特级教师小学奥数汇编教材
第十九讲
统计与概率
【专题知识点概述】
在我们日常生活中，通过对统计数据的分析，我们可以了解某一情况，作出某些决定，如根据商场销售量的统计数据，决定如何进货；也可以由部分个体的情况了解总体的情况，如通过抽样调查了解我国人口状况等；还可以对现实生活中的某些现象作出判断，如评判游戏活动的公平性、获奖的可能性等；还可以对一些事物的未来状况作出预测，如预测次日下雨的可能性等．
在数学内部，概率统计与其他分支的结合，使数学科学出现了许多新进展，如具有广泛应用性的蒙特卡罗方法等．
在其他领域，概率统计也发挥着日益重要的作用，如考古工作者可以通过统计数据分析一 件文物的年代；文学工作者可以通过两本著作中部分词语的使用频率分析作者的写作风格，并判别它们是否出自同与作者；自然科学工作者可以通过概率统计分析，提出一些理论假设，以解释一些自然现象．
一、基本概念
在统计里，我们把所要考察对象的全体叫做总体，其中的每一个考察对象叫做个体。
从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。样本中个体的数目叫做样本的容量。
总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，把样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。
二、概率的定义
随着人们遇到问题的复杂程度的增加，等可能性逐渐暴露出它的弱点，特别是对于同一事件，可以从不同的等可能性角度算出不同的概率，从而产生了种种悖论。另一方面，随着经验的积累，人们逐渐认识到，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示一定的稳定性。n R.von 米泽斯把这个固定数定义为该事件的概率，这就是概率的频率定义。从理论上讲，概率的频率定义是不够严谨的。
A.H. 柯尔莫哥洛夫于 3 1933 年给出了概率的公理化定义。
普遍认为，人们对将要发生的机率总有一种不好的感觉，或者 说不安全感，俗称「点背」，下面列出的几个例子可以形象描述人们有时对机率存在的错误的认识：
■ 1. 六合彩：在六合彩（9 49 选 选 6 6 ）中，一共有 6 13983816 种可能性（参阅组合数学），普遍认为，如果每周都买一个不相同的号，最晚可以在13983816/52 （周）9 =268919 年后获得头等奖。事实上这种理解是错误的，因为每次中奖的机率是相等的，中奖的可能性并不会因为时间的推移而变大。
■ 2.
生日悖论 ：在一个足球场上有 3 23 个人（2 2 ×1 11 个运动员和 1 1 个裁判员），不可思议的是，在这 2 23 3 人当中至少有两个人的生日是在同一天的机率要大于 50 ％。
■ 3. 轮盘游戏：在游戏中玩家普遍认为，在连续出现多次红色后，出现黑色的机率会越来越大。这种判断也是错误的，即出现黑色的机率每次是相等的，因为球本身并没有“记忆”，它不会意识到以前都发生了什么，其机率始终是
18/37 。
■ 4.
