现有的控制理论及其优缺点以及 未来控制理论的发展趋势 机硕 5 1005 班
邹锐
3111003015 摘要：现有的控制理论主要有经典控制理论，现代控制理论，相平面法，描述函数法，绝对稳定性理论，李亚普诺夫稳定性理论，输入输出稳定性理论，微分几何方法，微分代数方法，变结构控制理论，非线性系统的镇定设计，逆系统方法，神经网络方法，非线性频域控制理论，混沌动力学方法等。这些理论各有自己的研究重点和优缺点。本文对这些理论及其优缺点进行了论述并探讨了未来控制理论的发展趋势。
关键词：现有控制理论，优缺点，发展方向
1 1 经典控制理论 控制理论的发展已经经过了近百年的历程，并在控制系统设计这一工程领域发挥着巨大的作用[1]。例如，在现代社会的工业化进程，科学探索，国防军备的现代化，以及人们的日程生活中发挥着越来越大的作用。迄今为止，控制理论已经经过了经典控制和现代控制理论阶段。
对于控制理论的发展，最早可追溯到两千年前，当时我国发明的指南车，水运仪象台等已经包含有自动控制的基本原理，这是控制理论的萌芽阶段。随着科学技术与工业的发展，到十七十八世纪，自动控制技术逐渐应用到现代工业中。例如 1681 年法国物理学家，发明家 D.Papin 发明了用作安全调节装置的锅炉压力调节器。到 1788 年，英国人瓦特在他发明的蒸汽机上使用了离心调速器，解决了蒸汽机的速度控制问题，引起了人们对控制技术的重视，这是控制理论的起步阶段。1868 年，英国物理学家麦克斯韦通过对调速系统先行常微分方程的建立和分析解决了速度控制系统中出现的剧烈震荡的速度不稳定性问题，提出了简单的稳定性判据，开启了用数学方法研究控制系统的途径。之后，数学家劳斯，赫尔维茨，奈奎斯特，伯德等人相继提出了各种控制方法。这是控制理论的发展阶段。1947 年，控制论的奠基人美国数学家维纳出版了《控制论—关于在动物和机器中控制与通讯的科学》。1948 年，美国科学家伊万斯创立了根轨迹分析方法。我国著名科学进钱学森于 1954 年出版了《工程控制论》。标志着经典控制理论的成熟。
在经典控制理论中，传递函数是最重要的数学模型，以时域分析法，频域分析法和根轨迹法为主要分析设计工具，构成了经典控制理论的基本框架。经典控制理论主要用于解决反馈控制系统中控制器的分析与设计问题[4]。如图为反馈控制系统的简化原理图（图 1）。
图 1 反馈控制系统简化原理图
经典控制理论的优缺点是：
经典控制理论的 优点是以传递函数为数学工具,本质上是频域方法,主要研究“单输入单输出”(Single-Input Single-output, SISO)线性定常控制系统的分析与设计,对线性定常系统已经形成相当成熟的理论。典型的经典控制理论包括 PID控制、Smith 控制、解耦控制、Dalin 控制、串级控制等。
经典控制理论虽然具有很大的实用价值,但也有着明显的 局限性 [4]：主要表现在：经典控制理论只适用于 SISO 线性定常系统,推广到多输入多输出(Multi-Input Multi-Output, MIMO)线性定常系统非常困难,对时变系统和非线性系统则更无能为力;用经典控制理论设计控制系统一般根据幅值裕度、相位裕度、超调量、调节时间等频率域里讨论的指标来进行设计和分析。对于被控系统很复杂，控制精度要求高的要求，不能得到满意的效果。
2 现代控制理论
20 世纪 50 年代中期, 特别是空间技术的发展,迫切要求解决更复杂的多变量控制器 控制对象 输入 输出 干扰
系统、非线性系统的最优控制问题(例如火箭和宇航器的导航、跟踪和着陆过程中的高精度、低消耗控制,到达目标的控制时间最小等)。
实践的需求推动了控制理论的进步,同时,计算机技术的发展也从计算手段上为控制理论的发展提供了条件,适合于描述航天器的运动规律,又便于计算机求解的状态空间模型成为主要的模型形式。
