，日取其半，而万世不竭。”在古希腊，毕达哥拉斯学派发现了第一个无理数，并认识了这样一种与以往信念中构成世界的单位自然数完全不同的性质，即不可公度性，亦可理解为一种从十进制的直观上不可穷尽表达的量。
不难发现“实无穷”、“潜无穷”这两种无穷观实质上来自于古典自然哲学家们对世界本原的两种基本观念的对立：即组成世界的本原的最小不可分或无限可分性。此即实无穷与潜无穷的思想源头。严格意义上的概念则是由亚里士多德首先提出的。他指出必须将“潜在无穷”与“真空的无穷”加以区分，并只承认潜无限的意义。
亚氏的区分其最直接目的是对芝诺悖论的反驳。芝诺悖论当时是为反驳运动与变化而提出来的，其中最著名的“阿基里斯追乌龟”：跑得最快的阿基里斯永远追不上爬得最慢的乌龟。大意是说甲的速度大于乙，但乙比甲先行一段距离，甲为了赶上乙，须超过乙开始的A点，但甲到了A点，则乙已进到A1点，而当甲再到A1点，则乙又进到A2点，依次类推，直到无穷，两者距离虽越来越近，但甲永远追不上乙。显然这与事实是截然相反的，这凸现了当时对“无穷”理解的混乱。
然而问题的症结何在呢？
2.2微积分曲折发展中的“无穷”
但在随后几个世纪中，由于宗教神学的统治，在意识形态上与神学相契合的实无穷观念在数学中也一直占据着统治地位。
随着时代的发展，实践中出现更多新数学问题，有待数学家们加以解决，如曲线切线问题、曲线形面积问题、瞬间速度问题、变力做功问题……用现代数学语言，总的可以归结为求导与求积两大类问题。
面对新的问题，初等数学方法越来越无力，需要的是新的数学思想和工具，不少数学家都曾为此做出不懈努力，并取得了一定成绩。事实上科学史学家的研究发现，微积分思想在远古时期已经出现，阿基米德的穷竭法自是不必多说，我国魏晋时期数学家刘徽也提出了“割圆术”，并阐述道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”但公正地来说，是牛顿和莱布尼兹突破性地意识到求导与求积这两类问题本质上是一种运算的互逆过程，并以无穷小思想为基础，成功运用无限过程的运算，创立了微积分学。微积分学出现后，成为解决众多问题的有力的工具，并在实际应用中获得了巨大成功。
我们将其运用在芝诺悖论上，问题的症结会立马清晰起来：甲“永远”追不上乙的过程只不过是一个无穷收敛级数求和的问题。因为按照芝诺的推理过程，将甲乙每一段相距长度设为an,通过积分考察可以发现数列{an}的和构成一个极限值，而芝诺顶多证明的是：对于n均有an＞0。在数学分析当，当n→∞时，有an→0，且a1+a2+a3+……+an其和值趋近于一个常数，其意义在于：甲只不过是在某一段有限的空间（或时间）长度内追不上乙。而芝诺将这一段有限的空间（或时间）进行了一个无限收敛的级数划分，无意中用有限长度的无限划分的概念取代了长度的无限延伸概念。这便澄清了因对不同层次的“无穷”概念的混淆而导致的悖论。
微积分学的创立虽然获得了巨大的成功，但必须指出，当时对微积分基础“无穷小”的理解仍然停留在一种不可分量的最终元素，亦即“实无穷”的观念上。而积分早期的无穷小观念逻辑并不严密，无穷小量的“同一性”被忽视，又致使“贝克莱悖论”出现。贝克莱悖论，引起了一定程度的混乱，从而导致了数学史上第二次数学危机。但在实践中微积分方法又确实取得了巨大的成功，人们被迫于一个尴尬的境地：通过错误的数学方法来得出正确的结论（或者如贝克莱所说的“错上加错才得到了正确”）。
这个局面一直到19世纪才得到了改善，柯西、维尔斯特拉期等人引入极限论、实数论，使微积分理论严格化，从而避免了贝克莱悖论，圆满解决了第二次数学危机。这一次对微积分的基础的严密考察和重新定义，从根本上说关键在于用极限方法代替了无限小量方法。所谓极限方法亦现在的每一个理工科大学生在学习数学分析的初期都要接触到的“€%^€%]”极限方法。毫无疑问，这是一次“潜无穷”的伟大胜利。
那如果我们在数学分析当中是不是可以尝试将“实无穷”的观念坚持到底呢？
2.3数学基础中的“无穷”
由于潜无穷概念在微积分基础重建工作中大获全胜，所以当康托尔在他的集合论当中把全体自然数看作一个集合（亦即把无限的整体作为了一个构造完成了的东西）时，他对完成了的作为整体的“实无穷”的肯定自然遭到了当时许多数学家们的攻击。但他并未止步，反而以前所未有的方式，继续正面探讨无穷，终于在实无限观念基础上进一步得出一系列结论，创立了意义十分深远的理论。