三门问题 ：在电视台举办的猜 隐藏在门后面的汽车的游戏节目中，在参赛者的对面有三扇关闭的门，其中只有一扇门的后面有一辆汽车，其它两扇门后是山羊。游戏规则是，参赛者先选择一扇他认为其後面有汽车的门，但是这扇门仍保持关闭状态，紧接著主持人打开没有被参赛者选择的另外两扇门中後面有山羊的一扇门，这时主持人问参赛者，要不要改变主意，选择另一扇门，以使得赢得汽车的机率更大一些？正确结果是，如果此时参赛者改变主意而选择另一扇关
闭著的门，他赢得汽车的机率会增加一倍。
【重点难点解析】
1. 概率的基 本含义
2. 事件总数与满足条件的事件
3. 简单的统计图表
【竞赛考点挖掘】
1. 扇形的统计图表
2. 用排除法解决概率问题
【习题精讲】
【例 1 1 】（难度等级
※）
在多家商店中调查某商品的价格，所得的数据如下（单位：元）
25
21
23
25
27
29
25
28
30
29
26
24
25
27
26
22
24
25
26
28 请填写下表 价格范围 商品数 所占百分数 20.5
~
22.5
22.5
~
24.5
24.5
~
26.5
26.5
~
28.5
28.5
~
30.5
合计
【分析与解】
价格范围
商品数
所占百分数
20.5
~
22.5
21
22
10%
22.5
~
24.5
23
24
24
15%
24.5
~
26.5
25 25 25 26 26 25 25 26
40%
26.5
~
28.5
27 28 27 28
20%
28.5
~
30.5
29
29 30
15%
合计
100%
【例 2 2 】（难度等级
※）
在一只口袋里装着 2 个红球，3 个荒丘和 4 个黑球。从口袋中任取一个球，请问：
（1）
这个球是红球的概率有多少？ （2）
这个球是黄球或者是黑球的概率有多少？ （3）
这个是绿球的概率有多少？不是绿球的概率又有多少? 【分析与解】
口袋里一共有 9 9 个球，2 2 个红球，随机取有 9 2/9 的概率取到红球
这个球不是是红球就是黄球或者黑球，所以取到黄球或者黑球的概率是 7/9 ，
由于没有绿球，所以取到旅求概率是 0 0 ，不是绿球的概率是 1 1
【例 3 3 】（难度等级
※※）
一只普通的骰子有 6 个面，分别写有 1、2、3、4、5、6。掷出这个骰子，它的任何一面朝上的概率都是 1/6.假设你将某一个骰子连续投掷了 9 次，每次的结果都是 1 点朝上。那么第十次投掷后，朝上的面上的点数恰好是奇数的概率是多少？ 【分析与解】
本题要注意当你投掷 9 9 次之后的结果其实对第十次是没有影响的，所以第十次投掷只要投掷出 1 1 ，3 3 ，5 5 就满足条件，而总共有 1 1 ～6 6 六种可能，所以概率是 1/2.
【例 4 4 】（难度等级
※）
冬冬与阿奇做游戏：由冬冬抛出 3 枚硬币，如果抛出的结果中，有 2 枚或 2 枚以上的硬币正面朝上，冬冬就获胜；否则阿奇获胜。请问：这个游戏公平吗？ 【分析与解】
冬冬获胜的概率为，两枚或者两枚以上硬币正面朝上，
两枚硬币正面朝上的概率为从三次投掷中选两次正面朝上有 3 3 种可能，每种的概率是3 3 个 个 2 1/2 连乘。等于 3/8 ，
三枚硬币都正面朝上概率为 1/8 。
所以冬冬获胜的概率为 1/2. 也就是阿奇获胜概率也是 1/2 ，所以游戏是公平的。
【例 5 5 】（难度等级
※※）
有黑桃、红桃、方块、草花这 4 种花色的扑克牌各 2 张，从这 8 张牌中任意取出 2 张。请问：这 2 张扑克牌花色相同的概率是多少？ 【分析与解】
先从 8 8 张牌中选 2 2 张牌有 8 28 种选法。
然后满足条件的选法只有 4 4 种，即 4 4 种不同的花色，所以这两张牌花色相同的概率是
4/28 ＝ 1/7
【例 6 6 】（难度等级
※※）
小悦从 1、2、3、4、5 这 5 个自然数中任选一个数，冬冬从 2、3、4、5、6、7 这 6 个自然数中任选一个数。选出的两个数中，恰好有一个数是另一个数的倍数的概率是多少？ 【分析与解】