俄国数学家李雅普诺夫 1892 年创立的稳定性理论被引入到控制中。1956 年,美国数学家贝尔曼(R. Bellman)提出了离散多阶段决策的最优性原理,创立了动态规划。1956 年,前苏联科学家庞特里亚金(L.S. Pontryagin)提出极大值原理。美国数学家卡尔曼(R. Kalman)等人于 1959 年提出了著名的卡尔曼滤波器。这些推动了现代控制理论的发展。
现代控制理论主要利用计算机作为系统建模分析、设计乃至控制的手段,适用于多变量、非线性、时变系统。它在本质上是一种“时域法”,即状态空间法。现代控制理论从理论上解决了系统的能控性、能观测性、稳定性以及许多复杂系统（如图 2）的控制问题。
图 2 复杂机电系统 现代控制理论研究内容非常广泛,主要包括：线性系统基本理论，系统辨识，
最优控制问题，自适应控制问题，最佳滤波或最佳估计，离散系统控制问题。
现代控制理论的 优点是：理论基础是常微分方程稳定性理论，状态空间分析， 泛函分 微分几何等现代数学分支；其数学模型是状态空间表达式，深入系统内部，是 部描述，完全描述；适用于多输入多输出，非线性时变分布参数系统；其性能 标是时间最短、能量最少、综合性能指标最优等时间域指标，性能指标直观, 于接受可以达到性能指标最优、多个性能指标综合最优；易于处理初始条件 更易达到高精度的位置、速度等性能指标；是分析综合方法分析与设计多为解 和优化计算设计和实时控制易于计算机实现[4]。
经典控制理论和现代控制论对解决线性系统的控制问题已接近完善。但是它们的共同 缺陷在于不能够解决本质非线性问题，原因是本质非线性问题无法用泰勒级数展开，进而无法进行近似的局部线性化。例如卫星的定位与姿态控制，机器人控制，精密数控机床的运动控制等，这些都不可能采用线性模型。
3 李亚普诺夫稳定性理论（属于现代控制理论的范畴）
李雅普诺夫稳定性理论 优点是能同时适用于分析线性系统和非线性系统、定常系统和时变系统的稳定性，是更为一般的稳定性分析方法。李雅普诺夫稳定性理论主要指李雅普诺夫第二方法，又称李雅普诺夫直接法。李雅普诺夫第二方法可用于任意阶的系统，运用这一方法可以不必求解系统状态方程而直接判定稳定性。对非线性系统和时变系统，状态方程的求解常常是很困难的，因此李雅普诺夫第二方法就显示出很大的优越性。与第二方法相对应的是李雅普诺夫第一方法，又称李雅普诺夫间接法，它是通过研究非线性系统的线性化状态方程的特征值的分布来判定系统稳定性的。第一方法的影响远不及第二方法。在现代控制理
论中，李雅普诺夫第二方法是研究稳定性的主要方法，既是研究控制系统理论问题的一种基本工具，又是分析具体控制系统稳定性的一种常用方法。李雅普诺夫第二方法的局限性，是运用时需要有相当的经验和技巧，而且所给出的结论只是系统为稳定或不稳定的充分条件；但在用其他方法无效时，这种方法还能解决一些非线性系统的稳定性问题。
李雅普诺夫意义下的稳定性
指对系统平衡状态为稳定或不稳定所规定的标准。主要涉及稳定、渐近稳定、大范围渐近稳定和不稳定。
其几何图形如图 3
图 3 李亚普诺夫稳定性几何表示图
李亚普诺夫稳定性理论是分析和研究非线性控制系统稳定性的经典理论，现在仍被大家广泛采用。李亚普诺夫理论的核心是构造一个李亚普诺夫函数，学者们已经提出了一些构造非线性系统李雅普诺夫函数的构造方法：克拉索夫斯基法，变量梯度法等，其 缺点是但每种方法都有其一定的针对性，还没有一个能适用于各种情况的统一构造方法。李雅 普 诺夫还可用来综合渐近稳定系统。
4 绝对稳定性理论
绝对稳定性 优点是适用于由一个线性环节和一个非线性环节组成的闭环控