康托尔提出无穷集合的概念，其最具革命性的飞跃认识是无穷集合之后的一一对应关系的基本原则，以此寻求无穷集合的“多少”关系。他把两个能一一对应的集合称为同势，利用势的关系他将无限集进行了分类。他最终证明了在所有的无穷集之间还存在着无穷多个层次，并且根据无穷性有无穷种的学说，对各种不同的无穷大建立了一个完整的序列，他称为“超限数”，由此建立起关于能够无穷延伸下去的无穷的超限数理论。
整座数学大厦，通过各极限理论、实数理论、自然数论的层层递归，最终将其严格性与融贯性归结到集合论，数学绝对严格的目的似乎就要达到了。但就在希尔伯特喊出最后冲锋的口号不久，罗素发表了自己发现的关于集合论自身存在悖论的观点。
罗素构造了一个集合U，U由所有不属于自身的集合组成，但U是否属于自身呢？如若U属于自身，则U并拥有“不属于自身”的性质，矛盾；如若U不属于自身，则根据此性质可知U并属于自身，同样矛盾。
罗素悖论相当简洁明了，不得已使成为数学基石的集合论陷入自相矛盾中，由此引发了第三次数学危机。危机产生后，包括罗素本人在内的众多数学家投入到解决危机的工作中去。集合论公理系统的提出，对无限集合的构造方法进行了一定的限制；而罗素公理系统更是对逻辑层次进行了明确的划分，并规定不可随意越过鸿沟向高层次肆意跨入。
实质上，这些公理化方法都只是在某一个层面上避免了“罗素悖论”而并没有真正解决“罗素悖论”，这只是在表层上解决了第三次危机，而笔者甚至对最终是否能够解决亦保留怀疑。
尽管如此，随着公理化集合论的进展，对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统进行研究的数理逻辑出现了。而现代数理逻辑因其基础集合论对实无穷的肯定又为“无穷大”、“无穷小”重新进来微积分提供一个合适的框架。通过运用无穷小量重新刻划微积分，美国逻辑学家罗宾逊建立了“非标准分析”方法，与建立在极限理论之上的“标准分析”相对应，但现在的数学家们已经越来越倾向于将这二种方法看作为等价的方法。这样便从某种意义上回答了上面那个是否能将实无穷坚持到底的问题。
3.教学启示
将数学史中的“无穷”观加以整理对比，两种无穷的差别可以规范为如下两点：
其一，从生成的角度看，潜无穷永远是现在进行式(going)，而实无穷却是完成式(gone)。
其二，从存在的角度看，潜无穷是动态的、不完全确定的、构造性的和潜在的，而实无穷则是静态的、固定的、非能行的、不可构造的和独立存在的。
这两点同时可以视为两种无穷观的基本性质。而这两种无穷观不容混淆原则又是指：无条件承认，潜无穷与实无穷无论从生成角度还是从存在角度看，都不存在任何意义上的等同。
就数学教学者而言，通过纵观数学史中“无穷”观的发展与对比，使之深刻理解到这两种观点的根本差异之所在，同时在运用辩证法思维把握好二者相互对应存在的关系的基础上，面对不同阶段的教学任务相应地向学生介绍不同观点的侧重点，达到开拓学生思维、促进其对方法的灵活掌握、加深其对数学基础观念理解的作用。这便是用发展的观点看待数学观点进步对数学教学的启示意义。
具体来说，从古典时期到中世纪再到近代和现代，历史中的主流无穷观反复经历了“实无穷——潜无穷”这样一个此消彼长的过程，最后到达当代这样一个两者并重的时期，这样一个过程同样可以借鉴到数学教学中来。
例如，在中学数学对函数求导与无穷收敛数列求和的教学中，已经可以适当引入潜无穷概念来引导学生去理解“无限缩小的过程”的观念，因为尽管在此之前的小学数学教学当中没有关于无穷概念的教学任务，但现代心理学表明人的意识在天性上有将一切过程、关系等非实体性概念实体化的趋势，那些未受到过潜无穷观念熏陶的孩子一般情况下都有着实无穷观念的倾向性，所以应当相对有意识地向他们介绍潜无穷的观念，适当地加以引导。尤其在大学阶段作为理工科大学生基本素质的分析数学教学当中，更是有必须对柯西极限理论加以潜无穷观的解释，明确地培养学生面对无穷的“发展过程”意识（相应地可以将这个阶段的教学工作类比于数学史上近代的极限理论严格化时期）。但对于数学专业的学生或者是自然科学理论专业的研究生而言，仅仅强调潜无穷是不够甚至可能会阻碍学生的全面思维发展，所以在这样的教学当中又需要教学者相应地整理出现当代数学当中实无穷观念成功运用的例子，向学生加以展示以此重新调整学生观念中对两种无穷观的不同侧重，尤其是针对那些有志于从事科学理论研究方向工作的，更应当开阔他们的视野而不囿于对一种观点的过人重视，并鼓励他们发表自己的新观点。这实质上这是一种对比教学的新运用。
参考文献：
[1]韩雪涛.《数学悖论与三次数学危机》[M]湖南科学技术出版社.
[2]M.克莱茵.《古今数学思想》[M]上海科学技术出版社.
[3]罗素,怀特海.《数学原理》[M]西苑出版社.