小悦从 1 1 、2 2 、3 3 、4 4 、5 5 这 这 5 5 个自然数中任选一个数，有 5 5 种选法
冬冬从 2 2 、3 3 、4 4 、5 5 、6 6 、7 7 这 这 6 6 个自然数中任选一个数，有 6 6 种许选法
所以总共的组合有 5 5 ×6 6 ＝0 30 种不同选法，
其中满足倍数关系的分别有小悦取 1 1 时，有 6 6 种
小悦取 2 2 时，有 3 3 种 , 小悦取 3 3 时，有 2 2 种, ,
小悦取 4 4 时，有 2 2 种，小悦取 5 5 时，有 1 1 种，
一共有 4 14 种. . 所以满足条件的概率是 14/30 ＝ 7/15
【例 7 7 】（难度等级
※※※）
一直口袋里装有 5 个黑球和 3 个白球，另一只口袋里装有 4 个黑球和 4 个白球。从两只口袋里各取出一个球。请问：取出的两个球颜色相同的概率是多少？ 【分析与解】
总共的取法数是 8 8 ×8 8 ＝4 64 种
满足条件的选法有当选出都是黑球 5 5 ×4 4 ＝ 20 种
当选出都是白球
3 3 ×4 4 ＝ 12 种
一共有 2 32 种满足条件
所以两个球颜色相同概率是 32/64 ＝ 1/2
【例 8 8 】（难度等级
※※※）
阿奇一次指出 8 枚硬币，结果恰有 4 枚硬币正面朝上的概率是多少？有超过 4 枚的硬币正面朝上的概率是多少？ 【分析与解】
投掷 8 8 枚硬币，恰有 4 4 次正面朝上，应该从 8 8 次中选择 4 4 次正面朝上，这四次朝上的概率是 是 4 4 个 个 2 1/2 的联乘，这时不要忘记剩下的 4 4 次一定是反面朝上，也是 4 4 个 个 2 1/2 的连乘，所以恰好 4 4 枚硬币朝上的概率是 35/128 。
利用对称的思 想，有超过 4 4 枚硬币正面朝上的概率应该和有少于 4 4 枚硬币朝上的概率相同，所以有超过 4 4 枚硬币正面朝上的概率为（1 1 － 35/128 ）÷2 2 ＝ 93/256
【例 9 9 】（难度等级
※※※）
在一次军事演习中，进攻方决定对目标进行两次炮击。第一炮命中的概率是 0.6，第二炮命中的概率是 0.8.请问：两炮都集中目标的概率是多少？恰好有一炮击中目标的概率是多少？两炮都未击中目标的概率是多少？ 【分析与解】
两炮都击中目标的概率是同时都击中时的 0.6 × 0.8 ＝ 0.48
恰有一炮击中目标，第一炮击中第二炮没击中，等于 0.6 × 0.2 ＝ 0.12
第二炮击中第一炮没击中，等于 0.4 × 0.8 ＝ 0.32
恰有一炮击中概率为 0.44
【例 10 】（难度等级
※※）
张先生每天早晨上班时有 1/3 的概率碰到堵车。在不堵车的时候，张先生按时到达单位的概率为 0.9，吃到的概率为 0.1；而堵车的时候，张先生上班迟到的概率高达 0.8，按时到达的概率只有 0.2.请问：张先生上班迟到的概率是多少？ 【分析与解】
张先生迟到的概率分为不堵车时， 2/3 × 0.1 ＝ 1/15
堵车时， 1/3 × 0.8 ＝ 4/15
所以迟到的概率是 1/3
【例 11 】（难度等级
※※）
口袋里装有 100 张卡片，分别写着 1，2，3，……，100.从中任意抽出一张。请问：
（1）
抽出的卡片上的数正好是 37 的概率是多少？ （2）
抽出的卡片上的数是偶数的概率是多少？ （3）
抽出的卡片上的数是质数的概率是多少？ （4）
抽出的卡片上的数是 101 的概率是多少？ （5）
抽出的卡片上的数小于 200 的概率是多少？ 【分析与解】
随机抽出有 0 100 种可能，所以是 7 37 的概率是 1/100
0 100 种有 0 50 个偶数，所以是偶数概率是 50/100 ＝ 1/2
0 100 以内有 5 25 个质数，所以是质数的概率是 1/4
抽出卡片不可能是 101 ，所以概率为 0 0
抽出所有数都小于 200 ，所以概率为 1.