制系统，并且非线性部分满足扇形条件。该概念是由苏联学者鲁里叶与波斯特尼考夫提出的。他们利用二次型加非线性项积分作为李亚普诺夫函数，给出了判断非线性控制系统绝对稳定性的充分条件。此后，不少绝对稳定性判据条件诞生。最有影响的当属波波夫判据和圆判据，这两种方法属于频率法，其特点是用频率特性曲线与某直线或圆的关系来判定非线性系统的稳定性。
但是绝对稳定性理论对非线性部分满足的条件有较强的 限制，这就使之适用范围的局限性比较大，而且只适用于单变量系统，在多变量系统的推广至今没有成功。
5 输入输出稳定性理论
输入输出稳定性理论是由 I.W.Sanberg 和 G.Zames 首先提出的一种判定系统稳定性的方法。这种方法的基本思想是将泛函分析的方法应用于一般动态系统的分析中，而且判定方法比较简便。用泛函分析的方法应用于一般动态系统的分析中，而且判定方法比较简便。用泛函分析方法讨论系统的输入输出稳定性，主要是用反映系统输入函数空间与输出函数空间的非线性算子来进行判定，并且这两个函数空间均选定为 Lp 空间。G.Zames 首先给定了输入输出稳定性的含义，包括开环 Lp 稳定性定义，闭环系统 Lp 稳定性定义，并以范数的形式给出了系统增益的定义，提出了闭环系统稳定性的小增益定理。小增益定理说明了下面的结论：若系统的开环增益乘积小于 1，则闭环系统是稳定的。G.Zames 还提出了映射算子的锥关系和正关系的概念，在此基础上得出了两个稳定性结论。定理 2分为两种情况，分别用锥关系和增量维关系给出稳定性条件。定理 2 指出：挡开环算子满足一定的锥关系时，闭环系统是内部输入输出稳定的。定理 3 指出：当一个开环算子满足正关系，另一个开环算子满足强正关系且增益是有限时，闭环
系统也是内部稳定的。然而小增益定理给出的条件，在实际中很难满足，相对来说定理 2 和定理 3 给出的稳定性条件较松。
输入输出稳定性理论 优 点是可适用于各类控制系统，包括线性的，非线性的，集中参数的和分布参数的，得到的结论也是一般性的。但其 缺点是，用输入输出理论所得出的稳定性结论是比较笼统的概念，即只判定系统是全局稳定的或是全局不稳定的。至于像小范围稳定或稳定范围等更细致的概念，在输入输出稳定性理论中目前尚无法判定。
6 相平面法
相平面法的基本过程为用绘制在直角平面坐标上的表征变量及其变化速率间关系的轨迹来研究二阶自治系统的一种图解方法[5]。这种方法可用来分析一大类非线性系统的运动[6]。通过解析的方法或近似计算方法来求解相轨迹方程，即可得到相轨迹方程解的表达式或数值解，它在相平面上的图形称为相轨迹。对于系统不同的初始条件，可画出不同的相轨迹,它们全体组成系统的相轨迹族如图 4所示：
图 4 相平面及典型的相轨迹 常微分方程的定性理论是相平面法的理论基础。研究非线性系统的相平面图
的拓扑结构，是微分方程几何理论的主要任务 相平面上闭合的相轨迹称为极限环,它在物理上对应于出现在系统中的等幅振荡 。
该方法的 特点是主要用奇点，极限环概念描述相平面的几何特征，并将奇点和极限环分成几种类型，但该方法的 缺点是仅适用于二阶及更简单的三阶系统。
7 描述函数法
描述函数的一个主要用途是分析非线性控制系统的稳定性，特别是预测系统的自激振荡（周期运动）[7]。对于一类由线性部件和非线性部件构成的闭环控制系统(图 5)，
图 5 非线性特性曲线 假定其线性部分为最小相位系统并采用频率响应 G（jw）表示它的特性,而用描述函数 N 表示系统中非线性特性的近似等效特性。那么在同一个复数平面上作出 G（jw）
当 w 由 0 变化到∞的轨迹和-1/N 当 X 由 0 变化到∞的轨迹后，就可从这两个轨迹的相互分布关系得到判断此类闭环控制系统的稳定性的一些判据。
描述函数法对于非线性控制系统的综合，也提供了方便的工具。通过引入适当的校正装置可以改变系统线性部分频率响应 G（jw）轨迹的形状，从而使闭环控制系统中不出现自激振荡并确保较好的过渡过程性能。
描述函数法的 优点是在分析非线性控制系统中的有效性和准确性主要取决
于非线性元件输出周期函数中的高次谐波分量在通过线性部分后被衰减的程度。高阶线性系统通常具有较好的低通滤波特性，因此用这个方法分析非线性系统时，线性部分为高阶时的分析准确度往往比线性部分为低阶时好得多。该方法的缺点是还是存在一定的局限性。
8 变结构控制论
变结构控制是一种控制系统的设计方法，其 优点是适用于线线性及非线性系统 [8] 。包括控制系统的调节，跟踪，自适应及不确定等系统。它具有一些优良特性，尤其是对加给系统的摄动和干扰有良好的自适应性。近年来，这种设计方法受到了国内外的广泛重视，得到了很快的发展 。
构造变结构控制器的核心是滑动模态的设计，即切换函数的选择算法。对于线性控制对象来说，滑动莫泰的设计已有较完善的结果，对于某些类非线性对象，也已提出了一些设计方法。变结构滑模控制实现起来比较简单，对外干扰有较强的鲁棒性。变结构滑模控制虽然有许多优点，但也存在一些 不足之处，主要是会产生斗振。对于这个问题也提出了一些消弱斗振的方法，但并未完全解决。
9 微分几何方法及其应用
微分几何学的 优点是以光滑曲线(曲面)作为研究对象，所以整个微分几何学是由曲线的弧线长、曲线上一点的切线等概念展开的。既然微分几何是研究一般曲线和一般曲面的有关性质，则平面曲线在一点的曲率和空间的曲线在一点的曲率等，就是微分几何中重要的讨论内容，而要计算曲线或曲面上每一点的曲率就要用到微分的方法。在曲面上有两条重要概念，就是曲面上的距离和角。比如，在曲面上由一点到另一点的路径是无数的，但这两点间最短的路径只有一条，叫做从一点到另一点的测地线。在微分几何里，要讨论怎样判定曲面上一条曲线是
这个曲面的一条测地线，还要讨论测地线的性质等。另外，讨论曲面在每一点的曲率也是微分几何的重要内容。在微分几何中，为了讨论任意曲线上每一点邻域的性质，常常用所谓“活动标形的方法”。对任意曲线的“小范围”性质的研究，还可以用拓扑变换把这条曲线“转化”成初等曲线进行研究[10]。
在微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可以在无限小的范围内略去高阶无穷小，一些复杂的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可以变成均匀的，这些都是微分几何特有的研究方法。图 6 为微分几何距离说明图。
图 6 微分几何几何说明图 微分几何方法研究非线性系统是现代数学发展的结果，并且在近 20 年的非线性系统研究中成为主流。微分几何非线性系统讨论了非线性空间描述与非线性系统其它描述部分之间的关系，证明了这几种描述在一定条件下是等价的，并且研究了非线性系统的能控性，能观性等基本性质。这些理论有助于揭示非线性系统的本质特性，但其 缺点是像线性系统能控性和能观性那样易于接受的条件还未找到。对于非线性系统的反馈线性化问题，在微分几何控制理论中取得了较好的成果，已在一些实际控制问题中得到了应用。这方面研究将 Wonham 线性几何理论中注入受控不变子空间等概念及其在线性解耦控制中的结果，推广到了非线性控制系统中，例如局部受控不变分布，能控性分布及其计算，干扰解耦和无交互作用控制问题可解条件等。
10 逆系统方法
逆系统方法的基本思想是对于给定的系统，用对象的模型生成一种可用反馈方法实现的原系统的“a 阶积分逆系统”，将对象补偿为具有线性传递关系的且已解耦的一种规范化系统（伪线性系统）；然后，再用线性系统的各种设计理论来完成伪线性系统的综合[9]。这种方法的 优点是为控制系统的设计理论的研究提供了一种一般的途径和方法。此外，它还具有在理论形式上的统一，在物理概念上清晰直观，在使用方法上简单明了。