【例 12 】（难度等级
※※※）
在标准英文字典中，由 2 个不同字母组成的单词一共有 55 个.如果从 26 个字母中任取 2 个不同的排列起来，那么恰好能拍成一个单词的概率是多少？ 【分析与解】
从 从 6 26 个自母中任选 2 2 个字母进行排列有 0 650 种不同的选法，满足条件的只有 6 26 种，
所有恰好构成一个单词的概率是 55/650=11/130
【例 13 】（难度等级
※※※）
妈妈去家乐福购物，正好碰上了橘子、香蕉、葡萄和榴莲大降价。于是她决定从这 4 中水果中任选一种买回家。爸爸下班时路过集贸市场，发现有苹果、橘子、香蕉、葡萄和梨出售。他也决定任选一种买回家。请问：他们买了不同的水果的概率是多少？ 【分析与解】
妈妈爸爸都买香蕉的概率是 1/4 × 1/5=1/20
都买橘子的概率是 1/4 × 1/5=1/20
都买葡萄的概率是 1/4 × 1/5=1/20 。
所以他们买的水果不同的概率为 1 1- - 3/20=17/20
【例 14 】（难度等级
※※※）
小悦掷出了 2 枚骰子，掷出的 2 个数字之和恰好等于 10 的概率有多少？ 【分析与解】
掷出 2 2 个骰子总情况有 6 6 ×6 6=36 种，
其中和为 0 10 的有第一次掷出 4 4 ，第二次掷出 6 6
第一次掷出 5 5 ，第二次掷出 5 5
第一次掷出 6 6 ，第二次掷出 4 4 ，
所以满足条件情况只有三种，所以恰好为 0 10 的概率是 1/12 。
【例 15 】（难度等级
※※※）
盒子里装着 20 支圆珠笔，其中有 5 支红色的，7 支蓝色的，8 支黑色的。从中随意抽出 4支，每种颜色的笔都被抽出的概率是多少？ 【分析与解】
0 20 支笔从中选出 4 4 支笔，总共
5 4845 种不同选法，
其中 3 3 种颜色都有的情况是，
一：2 2 支红色 1 1 支蓝色 1 1 支黑色
10 ×7 7 ×0 8=560 种，
二：1 1 支红色 2 2 支蓝色 1 1 支黑色
5 5 × 21 ×0 8=840 种，
三：1 1 支红色 1 1 支蓝色 2 2 支黑色
5 5 ×7 7 ×0 28=980 种。
所以一共有 0 560+840+980=2380 种
满足条件的概率是 2380/4845=28/57
【例 16 】（难度等级
※※※）
用下图中两个转盘进行“配紫色”游戏． 分别旋转两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，则可配成紫色，此时小刚得 1分，否则小明得 1 分．这个游戏对双方公平吗？若你认为不公平，如何修改规则，才能使该游戏对双方公平呢？ 【分析与解】
为了保证自由转动转盘，指针落在每个区域的可能性相同，我们把转盘 (1) 按逆时针把红色区域等分成四部分，分别记作红 1 1 、红 2 2 、红 3 3 、红 4 4 ，转盘 (2) 也类似地把蓝色区域分别记作蓝 1 1 、蓝 2 2 、蓝 3 3 、蓝 4 4 ．接下来，我们就可以用列表法计算分别旋转两个转盘，其中一个转盘转出红色，另一个转出蓝色可配成紫色的概率．列表如下：
第二个转盘转出的颜色
第一个转盘转出的颜色
蓝 蓝 1 1
蓝 蓝 2 2
蓝 蓝 3 3
蓝 蓝 4 4
红色
红 红 1 1
√
√
√
√
×
红 红 2 2
√
√
√
√
×
红 红 3 3
√
√
√
√
×
红 红 4 4
√
√
√
√
×
蓝色
×
×
×
×
√
注：“√”表示可配成紫色，“×”表示不可配成紫色．
分别转动两个转盘，可配成紫色的概率为1725，不可配成紫色的概率为825．
因此，这个游戏对双方不公平，对小明不利．
【例 17 】（难度等级
※※※）
小明和小刚改用如图所示的两个转盘做“配紫色”游戏．配成紫色，小刚得 1 分．否则小明得 1 分，这个游戏对双方公平吗？为什么？ 【分析与解】
由上面两个转盘做“配紫色”游戏，等可能的结果列表如下：