通过用数学分析的方法，已得到和发展了关于一般非线性系统反馈控制方法的一系列结果。比如，关于一般非线性的左右可逆理论，解耦理论，系统镇定，线性化综合和状态观察等方面的基本理论和方法。
11 神经网络方法
神经网络具有很多 优点，这些优点使得神经网络方法对控制界产生了强大的吸引力。神经网络具有能逼近任意属于 L2 空间的非线性函数；采用并行，分布式处理信息，有较强的容错性；便于用大规模集成电路实现；适用于多信号的融合，可同时综合定量和定性的信号，对多输入多输出系统特别方便；可实现在线和离线学习，使之满足某种控制要求，灵活性大。由于具有这些特点，神经网络控制在近年来出现了大量的研究成果[12]。
虽然目前有较好仿真效果的各种控制方案，但理论上的研究尚处于初步阶段，还有很多 不足之处，需要做的工作很多。就神经网络本身而言，在逼近非线性函数的问题上，现有的理论只解决了存在性问题，对于不同的被控对象，如何选择合适的神经网络，尚处于经验阶段，有待于进行理论上的研究；在学习算法
方面，现有算法的收敛速度很慢，还有待于高位变量的非线性优化优化方法的提高。就控制系统方面而言，对于非线性对象的神经网络控制系统的稳定性分析，神经网络控制系统的鲁棒性，鲁棒辨识等均是有待研究的课题。神经网络控制中的理论问题很多，解决这些问题的难度还很大，所以神经网络在控制方面的应用个还有待于发展。
12 模糊控制方法 模糊控制的 优点是利用模糊数学的基本思想和理论的控制方法[11]。在传统的控制领域里，控制系统动态模式的精确与否是影响控制优劣的最主要关键，系统动态的信息越详细，则越能达到精确控制的目的。然而，对于复杂的系统，由于变量太多，往往难以正确的描述系统的动态，于是工程师便利用各种方法来简化系统动态，以达成控制的目的，但却不尽理想。换言之，传统的控制理论对于明确系统有强而有力的控制能力，但对于过于复杂或难以精确描述的系统，则显得无能为力了。因此便尝试着以模糊数学来处理这些控制问题。如图表示模糊控制的应用案例框图 7
图 7 模糊控制的应用案例框图 但模糊控制的 缺点是不善于学习。模糊控制的逻辑功能比较强大，但是逻辑必须依赖于先验知识，这就导致了模糊控制的学习能力不足。
13 混沌动力学方法
近几年来，国外在非线性动力学或非线性系统学主题下，出现了大量关于分叉，混动研究的文献，主要代表有全局分叉，同宿和异宿轨道分析，奇异和群论分析，分叉等解析方面的研究。国内也有相关方面的饿大量研究。
混沌动力学的 优点是对于非线性系统而言，主要解释非线性控制系统中分叉、混沌等复杂运动现象。曾有相关研究指出大量反馈控制系统都可能出现混沌。进一步的研究表明，在许多典型自适应控制系统，数字控制系统及神经网络系统
中都潜在着混沌运动。从控制理论的观点来研究混沌运动还是近几年的事情，外国学者先后用自适应和自学习的思想讨论了混沌系统参数调节的方法；又从混沌的遍历性质出发，尝试了抑制混沌运动的可能性，也有学者先后研究了几个典型混沌模型和控制问题。
混沌动力学的 缺陷是还有待于进一步发展。
14 非线性频域控制理论
对于非线性控制系统，人们也一直在探求如何用频率法解决它的分析与设计问题，描述函数法是频率发解决非线性控制系统分析最早的成果，但这种方法忽略了高次谐波成分，实质上是线性近似化方法，当系统中非线性因素较强时，利用这种方法得到的结果误差较大。波波夫判据和圆判据是频域稳定判据方法，但这两种判据仅适用于稳定性问题。
建立非线性系统的模型是研究非线性问题的基础。频域发的 优点是：频域辨识法的基本思路是借助 FFT 算法，利用输入信号和输出信号的频率特性，辨识非线性系统的高阶广义频率响应函数。G.zames 于 1981 年提出了 H 控制理论，其主要思路是以系统某些信号间的传递函数的 H 范数为优化指标，对于跟随问题希望干扰频谱对输出产生的频率响应为最小。该理论从现在的研究情况来看主要是在时域内讨论 H 的求解方法，但它所揭示的思想是一种频域综合方法，并可用来进行非线性控制系统的综合。该理论是研究非线性控制系统的一个重要的研究方向。
15 未来控制理论的发展趋势
随着科学技术的发展以及工程技术的需要，越来越多的复杂机电系统将会出现在人们面前。而往往这些机电系统是非线性的，采用传统的经典控制和现代控
制方法已经不能满足解决工程问题中出现的非线性问题的需要。况且经典控制理论和现代控制理论在解决非线性问题方面已经达到了接近成熟和完善的地步。
所以，以后控制方法将会想着解决非线性问题的方向发展[1,2]。微分几何方法，变结构控制理论，逆系统方法，神经网络方法，非线性频域控制理论，混沌动力学方法等非线性方法将会成为以后控制理论发展的重点方向[3]
16 总结 （1）将以上所述的控制方法的优缺点列成图标如下：
控制方法名称 优点 缺点 经典控制方法 线性定常系统已经形成相当成熟的理论；PID 控制、Smith 控制、解耦控制、Dalin 控制、串级控制等 经典控制理论只适用于SISO 线性定常系统,推广到 多 输 入 多 输 出(Multi-Input Multi-Output, MIMO)线性定常系统非常困难,对时变系统和非线性系统则更无能为力;用经典控制理论设计控制系统一般根据幅值裕度、相位裕度、超调量、调节时间等频率域里讨
论的指标来进行设计和分析。对于被控系统很复杂，控制精度要求高的要求，不能得到满意的效果 现代控制理论 理论基础是常微分方程稳定性理论，状态空间分析， 泛函分 微分几何等现代数学分支；其数学模型是状态空间表达式，深入系统内部，是 部描述，完全描述；适用于多输入多输出，非线性时变分布参数系统；其性能 标是时间最短、能量最少、综合性能指标最 优 等 时 间 域 指标，性能指标直观, 于接受可以达到性能指标最优、多个性能于不能够解决本质非线性问题，原因是本质非线性问题无法用泰勒级数展开，进而无法进行近似的局部线性化。例如卫星的定位与姿态控制，机器人控制，精密数控机床的运动控制等，这些都不可能采用线性模型
指标综合最优；易于处理初始条件 更易达到高精度的位置、速度等性能指标；是分析综合方法分析与设计多为解 和优化计算设计和实时控制易于计算机实现。
绝对稳定性理论 是适用于由一个线性环节和一个非线性环节组成的闭环控制系统，并且非线性部分满足扇形条件。
此后，不少绝对稳定性判据条件诞生。最有影响的当属波波夫判据和圆判据，这两种方法属于频率法，其特点是用频率特性曲线与某直线或圆的关系来判定非线性系统的稳定性
但是绝对稳定性理论对非线性部分满足的条件有较强的 限制，这就使之适用范围的局限性比较大，而且只适用于单变量系统，在多变量系统的推广至今没有成功。
输入输出稳定性理论 可适用于各类控制系统，包括线性的，非线性的，集中参数的和分布参数的，得到的结论也是一般性的。
但其 缺点是，用输入输出理论所得出的稳定性结论是比较笼统的概念，即只判定系统是全局稳定的或是全局不稳定的。至于像小范围稳定或稳定范围等更细致的概念，在输入输出稳定性理论中目前尚无法判定。
相平面法 是主要用奇点，极限环概念描述相平面的几何特征，并将奇点和极限环分成几种类型 但该方法的 缺点是仅适用于二阶及更简单的三阶系统。
描述函数法 是在分析非线性控制系统中的有效性和准确性主要取决于非线性元件输出周期函数中的高次谐波分量在通过线性部分后被衰减的程度。高阶线性系统通常具有较好的低通滤波特性，因此用该方法的 缺点是还是存在一定的局限性。
这个方法分析非线性系统时，线性部分为高阶时的分析准确度往往比线性部分为低阶时好得多。
变结构控制理论 适用于线线性及非线性系统。包括控制系统的调节，跟踪，自适应及不确定等系统。它具有一些优良特性，尤其是对加给系统的摄动和干扰有良好的自适应性。近年来，这种设计方法受到了国内外的广泛重视，得到了很快的发展 。