第二个转盘转出的颜色
第一个转盘转出的颜色
红
黄
蓝
红
( ( 红，红) )
( ( 红，黄) )
( ( 红，蓝) )
蓝
( ( 蓝，红) )
( ( 蓝，黄) )
( ( 蓝，蓝) )
由上面的表格可得：配成紫色的概率为2 16 3 ，配不成紫色的概率为4 26 3 ，因此游戏不公平，对小刚不利．
【例 18 】（难度等级
※※※）
转动如图所示的转盘两次，每次指针都指向一个数字．两次所指的数字之积是质数，游戏者 A 得 10 分；乘积不是质数，游戏者 B 得 1 分．你认为这个游戏公平吗？如果你认为这个游戏不公平，你愿意做游戏者 A还是游戏者 B ？为什么？你能设法修改游戏规则使得它对游戏双方都公平吗？ 【分析与解】
根据题意，我们可以用列表法计算出两次指针所指数字之积是质数的概率和积不是质数的概率．列表如下：
第一次转动指
针所指数
第二次转动
指针所指数
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
1 1
1 1 ×1 1
1 1 ×2 2
1 1 ×3 3
1 1 ×4 4
1 1 ×5 5
1 1 ×6 6
2 2
2 2 ×1 1
2 2 ×2 2
2 2 ×3 3
2 2 ×4 4
2 2 ×5 5
2 2 ×6 6
3 3
3 3 ×1 1
3 3 ×2 2
3 3 ×3 3
3 3 ×4 4
3 3 ×5 5
3 3 ×6 6
4 4
4 4 ×1 1
4 4 ×2 2
4 4 ×3 3
4 4 ×4 4
4 4 ×5 5
4 4 ×6 6
6 136 630 536 65 5
5 5 ×1 1
5 5 ×2 2
5 5 ×3 3
5 5 ×4 4
5 5 ×5 5
5 5 ×6 6
6 6
6 6 ×1 1
6 6 ×2 2
6 6 ×3 3
6 6 ×4 4
6 6 ×5 5
6 6 ×6 6
由表格可求得转动转盘两次，指针所指数字之积是质数的概率为
，指针所指数字之积不是质数的概率为
．游戏显然不公平．当然愿做 A A ，因为 A A 得高分的可能性较大．若使游戏公平，游戏规则应修改为：两次所指的数字之积是质数，则游戏者 A A 得 得 5 5 分；乘积不是质数，游戏者 B B 得 得 1 1 分．这样对游戏者双方都公平．
【例 19 】（难度等级
※※※※）
用转盘(如图)做游戏，每次游戏游戏者需交游戏费 1 元．游戏时，游戏者先押一个数字，然后快速地转动转盘，若转盘停止转动时，指针所指格子中的数字恰为游戏者所押数字，则游戏者将获得奖励 36 元．该游戏对游戏者有利吗？转动多少次后，游戏者平均每次将获利或损失多少元？ 【分析与解】
在此游戏中，指针落在 7 37 个区域的可能性是一样的，而游戏者押中的概率为
，押错的概率为137、3637
每押中一次获得奖金 (36 －1 1 ＝5 )35 元，押错损失 1 1 元，因此转动多次后，游戏者平均每次将获利 35 ×137－1 1 ×3637＝－137( ( 元) ) ．
因此，该游戏对游戏者不利，游戏者平均每次损失137元．
【例 20 】（难度等级
※※※※）
小悦与阿奇比赛下军棋，两人水平相当，两人约定塞 7 局，先赢 4 局者胜，现在已经比了三局，小悦胜了 2 局，阿奇胜了 1 局。请问：小悦获得最后胜利的概率有多少？ 【分析与解】
小悦已经胜了 2 2 局，
如果 5 5 局结束比赛，则第 4 4 第 第 5 5 局小悦都胜利了，概率为 1/4
如果 6 6 局结束比赛，则 4 4 ，5 5 局中阿奇胜了 1 1 局，第六局小悦胜，
概率为 2 2 × 1/2 × 1/2 × 1/2=1/4
如果进行了 7 7 场比赛，则 4 4 ，5 5 ，6 6 局比赛中小悦只赢了一局，第 7 7 局小悦胜利，
3 3 × 1/2 × 1/2 × 1/2 × 1/2=3/16
所以小悦总共获胜的概率是 11/16
【作业】
1.