构造变结构控制器的核心是滑动模态的设计，即切换函数的选择算法。对于线性控制对象来说，滑动莫泰的设计已有较完善的结果，对于某些类非线性对象，也已提出了一些设计方法。变结构滑模控制实现起来但也存在一些 不足之处，主要是会产生斗振。对于这个问题也提出了一些消弱斗振的方法，但并未完全解决。
比较简单，对外干扰有较强的鲁棒性。
微分几何方法及其应用 以光滑曲线(曲面)作为研究对象，所以整个微分几何学是由曲线的弧线长、曲线上一点的切线等概念展开的。既然微分几何是研究一般曲线和一般曲面的有关性质
另外，讨论曲面在每一点的曲率也是微分几何的重要内
在微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可以在无限小的范围内略去高阶无穷小，一些复杂的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可以变成均匀的，这些都是微分几何特有的研究方法。
微分几何非线性系统讨论了非线性空间描述与但其 缺点是像线性系统能控性和能观性那样易于接受的条件还未找到。
非线性系统其它描述部分之间的关系，证明了这几种描述在一定条件下是等价的，并且研究了非线性系统的能控性，能观性等基本性质。这些理论有助于揭示非线性系统的本质特性，
逆系统方法 种方法的 优点是为控制系统的设计理论的研究提供了一种一般的途径和方法。此外，它还具有在理论形式上的统一，在物理概念上清晰直观，在使用方法上简单明了。
通过用数学分析的方法，已得到和发展了关于一般非线性系统反馈控制方法的一系列结果。比如，关于一般非线性的左该方法还在进一步发展之中，很多理论还需要进一步完善
右可逆理论，解耦理论，系统镇定，线性化综合和状态观察等方面的基本理论和方法。
神经网络方法 神经网络具有能逼近任意属于 L2 空间的非线性函数；采用并行，分布式处理信息，有较强的容错性；便于用大规模集成电路实现；适用于多信号的融合，可同时综合定量和定性的信号，对多输入多输出系统特别方便；可实现在线和离线学习，使之满足某种控制要求，灵活性大。由于具有这些特点，神经网络控制在近年来出现了大量的研究成果。
就神经网络本身而言，在逼近非线性函数的问题上，现有的理论只解决了存在性问题，对于不同的被控对象，如何选择合适的神经网络，尚处于经验阶段，有待于进行理论上的研究；在学习算法方面，现有算法的收敛速度很慢，还有待于高位变量的非线性优化优化方法的提高。就控制系统方面而言，对于非线性对象的神经网络控制系统的稳定性分析，神经网络控制系统的鲁棒性，鲁棒辨识等均是有待研究的课
题。神经网络控制中的理论问题很多，解决这些问题的难度还很大，所以神经网络在控制方面的应用个还有待于发展。
模糊控制方法 利用模糊数学的基本思想和理论的控制方法
适用于复杂或难以精确描述的系统，善于表达
缺点是而善于学习。
混沌动力学方法 对于非线性系统而言，主要解释非线性控制系统中分叉、混沌等复杂运动现象。
混沌动力学正处于发展之中，还需要不断完善 非线性频域控制理论 理论从现在的研究情况来看主要是在时域内讨论 H 的求解方法，但它所揭示的思想是一种频域综合方法，并可用来进行非线性控制系统的综合。该理论是研究非该理论还需完善
线性控制系统的一个重要的研究方向。
（2）控制理论的发展方向：后控制方法将会想着解决非线性问题的方向发展。微分几何方法，变结构控制理论，逆系统方法，神经网络方法，非线性频域控制理论，混沌动力学方法等非线性方法将会成为以后控制理论发展的重点方向。
参考文献
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