甲乙两人在靶场射击。甲击中目标的概率是 0.6 ，乙击中目标的概率是 0.7. 两人朝
着同一个目标各射击一次，结果目标被击中了。请问：恰好是甲击中目标而乙没有击
中的概率是多少？
【答案】
9/44
2. 口袋里装有 3 3 张卡片，一张一面红一面黄，一张一面黄一面蓝，一张一面蓝一面红。张莉从口袋中随意摸出其中一张，发现朝向自己的一面恰好是红色。请问，此时这张卡片的另一面是蓝色的概率是多少？ 【答案】1/2 3. 口袋里装有 4 4 张卡片，两张两面全黑，一张两面全白，一张一面黑一面白。张莉从
口袋中随意摸出其中一张，发现朝向自己的一面恰好是黑色。请问，此时这张卡片的
另一面是还是黑色的概率是多少？
【答案】
4/5
6 4. 6 名小朋友在操场上做游戏，他们被老师分成三组，每组 2 2 个人。请问：赵倩和孙
莉恰好分到了同一组的概率是多少？
【答案】
1/5
5. 某工厂生产了 0 200 件商品，合格率是 99% ，那么从中抽取 1 1 件恰好是次品的概率是
1% 。请问：从中抽查 5 5 件，发现瓷瓶的概率比 5% 大还是比 5% 小？
【答案】小
挑战自己
（难度等级
※※※※※）
某人练习射击，在有戴眼镜的情况命中率是 20% ，没带眼镜的命中率是 0% 。他在 5 5 次射击后都未命中目标，求他戴了眼镜的概率是多少？
【答案】
1024/4149
数学家陈景润
陈景润是一个家喻户晓的数学家，在攻克哥德巴赫猜想方面作出了重大贡献，创立了著名的“陈氏定理”，所以有许多人亲切地称他为“数学王子”. . 但有谁会想到，他的成就源于一个故事. .
7 1937 年，勤奋的陈景润考上了福州英华书院，此时正值抗日战争时期，清华大学航空工程系主任留英博士沈元教授回福建奔丧，不想因战事被滞留家乡. .几所大学得知消息，都想邀请沈教授前进去讲学，他谢绝了邀请. . 由于他是英华的校友，为了报达母校，他来到了这所中学为同学们讲授数学课. .
一天，沈元老师在数学课上给大家讲了一故事：“0 200 年前有个法国人发现了一个有趣的现象：
6=3+3 ， 8=5+3 ， 10=5+5 ， 12=5+7 ， 28=5+23 ， 100=11+89. 每个大于 4 4 的偶数都可以表示为两个奇数之和. . 因为这个结论没有得到证明，所以还是一个猜想. . 大数学欧拉说过：虽然我不能证明它，但是我确信这个结论是正确的. .
它像一个美丽的光环，在我们不远的前方闪耀着眩目的光辉. . ……”陈景润瞪着眼睛，听得入神. .
从此，陈景润对这个奇妙问题产生了浓厚的兴趣. . 课余时间他最爱到图书馆，不仅读了中学辅导书，这些大学的 数理化课程教材他也如饥似渴地阅读. . 因此获得了“书呆子”的雅号. .
兴趣是第一老师. . 正是这样的数学故事，引发了陈景润的兴趣，引发了他的勤奋，从而引发了一位伟大的数学家. .